李?-?楊相變理論：歷史與新進展

導語

為什么冰會融化，磁鐵會突然失去磁性，而復雜系統又會在某個臨界點發生突變？從19世紀對“態”與“相”的區分，到20世紀李政道和楊振寧提出的李-楊相變理論，物理學家逐漸發現：決定相變的關鍵，不在于物質本身，而隱藏在配分函數的復數零點結構之中。七十余年來，這一理論不僅首次為各種相變建立了統一的數學框架，更不斷突破傳統熱力學邊界，延伸至量子相變、非平衡動力學、非厄米系統乃至超臨界物質研究。透過李-楊理論，我們看到，相變不僅是物質形態的改變，更是復雜系統臨界轉變的一種普適語言。

關鍵詞：李-楊理論、相變、李-楊零點、統計物理、臨界現象、復平面、量子相變

王方成、葉麒俊、李新征（北京大學物理學院）丨作者

現代物理知識雜志丨來源

一、從“態”到“相”

在科學革命中，物理學是自然科學諸多分支中的排頭兵。在過去的一個多世紀中，歷經物理學革命，本文要討論的相變問題也始終是物理學研究的重點之一。對相變最樸素的認知是物質存在形式的變化。事實上，早在科學誕生之前，人們就知道冰會融化、水會蒸發，同一種物質能夠以固、液、氣等不同形式存在。當時，各種物質的存在形式被稱為物質的態，簡稱物態。而在今天的物理學研究中，我們更多地用相這一術語來區分物質的存在形式。這里的“態”和“相”并不是同義詞，且后者的提出比多數人想象得更晚。這兩個概念的歷史演進，恰好反映了人們對相變──即物質的存在形式發生轉變的現象──的理解逐漸深入。

我們首先要強調，“態”這一概念不足以區分物質的所有存在形式，這是物理學、化學等自然科學的分支發展到一定階段后，人們面臨并解決的一個重要概念問題。1772 年，Lavoisier 發現鉆石和木炭的化學組成相同，二者同為固態卻有著不同的硬度、密度和顏色，是同一物質的兩種不同存在形式。1877 年，Gibbs 為了建立系統的熱力學自由度 (獨立強度量數目) 與組分數目之間的關系，將相定義為一種“化學組成和物理性質都在空間上均一”的物質形態。當時，這一概念旨在計數同一物態中彼此不互溶的部分，例如水和油的混合物被視為兩個相，而水和酒精的混合物被視為一個相。從今天來看，它更大的意義在于開啟了一種比“物態”更加細致的分類。隨著研究的深入，人們發現物質的存在形式遠比“固、液、氣”豐富，例如水有至少13 種固相，磁性物質會在不同溫度下表現出鐵磁性或順磁性，等等。于是，相──而不是態──成為了區分物質存在形式的通用術語，現在我們知道前者在熱力學中遠比后者更本質。

同一物質有多種相意味著它可以在特定條件下發生相變。在“相”這一概念出現之前，如何理解物態變化已經是熱力學中最重要的問題之一。1834 年，Clapeyron 將諸多經驗定律整合為理想氣體狀態方程，它較好地描述了氣體的行為，但不適用于其他物態，也完全無法解釋物態變化。1873 年，范德華將分子體積和分子間吸引作用納入考慮，修正了理想氣體狀態方程，得到了首個能解釋氣-液相變的理論──盡管那時還沒有相的概念。然而，范德華模型仍不能解釋其他相變，如固-液相變、鐵磁-順磁相變等，它也沒有告訴我們：為什么會發生相變？

歷史上，對磁性的研究對人們理解相與相變至關重要。1600 年，Gilbert 已經知道將鐵加熱會破壞它被磁石吸引的能力。19 世紀末、20 世紀初，這一現象被Curie 和Weiss 進行了定量描述，涉及順磁體和鐵磁體兩個概念：當外磁場較弱時，前者的磁化強度與外磁場成正比，磁化率χ為有限值；后者在外磁場為零時也會有自發磁化，磁化率發散。1895年，Curie發現順磁體的磁化率χ 與絕對溫度T 成反比。之后，人們發現鐵磁體會在溫度大于特定值TCurie時轉變為順磁體，此值被稱為Curie 溫度。1907 年，Weiss 將這兩個現象整合為Curie-Weiss 定律，即磁化率χ 與當前溫度與相變溫度之差T - TCurie成反比?？梢钥吹?，鐵磁-順磁相變與氣-液相變都伴隨著宏觀物理量的突變或發散，但范德華模型只能解釋后者。因此，如何從理論上理解磁性行為隨溫度的突變，就成為了當時物理學研究的一個前沿問題。

