超越成對相互作用的網絡：結構與動力學

Networks beyond pairwise interactions: structure and dynamics

超越成對相互作用的網絡：結構與動力學

https://arxiv.org/pdf/2006.01764

許多生物、社會和技術系統的復雜性源于其單元之間相互作用的豐富性。在過去的幾十年里，各種各樣的復雜系統已被成功地描述為網絡，其中相互作用的節點對通過連邊連接。然而，在面對面的人類交流、化學反應和生態系統中，相互作用可以發生在三個或更多節點的群體中，而不能僅僅用簡單的二元組來描述。直到最近，真實復雜系統的高階架構很少受到關注。然而，越來越多的證據表明，將這些系統的高階結構考慮在內，可以極大地增強我們的建模能力，并幫助我們理解和預測其涌現的動力學行為。在此，我們對超越成對相互作用的網絡這一新興領域進行了全面的概述。我們首先討論了表示高階相互作用的方法，并對用于描述高階系統的不同框架進行了統一的闡述，突出了現有概念與表示之間的聯系。我們回顧了旨在表征這些系統結構的度量方法，以及文獻中提出的用于生成合成結構的模型，例如隨機和增長的單純復形、二部圖和超圖。然后，我們介紹并討論了關于高階動力學系統和動力學拓撲的快速增長的研究。我們重點關注當擴展到超越成對相互作用時，表征標志性動力學過程（如擴散、傳播、同步和博弈）的新型涌現現象。我們闡明了高階拓撲與動力學特性之間的關系，并以對實證應用的總結作為結論，為當前的建模和概念前沿提供了展望。

I. 引言

對復雜系統的任何實質性理解都必須依賴于系統層面的描述。考慮以下練習：拿一個生態系統，并將其分解成它的各個部分。無論我們在單個物種層面的知識有多么好或準確，我們對種群動態（例如，不同物種的豐度如何隨時間變化）的理解充其量都將是微乎其微的。當我們試圖從人腦的單個神經元出發來解釋癲癇發作時，或者從個體人類心理學出發來解釋病毒式謠言在社會中的傳播時，情況也是如此。所有這些方法都失敗了，因為它們遺漏了任何復雜系統的一個基本要素，即系統組件之間非線性相互作用的豐富模式。經過多年的還原論之后，科學界已經放棄了這樣一種觀念，即通過孤立地考慮系統的單元就可以簡單地理解和預測復雜系統的集體行為[1]，并且現在比以往任何時候都更加接受復雜性作為支配我們所居住的世界的原則之一的觀念。在這一范式內，網絡已成為復雜系統的參考建模工具[2]。網絡是定義相互作用發生的物理或虛擬空間的地圖。將競爭和合作關系添加到生態系統中，將突觸連接添加到人腦中，并將人類互動添加到謠言傳播中，我們在自然界中觀察到的自組織模式和集體行為便很容易開始展現出來，顯得不再那么晦澀。建立在早期數學、社會網絡分析和生態學工作的基礎上，千禧年之交的一小批突破性論文引起了科學界的興趣，在過去二十年里引發了數千項研究成果，并導致了網絡科學這一新的多學科領域的形成。這個新的研究群體已經將圖論和統計力學的一種不尋常的混合發展成了一門繁榮的學科，其應用涵蓋了從基礎物理一直到社會科學的全部科學范圍。其邊界和潛在應用還有待完全實現[2]。盡管如此，范圍和工具的豐富性已經使網絡領域成為一門獨立的學科，通常被稱為一門自成一體的科學。網絡科學的增長也得到了包含社會、技術和生物相互作用詳細信息的大型數據集日益廣泛的可用性的加強，這些數據集為網絡模型和預測的經驗驗證提供了原始材料。對于對初步了解網絡科學感興趣的讀者，我們推薦關于該主題的幾篇早期綜述論文[3–6]和教科書[7–10]。

