《人類科學(xué)技術(shù)史-345》康托和集合論

康托和集合論

19世紀(jì)上半葉，數(shù)學(xué)取得了巨大進(jìn)展，非歐幾何的創(chuàng)立使幾何學(xué)步入了"黃金時(shí)代"；代數(shù)由于伽羅瓦(1811-1832)的工作獲得了全新的動(dòng)力；數(shù)論發(fā)展成解析數(shù)論；分析學(xué)由于復(fù)變函數(shù)論的建立以及常微分方程和偏微分方程的研究而取得了重大發(fā)展。

19世紀(jì)下半葉，數(shù)學(xué)分析建立了嚴(yán)格的極限理論并最終將它置于實(shí)數(shù)的嚴(yán)格基礎(chǔ)之上，許多數(shù)學(xué)家如柯西(1789-1857)、外爾斯特拉斯(1815-1897），戴德金(1831-1916)、康托(1845-1918)等為此作出了努力。

1872年，德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因(1845-1918)發(fā)表"愛爾蘭根綱領(lǐng)"演講，總結(jié)各種新幾何學(xué)的發(fā)展，指出其結(jié)構(gòu)上的一般原則，并用變換群的觀點(diǎn)作為幾何學(xué)分類的基礎(chǔ)，帶來(lái)了一次深刻的思想變革。次年，挪威數(shù)學(xué)家M.S.李(1842-1899）創(chuàng)立的李群即連續(xù)變換群，逐漸成為近代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，是理論物理的重要工具。

19世紀(jì)末到20世紀(jì)初，數(shù)學(xué)更多地轉(zhuǎn)向自身的基礎(chǔ)，抽象代數(shù)、泛函、拓?fù)涞痊F(xiàn)代數(shù)學(xué)分支，逐漸在此階段產(chǎn)生并奠定了基礎(chǔ)。彭加勒(1854-1912）、康托和希爾伯特是這一時(shí)期的數(shù)學(xué)代表人物，也是對(duì)20世紀(jì)的數(shù)學(xué)發(fā)展影響最大的人物。彭加勒首先是一個(gè)數(shù)學(xué)家，但他在物理學(xué)方面的成就更令人矚目。他在數(shù)學(xué)方面的主要成就有，創(chuàng)始自守函數(shù)、微分方程定性理論以及拓?fù)鋵W(xué)，研究則涉及非歐幾何、分析力學(xué)、不變量理論、概率論等。

物理方面同樣涉及了許多研究領(lǐng)域，從力學(xué)、熱學(xué)、光學(xué)、電學(xué)到宇宙學(xué)，都留下了他探索的足跡，對(duì)天體力學(xué)三體問題的研究則著稱于世。康托和希爾伯特的研究工作則在很大程度上反映了這一時(shí)期數(shù)學(xué)的成就。

最先創(chuàng)立了一般集合論的德國(guó)數(shù)學(xué)家康托出生于俄國(guó)的一個(gè)丹麥一猶太血統(tǒng)家庭，后隨父母遷居德國(guó)，1863年進(jìn)入柏林大學(xué)學(xué)工。在那里，受到外爾斯特拉斯的影響，轉(zhuǎn)向研究純粹數(shù)學(xué)。1867年獲柏林大學(xué)數(shù)學(xué)博士學(xué)位，博士論文是關(guān)于數(shù)論方面的。1869年后到哈雷大學(xué)任教，1879年任教授。

康托到哈雷大學(xué)后，開始對(duì)三角級(jí)數(shù)的研究，1870年到1872年發(fā)表了3篇有關(guān)三角級(jí)數(shù)的論文。在1872年的論文中，他提出了以柯西序列定義無(wú)理數(shù)的實(shí)數(shù)理論，并初步提出以高階導(dǎo)出集的性質(zhì)作為對(duì)無(wú)窮集合的分類準(zhǔn)則。三角級(jí)數(shù)的研究引發(fā)了康托進(jìn)一步探討無(wú)窮集和超窮序數(shù)的興趣，并萌發(fā)了集合論的思想。