20 世紀20 年代初，Lenz 和伊辛受Ampère 在一百年前提出的環狀分子電流假說的啟發，提出了著名的伊辛模型。它由格點上的若干小磁針{σi}組成。其中，σi只能取±1 兩個值，它的格點平均值反映了系統的磁化強度，系統的能量為最近鄰格點的相互作用求和。伊辛發現一維格點上的伊辛模型在任何溫度下都是順磁的，他因此錯誤地斷言任何維度下的伊辛模型都不會發生相變。1936 年，Peierls 證明了溫度低于一個有限值時，正方形格點上的二維伊辛模型必定是鐵磁的，從而該模型必定會隨溫度升高發生鐵磁-順磁相變，這為伊辛模型的相關研究帶來了轉機。1941年，Kramers 和Wannier 利用轉移矩陣方法，將求解二維伊辛模型時的加和問題轉化為本征值問題，給出其相變溫度的精確值。1944 年，Onsager 又求出了該模型配分函數的顯式解。至此，在李-楊相變理論提出前，以伊辛模型為主線的前期理論工作已大致介紹完畢。人們知道鐵磁-順磁相變可以用伊辛模型來理解，但仍然沒有一個普適的、從微觀出發的理論框架能同時描述氣-液相變、鐵磁-順磁相變等各種相變現象。這一愿景最終由李-楊相變理論實現，我們將在下一節中介紹。

本節最后，出于尊重李-楊理論的前期知識積累的考慮，我們還需要強調到除了前述的氣-液相變和鐵磁-順磁相變，合金中有序-無序相變的平均場理論也在20 世紀30 年代建立起來。在這個過程中，中國物理學家、Fowler 的學生張宗燧和王竹溪兩位先生都有很重要的貢獻，這也為日后李-楊理論的建立埋下了伏筆。我們也不能忽視在伊辛模型、合金相變理論的發展過程中，人們也已經在試圖用統一的語言描述各種相變現象。比如1933 年，Ehrenfest 提出相變的分類法，將相變級數定義為“使得自由能的某階導數不連續的最低階數”。1937 年，朗道也建立了二級相變的唯象理論，將相變與對稱性破缺的概念聯系在一起。盡管它取得了巨大的成功，但現在我們知道相變不總是由對稱性破缺引起，且當時的朗道理論仍然局限于平均場近似──它給出的臨界行為在很多情況下不可信。此外，Onsager 精確解顯示，二維伊辛模型的自由能只有在格點尺寸趨于無窮的極限下才會出現奇點，這也是朗道理論所無法解釋的。

二、李 - 楊理論：相變機制的首個統一描述

李-楊相變理論 (本文中簡稱李-楊理論) 是由李政道、楊振寧兩位先生在1952 年發表的兩篇系列論文中提出的。在此之前，楊先生著有一篇關于二維伊辛模型自發磁化強度的精確解的文章，為李-楊理論的建立奠定了多方面的基礎。李-楊理論的第一篇文章聚焦于數學框架，從統計物理中最基本的配分函數出發，將系統的強度量視為復數，指出配分函數在復平面上的零點分布決定了系統的全部相變行為，直觀地闡釋了為什么相變只會在熱力學極限下發生。這個理論為所有的相變現象建立了統一的描述：無論是一級相變還是連續相變，無論自變量是溫度、壓強還是外場，無論組成系統的是分子、格點還是準粒子。我們即將看到，李-楊理論既有數學的嚴格性與形式美，又具有普適性和直觀的物理圖像，這樣的理論在熱力學、統計物理和系統科學中如同鳳毛麟角。

無論是從實驗觀察還是從Ehrenfest 的定義出發，相變都意味著體系的自由能函數作為某個強度量的函數的解析性被破壞了。在數學上，這必定與自由能函數 (等于-kBT 乘以配分函數的對數)的奇點有關；這是李-楊理論提出時，李、楊兩位先生最為樸素，也最為深刻的一個考慮。在第一篇文章中，他們考慮了一個體積為V，裝有若干硬球粒子 (即任意兩粒子的間距都不小于a，這意味著系統中的粒子數存在上限M) 的系統。該系統中的粒子數可變，描述它需要使用巨配分函數：

其中QN是位形配分函數，μ 是化學勢。變量y 是一個由μ 和T 共同決定的強度量，它的意義在于巨配分函數Z ( μ,V,T) = Z ( y )是一個關于y的M次多項式。如果按照常規的做法，令上式中各物理量取實數值，則有y > 0，此時求和的每一項都是有限的正值。這意味著Z ( y) 在正實軸上是恒正的解析函數，進而巨熱力學勢

Ω( μ,V,T) ? -kBTlnZ ( μ,V,T) (2)

也是解析的。然而，系統的任何熱力學性質都可以用Ω 的偏導數來表示，從而也應當隨μ,T 光滑變化──這和人們實際觀察到的相變現象矛盾！

為什么會出現這樣的矛盾？其實，問題出在配分函數作為極限的存在性上。如果系統中的粒子數上限M 是有限值，配分函數Z 是有限項的求和，此時上述論證是成立的。然而，在熱力學極限下，系統體積趨于無窮，可容納的粒子數M 也趨于無窮，此時Z 和 Ω 都是發散的，從而不再能用上述論證排除相變的可能性。但問題在于：現實中的系統在本質上仍是有限的，只不過V 和M 非常大，為什么我們能在這樣的系統中觀察到相變？換言之，隨著V 和M 不斷增大，系統的相變行為 (如物理量的突變和發散) 是如何出現的呢？李-楊理論對此給出了確切的回答，其精髓在于將Z ( y) 當作復變函數來考慮。

根據代數基本定理，配分函數Z ( y) 作為y 的M 階多項式，在復平面上恰有M 個根使得Z ( y) =0，也即零點y1,?,yM。據此，我們可以將配分函數因式分解為

它和前面公式(1)的加和形式相比，最大的優點在于計算熱力學物性時可以分別考慮各個零點的貢獻。例如，系統的壓強作為y 的函數滿足

當p( y) 取實數值時，它的變化規律取決于上式右端的第一項，它完全取決于Z ( y) 各零點的位置。李- 楊理論指出，如果把理解為復平面上的距離，上式中的 ln| y - yk|就與二維空間中點電荷的電勢 (- q/2πε0) ln|r-r0 |具有相同的形式。因此，p( y) 和 Ω( y) 正比于分布在復平面上y1,?,yM 處的M 個點電荷產生的總電勢。這就是李-楊理論中的“靜電學類比”，它告訴我們：配分函數的零點分布對自由能的影響，相當于電荷分布對實軸上的靜電場的影響！為了紀念這一貢獻，人們將配分函數在復平面上的零點稱為李-楊零點。

如前所述，正實軸上不存在李-楊零點，而有限個點電荷產生的總電場在無電荷區域中總是光滑的，因此有限個李-楊零點不可能讓正實軸上的自由能產生非解析性。然而，隨著系統尺寸V 的增大，零點總數M 也會增多，在此過程中如果零點越來越逼近實軸，則零點附近的自由能變化就會越來越劇烈。在系統尺寸V 趨于無窮的熱力學極限下，李-楊理論的第一篇文章證明了：給定一個實軸上的y，如果y 的某鄰域內始終沒有零點，則p( y) 在該鄰域內解析；如果隨著系統尺寸增大，零點會無限靠近y，則p( y) 在y 處有奇點，在該處會發生相變。可見，相與相變本質上是復平面上的零點結構的反映，如圖1。

圖1復y平面上的零點結構、V-1ln Z(y)的解析區域，以及p(y)在實軸上的奇異性

至此，我們看到巨配分函數Z ( y) 的零點分布完全決定了相的數目、相變點的位置和相變行為，類似的論證也可以應用于其他種類的系綜，配分函數的自變量可以是溫度T、壓強p、外場h、甚至是相互作用強度J。例如，對于人們更熟悉的正則(NVT) 系綜，配分函數的自變量是溫度T，其在復平面上的零點分布決定了系統隨溫度變化的相變行為。這最早由M. Fisher 指出，因此，配分函數作為溫度的復變函數Z (T) 的零點在部分文獻中被稱為Fisher 零點。但追本溯源，這一提法僅是對李-楊零點所蘊含的物理思維的推廣。筆者認為，不應只在狹義上稱呼與化學勢、外場相關的零點為李-楊零點，而應把配分函數關于任何自變量的零點都稱為該變量的李-楊零點。