1872年，康托結(jié)識(shí)了數(shù)學(xué)家戴德金，后者在"無(wú)窮"方面的思想和探索給他留下深刻印象，之后，他們保持通信聯(lián)系，相互討論問題。1874年康托發(fā)表了《關(guān)于一切實(shí)代數(shù)數(shù)的一個(gè)性質(zhì)》的論文，指出一切實(shí)代數(shù)數(shù)和正整數(shù)可以建立一一對(duì)應(yīng)，并將一一對(duì)應(yīng)關(guān)系作為對(duì)無(wú)窮集合分類的準(zhǔn)則。這是關(guān)于集合論的第一篇革命性文章。1874年至1897年，康托繼續(xù)發(fā)表了多篇關(guān)于集合論和超限數(shù)的論文，闡述他的集合論，考慮、研究了各種無(wú)窮集合，并把無(wú)窮集合分成不同等級(jí)。

康托稱集合為一些確定的、不同的東西的總體，這些東西人們能意識(shí)到，并且能判斷一個(gè)給定的東西是否屬于這個(gè)總體。他認(rèn)為，如果一個(gè)集合能夠和它的一部分構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)，它就是無(wú)窮的，那些認(rèn)為只有潛無(wú)窮集合，反對(duì)實(shí)無(wú)窮的觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的。

康托證明，在某種意義上，一小段線和一條無(wú)限長(zhǎng)的線有同樣多的點(diǎn)。比如，考慮一個(gè)半圓弧和它下面的一條直線，這條直線和連接圓孤兩端點(diǎn)的直徑平行。從半圓的圓心畫一條直線，過半圓上的一個(gè)點(diǎn)，并交于無(wú)限長(zhǎng)線上一點(diǎn)。圓上的每點(diǎn)，總能找到無(wú)限長(zhǎng)直線上的一點(diǎn)與之對(duì)應(yīng)，反之亦然。全直線不大于它的部分，至少就它們各自包含的點(diǎn)的數(shù)目而言是如此。全部能和真的一部分建立一一對(duì)應(yīng)。這是無(wú)窮集合的一個(gè)特性。

他還給出了一個(gè)集合的例子——康托集：把區(qū)間［0，1］中間的三分之一挖去，即把(1/3，2/3)挖去；然后從余下的兩部分中再挖去它們各自中間的三分之一；再?gòu)挠嘞碌乃牟糠种型谌ジ髯灾虚g的三分之一，以此類推，不斷進(jìn)行下去，留下部分的長(zhǎng)度越來(lái)越小，而彼此分離部分的個(gè)數(shù)則成倍增加，重復(fù)"挖去"的過程無(wú)限多次后，仍有一些點(diǎn)還未被挖去，這些留下的點(diǎn)則形成了康托集。用幾何級(jí)數(shù)求和方法可以證明，從區(qū)間［0，1］中挖去的部分總長(zhǎng)為1，這意味著康托集合的總長(zhǎng)為零。還可以證明，康托集合中的點(diǎn)，與整個(gè)區(qū)間［0，1］中的點(diǎn)一樣多。康托通過證明指出，直線上的點(diǎn)不能與整數(shù)建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，說明了，任何一個(gè)無(wú)窮集合與另外任何一個(gè)無(wú)窮集合有同樣多的點(diǎn)的看法是不正確的。

康托后來(lái)又證明了n維形體的點(diǎn)和線上的點(diǎn)可以有一一對(duì)應(yīng)。這一似乎抹殺了維數(shù)的區(qū)別的論點(diǎn)遭到了克羅內(nèi)克等數(shù)學(xué)家的反對(duì)。而戴德金早些時(shí)候也考慮到了，不同維空間的點(diǎn)可以建立不連續(xù)的一一對(duì)應(yīng)。

1878年，康托提出了著名的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)，即可數(shù)集合的基數(shù)和實(shí)數(shù)集合(連續(xù)統(tǒng)）的基數(shù)之間沒有其他基數(shù)。但是，證明這一假設(shè)的工作，直到本世紀(jì)30年代后才有所突破。