三、李-楊零點的分布

對李-楊理論有了基本的了解之后，我們自然會問：對于一個具體系統，它的李-楊零點在復平面上的分布有什么規律？對于具有不同相變行為的系統，其李-楊零點的分布有什么差別？本節中，我們會舉例討論之。應當指出，這些問題至今仍是李-楊理論的研究前沿，但人們也取得了相當多的進展，其中最早、最著名、也最出人意料的發現來自李-楊理論的第二篇文章，它被人們稱為李-楊圓定理。

考慮一個有外磁場h 的伊辛模型，李-楊圓定理指出，即使格點之間存在非近鄰相互作用，只要它是鐵磁的，其正則配分函數Z (T,h)關于變量eh/kBT的所有零點就都在單位圓上。提請注意，由Onsager等人給出精確解的伊辛模型，是無外場且只有最近鄰相互作用的伊辛模型，而更一般的有非近鄰相互作用和外場的二維伊辛模型至今沒有顯式解。在這一背景下，李-楊圓定理首次揭示了一個普適性的結論：即使有非近鄰相互作用，鐵磁伊辛模型也只能在外場h = 0 時發生相變，無論在哪個維度、無論格點的尺寸和結構如何！事實上，如果取(T,eh/k BT) 為獨立自變量就會發現：當溫度小于鐵磁-順磁相變溫度T * 時，復 eh/kBT平面上的零點在整個單位圓上均有分布，且在h = 0 處的零點密度為正值，這說明隨著外磁場的變化，在h = 0 處時會發生一級相變──鐵磁相的自發磁化發生反轉；當T =T* 時，零點分布趨于正實軸，但h = 0 處的零點密度為零，意味著磁化強度隨h 發生連續相變；當T >T*時，h = 0 附近的零點分布存在一個寬度有限的間隙，此時磁化強度 隨h 連續變化，為順磁體。當零點分布出現這種間隙時，人們稱最接近實軸的一對零點為李-楊邊緣，它們的位置隨強度量和系統尺寸的變化遵循一定的標度律，并具有普適類。

李-楊圓定理的價值還不止于此。在同一篇文章中，李、楊兩位先生還證明了格子氣和伊辛模型的等價性。顧名思義，格子氣是實際氣體的一種簡化，其中各粒子的位置不能在空間中連續取值，而是必須位于格點上。這個模型最初被用來描述氣體中原子或分子的凝華過程。我們考慮一種最簡單的格子氣模型，其總能量是每對粒子的相互作用能之和，沒有動能或外場。記位置相差r的兩粒子的相互作用能為u(r)，我們額外要求u(0) = +∞，這相當于禁止了兩個或更多粒子占據同一格點──任何格點i 上的粒子數ni只能取0 或1，這與泡利不相容原理類似。此時，可以發現變量替換ni → (1 + σi)/2 能夠將每個格點上是否有粒子對應到伊辛模型中該格點上的自旋取±1，而u(r) 也決定了等效的伊辛模型中格點之間的相互作用強度。在此意義上，格子氣模型的巨配分函數和伊辛模型的正則配分函數具有相同的形式，前者的化學勢決定了后者的外場，反之亦然。因此，格子氣和伊辛模型的統計性質是同構的，李-楊圓定理也適用于對r≠ 0 有u(r) ≤ 0 的“鐵磁”格子氣系統。

與上述的鐵磁伊辛模型和格子氣相比，其他格點模型在有限尺寸下的零點結構沒有那么簡潔，但隨著尺寸增大，原本散亂的零點分布往往也會顯現規律。例如無外場時，二維正方形格點上最近鄰伊辛模型的復 e2βJ 零點如圖2a 所示，此處β ? 1/kBT是倒數溫度。隨著格點尺寸增大，這些 e2βJ 零點會趨于兩個圓。如果相互作用是各向異性的，復e2βJ平面上的零點分布又如圖2b-d 所示。不同系統的零點結構各有特點，它們包含了配分函數的幾乎所有信息，就像系統的“熱力學指紋”。接下來，我們以復溫度T 的李-楊零點為例，展示幾種不同的零點分布會產生什么樣的相變行為。

圖2二維30×30正方形格點上，a)各向同性和b-d)各向異性的最近鄰伊辛模型在復e2βJ平面上的零點。b)，c)，d)分別是兩個方向上相互作用強度之比為J' /J= 2, 3, 4 的情形

簡便起見，我們假設在相變點T* 附近，李-楊零點分布在一條與虛軸平行的直線上，并記T * +iη 處的零點線密度為λ ( η)。由靜電學類比可知：若相變點處λ (0) > 0，實軸上的內能U 必定間斷，意味著一級相變；若λ ～ | η |1/2，實軸上的內能U ～ |T - T* |1/2是連續的，但熱容C ～ |T - T* |-1/2發散，意味著二級相變；若λ ～ | η |，熱容C ～ ln|T - T * | 對數發散，這正是二維伊辛模型的臨界行為；若λ ～ | η |3/2，熱容C 是連續的，但其導數C' 間斷，意味著三級相變。這四種情形被總結在圖3 中。至此，我們看到李-楊理論適用于各種相變行為，且對系統的種類沒有任何要求。通過揭示零點分布和自由能奇異性的定量關系，李-楊理論不僅證明了相變只會在熱力學極限下發生，也闡明了隨著系統尺寸增大，各種相變特征──如相變級數、潛熱、臨界指數──是如何出現的。

圖3不同的復T零點分布λ(η)對應的相變行為。a)一級相變，b-c)二級相變，d)三級相變

四、李-楊理論的新進展

七十多年來，已經有很多系統的李-楊零點被解析或數值地計算出來，李-楊圓定理也被推廣到任意自旋、有簡并、有額外單體勢的系統，乃至Heisenberg 模型和非二體相互作用系統。鑒于篇幅和知識所限，本文不試圖對李-楊理論的發展作全面回顧，而是聚焦于其物理意義的延伸，僅介紹本世紀以來的部分進展──尤其是它在動力學與量子力學中的應用。

首先，我們需要介紹重疊振幅的概念。它又被稱為Loschmidt振幅，用于描述量子態的內積隨時間的變化。例如，讓兩個初態為的系統分別在哈密頓算符和下演化，經歷時間t 后，兩個態的重疊振幅是：

這一物理量經常用來反映一個開放雙態系統的相干性隨時間的變化，此時代表環境的初態，代表雙態系統處于不同態時環境感受到的有效哈密頓量之差。退相干理論指出，當|G( t) | = 1時，雙態系統的兩個態以完全相干的方式──按復振幅──發生疊加；當G( t) = 0 時，雙態系統的兩個態以完全不相干的方式──按概率──發生疊加。G( t) 可以用多種實驗手段測量，例如雙縫干涉實驗中，兩個波源完全相干時光強分布會有清晰的干涉條紋，完全不相干時二者的光強直接疊加。此外，重疊振幅在量子混沌、粒子物理、非平衡統計物理等領域也有重要意義。

對李-楊理論而言，研究重疊振幅的意義在于它和配分函數的形式高度相似。2012 年，香港中文大學的魏勃勃和劉仁保發現，如果環境的初態不是純態，而是熱平衡態──各能量本征態以正則系綜權重 e-βEs 組成的混態──則重疊振幅的期望值具有如下形式：

可以看出，上式的分母恰等于系統的正則配分函數。事實上，當和滿足一定條件時，上式的分子也恰好等于一個強度量取復數值的配分函數。他們設計了一個探針-熱庫復合系統，其中探針是一個雙態系統，熱庫是一個鐵磁伊辛模型，它感受到的外場h 與雙態系統處于哪個態有關，記其差值為 Δh。這樣一來，熱庫的重疊振幅就成為：

G( t) =Z ( β,h + itΔh)/Z ( β,h) (7)

其中Z ( β,h) 是熱庫的正則配分函數?？梢钥吹剑丿B振幅G( t) = 0 當且僅當h + itΔh 是復h 平面上的李-楊零點！這意味著在上述的探針-熱庫系統中，時間軸相當于h的虛軸，從而李-楊零點可以被直接觀測。由此，原本位于復空間、無法觸及的李-楊零點信息，就被轉化為了時間演化信息這一可觀測量。