集合論創(chuàng)立過程在數(shù)學(xué)界引起的反應(yīng)是異常強(qiáng)烈的。當(dāng)時(shí)的許多數(shù)學(xué)家只承認(rèn)有窮事物的發(fā)展過程是無(wú)窮，無(wú)窮只是潛在的，是就發(fā)展而言的，而不承認(rèn)已經(jīng)完成的、客觀存在著的無(wú)窮整體。集合論的工作觸及了許多經(jīng)久未決的問題，顛倒了許多前人的想法，肯定了作為完成整體的實(shí)無(wú)窮，自然要遭到許多人包括一些數(shù)學(xué)界權(quán)威的非難、攻擊。因此，集合論創(chuàng)立者的境遇并不順暢。康托曾希望進(jìn)入當(dāng)時(shí)著名的柏林大學(xué)任教，但對(duì)康托的"無(wú)窮"觀持嚴(yán)厲批判態(tài)度的某些數(shù)學(xué)家擋住他的去路，甚至攻擊他神經(jīng)質(zhì)、"神秘主義"，給他帶來(lái)巨大的精神壓力。1884年，康托患了精神分裂癥，但1887年又恢復(fù)了工作。

任何一種新事物、新理論的誕生，總會(huì)遇到反對(duì)者，但也不乏慧眼識(shí)真金者。集合論也得到了不少卓越的數(shù)學(xué)家的極力支持，如戴德金、外爾斯特拉斯等。1897年，在第一次國(guó)際數(shù)學(xué)家會(huì)議上，赫爾維茨和阿達(dá)瑪指出了超限數(shù)理論在分析中的重要作用；1902年，勒貝格成功地應(yīng)用集合論于分析學(xué)，創(chuàng)立了測(cè)度論和積分論；1906年，弗雷歇利用集合論觀點(diǎn)研究函數(shù)空間。

19世紀(jì)末，集合論暴露出了一些內(nèi)在的矛盾。1901年，英國(guó)哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家羅素(1870-1970)發(fā)現(xiàn)一悖論，即"所有不屬于其自身的集合的集合，是屬于該集合，還是不屬于該集合，都導(dǎo)致矛盾"，對(duì)數(shù)學(xué)界震動(dòng)頗大，并因此產(chǎn)生了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的危機(jī)，引起長(zhǎng)達(dá)多年的熱烈爭(zhēng)論。1908年，德國(guó)數(shù)學(xué)家策梅羅(1871-1953）為解決集合論悖論而把集合論公理化。經(jīng)過后來(lái)的多次修改，公理集合論得到了巨大發(fā)展。

數(shù)學(xué)大師希爾伯特(1862-1943)在德國(guó)傳播了康托的思想，并于1926年宣稱："沒有人能把我們從康托為我們創(chuàng)造的樂園中趕走。"至此，康托的理論已最終得到了數(shù)學(xué)界的一致認(rèn)可。

經(jīng)過20世紀(jì)中的發(fā)展，集合論已成為數(shù)學(xué)家最基本的語(yǔ)言，即數(shù)學(xué)語(yǔ)言更多地從直觀描述轉(zhuǎn)到集合論語(yǔ)言。數(shù)學(xué)中有自然數(shù)、有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的集合，直線可視為點(diǎn)的集合，平面可以視為點(diǎn)的集合，也可以看成是直線的集合。某些函數(shù)也構(gòu)成集合，所有的旋轉(zhuǎn)變換也構(gòu)成集合。

集合論深入到數(shù)學(xué)的每一個(gè)角落，成為各個(gè)學(xué)科的共同基礎(chǔ)，是20世紀(jì)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要特點(diǎn)。而且，現(xiàn)代數(shù)學(xué)不是孤立地研究集合，而是研究集合里的"結(jié)構(gòu)"，即某個(gè)集合中的元素所滿足的一些數(shù)學(xué)關(guān)系。