遵循上述思路，李-楊零點的首次實驗探測同樣由我國科學家完成。2015 年，中國科技大學的彭新華、杜江峰研究組與劉仁保研究組合作，用亞磷酸三甲酯分子實現了這樣的系統，如圖4a，其中充當探針的是磷原子的核自旋、充當鐵磁伊辛模型的是周圍九個氫原子的核自旋。G( t) 由液態磁共振技術測得，由G( t) = 0 確定出的零點位置如圖4b，這是實驗上首次測量出單個李-楊零點的位置。

圖4李-楊零點的實驗觀測，a)為亞磷酸三甲酯的示意圖，藍色球代表磷原子、黃色球代表氫原子，b-c)為不同溫度下測得的復z=e-βh零點(紅色)，與理論值(藍色)符合良好

李-楊理論也可以描述動力學行為的奇異性。在這方面的研究中，一維橫場伊辛模型 (TFIM) 扮演了重要角色。它和經典伊辛模型的區別在于是外場h 的方向不再與z 軸平行，這意味著h ≠ 0 時能量本征態不再是自旋的本征態。一維TFIM 的顯式解在1969年由Pfeuty給出，它最重要的性質是當 | h |

圖5一維橫場伊辛模型的淬火過程中，邊界配分函數Z邊界(R+it) 的零點。a) h1=0.4J，h2 =0.8J時的零點分布；b) h1=0.4J，h1=1.3J時的零點分布

循著李-楊理論的思想，若將哈密頓量中的實參數 ( 如外場h) 設為復數，就會得到非厄米哈密頓量，而這可以用開放量子系統實現。另一方面，量子力學的路徑積分表述意味著一個d 維量子系統的配分函數恰等于一個d + 1 維經典系統的配分函數，這稱為量子-經典對應關系。2022 年，東京大學的Ueda 研究組發現，可以將兩個量子比特以特定方式耦合，并在二者共同演化后對其中一個量子比特A進行測量和后選擇，從而等效地讓另一個量子比特S 在非厄米的哈密頓量下演化，且它的配分函數在量子-經典對應下恰與外場為虛數ih 的最近鄰伊辛模型的Z (T,ih) 相同！這樣一來，后者的各種有趣性質就都可以通過量子比特S 來研究，這包括李-楊圓定理和Fisher 于1980 年發現的反常臨界行為，如關聯函數隨距離不減反增、零點線密度在李-楊邊緣處發散等。2024 年，北京計算科學研究中心的薛鵬研究組與Ueda 研究組合作，通過將光子的偏振態編碼為量子比特，在實驗上實現了上述哈密頓量。他們對關聯函數、磁化強度、磁化率的臨界行為進行測量，證實了一維虛外場伊辛模型具有的各種性質。

從以上新進展中，我們已經看到李-楊理論的豐富內涵。其實，除了描述相變，它也給出了一種更嚴謹、更普適的定義“相”的方式。例如，高壓冰在不同溫度、壓強下會分別以普通冰VⅡ、動力學冰VⅡ和超離子冰VⅡ的形式存在，其擴散行為有明顯不同。然而，從結構相變的視角來看，它們都是體心立方結構，狀態方程也沒有明顯差別。那么，應該將它們看作同一個相，還是不同的相呢？

為了回答這一問題，筆者中的二人于2020 年至2022 年間發展了動力學系綜理論，它在給定的時間區間上，為系統的每個可能軌跡賦予了權重。具體來說，系統的勢能面將位形空間劃分成了若干個吸引域，稱為組分。每條軌跡都可以看成若干條組分內軌跡按時間順序串聯在一起，每個連接處都有一個跨組分事件，以下簡稱事件。每個事件都是一次勢壘翻越，如果它們是獨立的，則軌跡上的事件總數服從Poisson 分布。類比于傳統系綜理論對相空間的粗?；?，我們將事件的時間坐標離散化，這樣一來，一條軌跡上的各事件在時間軸上的所有可能分布，就和一維格子氣的所有可能構型一一對應！記第i 時刻發生的事件數為ni，則在各事件獨立的假設下，事件構型為( n1,n2,?,nN)的全體軌跡的總權重是，其中 是一個強度量，是每個時刻發生事件與不發生事件的相對概率。根據過渡態理論，的值與勢壘、溫度和時間粗粒度有關，我們將它看作系綜的自變量，其上述權重項對所有軌跡的求和即可定義動力學配分函數。通過對普通冰VⅡ和動力學冰VⅡ進行分子動力學模擬，發現?( 2)ij和Lennard-Jones 勢的形狀類似，而且幾乎不依賴溫度和壓強，如圖6a。至此，可以認為動力學配分函數對溫度、壓強的依賴完全體現在s中。根據李-楊理論，如果系統會隨溫度、壓強的變化而發生相變，的解析性也會被破壞，反之亦然。據此，我們在不同的演化時長下計算了的零點分布，發現這些零點組成了一條穿過實軸的曲線，且隨著演化時長的增加，李-楊邊緣逐漸趨于實軸，如圖6b。這為先前的問題給出了肯定的回答：普通冰VⅡ和動力學冰VⅡ確實是兩個不同的相。

圖6冰VⅡ動力學配分函數的性質。a)二事件關聯的等效勢能；b)復零點的位置

在沒有相變的超臨界區域，李-楊理論也帶來了出人意料的啟示。我們知道，相圖上的氣-液分界線會在一個臨界點(Tc,pc)處終止，這意味著如果溫度和壓強緩慢地沿圖7a 中的紅色曲線變化，系統將不會發生相變，這稱為超臨界轉變。然而，液相和氣相的性質有著本質差異，這注定了超臨界區域需要被進一步劃分。此時由于沒有相變這條“金標準”，類氣和類液區域的劃分方式遠不唯一，其中最常見的一種是Widom線，它定義為超臨界轉變過程中某個響應函數χ (T,p)的極值點──發散奇異點的柔和版本──組成的曲線。顯然，不同的響應函數會給出不同的Widom線，它們只在臨界點附近漸進地重合，構成氣-液分界線的延長線。

圖7相圖上的超臨界區域。a)超臨界轉變的示意圖，氣相沿紅色曲線演化為液相時不經歷相變；b)復(T, p)空間中，李-楊零點的密度與李-楊邊緣的位置；c)使Cp和KT取得極值的兩條Widom線幾乎重合于復T平面和復p平面上的李-楊邊緣在實(T, p)平面上的投影

針對此問題，2023 年，筆者研究組的歐陽霄宇等人發現，不同的Widom線恰好對應于復 (T,p)空間中不同截面上的李-楊邊緣在實 (T,p) 平面上的投影。這一發現分別在范德華模型、有外場的最近鄰伊辛模型和TIP4P 水模型中被驗證，它們涵蓋了精確解與數值模擬、離散與連續的位形空間、鐵磁-順磁轉變與氣-液轉變，體現了這一規律的普遍性。圖7b 展示了范德華模型在復(T,p) 空間中T ∈ ? 截面和p ∈ ? 截面上的李-楊零點密度分布，它們有清晰的李-楊邊緣。這兩個李-楊邊緣的投影分別對應于p 和T 的響應函數──等壓熱容Cp和等溫壓縮率KT 取得極值的Widom線，如圖7c。這告訴我們，在T 和p 只能取實數值的相圖上，不同的Widom線只是同一李-楊零點分布的不同表象；當T 和p 取復數值時，氣-液分界線在臨界點處不會終止，而是離開實 (T,p) 平面，以李-楊邊緣的形式延伸到實維度為4的復 (T,p) 空間中。我們將這一物理圖像稱為復相圖，它顯示了超臨界區域被普通相圖隱藏的結構，說明了李-楊零點不止在趨于實軸時才有意義──遠離實軸的李-楊邊緣主導了超臨界物質的行為。

五、總結

筆者在學習李-楊理論的過程中，多次驚嘆于它的優美和強大。它讓我們能夠從復數和解析性的角度理解相與相變，并將數學上的零點結構與現實中的可觀測量聯系在一起，堪稱數學與物理學結合的典范。時至今日，無論是理論上還是實驗上，李-楊理論都得到了深入的發展。然而，與其根本意義和普適性相比，筆者深感人們對李-楊理論的關注還遠遠不夠。我們期待未來有更多關于李-楊理論的研究，使更多人看到它帶來的深刻洞見。

致謝

本文相關工作的進行過程中，得到了國家自然科學基金委基金項目(12204015、123B2048、12234001、12474215、62321004)與國家重點研發計劃(2021YFA1400500、2022YFA1403500) 的大力支持，特此感謝！

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