隨著對現實世界系統探索的深入，網絡科學家正在認識到需要進一步表征和豐富網絡描述所捕獲的關系。然而，這產生了一個問題：網絡最初被理解為節點的集合（代表系統的基本單元）和邊的集合（描述這些單元對之間相互作用的存在）。然而，在現實世界系統中的應用要求能夠描述相互作用的更多細節[11]，例如：有向邊用于描述消息的起源和目的地；邊權重用于突出相互作用的強度；甚至邊上的符號用于區分一條連邊是否編碼了兩個單元之間的有益或有害相互作用。近年來，人們投入了大量精力來形式化和發展數學工具以分析時間網絡，其中相互作用不是靜態的，而是在時間維度上展開[12]。類似地，許多研究最近考慮了相互作用系統的情況，其中單元可以通過不同性質的連邊連接，并且可以用多重網絡或多層網絡來有效表示[13]。

所有這些方面在許多情況下都有助于更好的網絡表示，但是網絡本身是否足以提供復雜系統的完整描述？

網絡的根本局限在于它們僅能捕捉成對相互作用（pairwise interactions），而許多系統展現的是群體相互作用。事實上，在社會系統、生態學和生物學等諸多例子中，許多連接和關系并非發生在節點對之間，而是發生在節點群體層面上的集體行動。例如，在復雜的生態系統中，三個或更多物種通常會競爭食物和領地[14]。在其他情況下，第三個物種的存在會影響另外兩個物種之間的相互作用，直接改變的是相互作用本身（連邊），而不是所涉及的物種（節點）。同樣地，諸如“同輩壓力”（peer-pressure）之類的社會機制，其本質就超越了二元連接（dyadic connections）的概念。集體相互作用并非一個全新的概念，在某種程度上，它們已經出現在早期的網絡研究中。例如，意見形成動力學中的多數規則模型（majority-rule model），或演化博弈論中的公共物品博弈（public goods game）。除了這些例子之外，近年來網絡科學中最成功的研究方向之一——復雜傳染（complex contagion），也自然地考慮了多個同時發生的相互作用[15]。然而，在所有這些情況下，這些應用都試圖借用成對網絡的語言來描述高階相互作用，例如通過使用二部圖（bipartite graphs）[16]。我們能否轉而尋找能夠明確且自然地描述群體相互作用的數學框架？

單純復形（Simplicial complexes）和超圖（hypergraphs）是提供此類描述的自然候選者。事實上，在過去的幾年里，對這些表示方法的熱情浪潮，已經徹底改變了我們看待和處理現實世界系統的視野與能力，這些系統往往具有超越簡單二元連接的特征。高階相互作用的重要性在很久以前就已被認識到[17–19]，但這種重新煥發的興趣，為我們帶來了關于高階表示的嶄新且更為深刻的理解。現在毫無疑問，超越二元相互作用，是解釋和預測以往無法描述的集體行為的基礎。

本報告旨在對超越成對相互作用的復雜網絡的結構與動力學的最新研究現狀進行綜述，并為該領域的關鍵未解問題提供參考與展望。連同本引言，本報告的組織結構如下： ? 第一部分（第II至IV節）側重于具有高階相互作用的系統的結構。具體而言，第II節介紹了支撐高階表示的數學框架。第III節描述了目前用于刻畫多體相互作用系統結構的最常用度量與性質。最后，第IV節回顧了高階系統的隨機模型，以及它們如何被用于進行統計推斷。 ? 第二部分（第V至VIII節）側重于具有高階相互作用的系統的動力學。更具體地說，第V節討論了高階擴散模型。第VI節描述了振子模型與同步現象的推廣。第VII節介紹了具有群體結構的社會系統中傳播現象的最新模型。第VIII節報告了多個主體（agents）之間競爭與合作的模型。 ? 最后，第IX節概述了高階相互作用系統在現實世界中的應用。我們的最終結論與展望在第X節中呈現。

我們在本前言的最后作一補充說明。在網絡分析中納入高階相互作用的想法非常簡單。就此而言，超越成對相互作用看起來似乎并不比在圖的邊上附加權重或符號更難。然而在實踐中，從成對關系轉向更復雜的相互作用結構卻是一個棘手的問題，它需要高度的復雜性與新穎的數學工具。這就解釋了為什么與加權、帶符號的網絡，甚至時間網絡和多層網絡相比，復雜系統在這一方面的分析進展嚴重滯后。畢竟，經典物理學早已知曉這一點：盡管兩體問題存在閉式解，但給定位置和動量來求解 n n 個相互作用物體的運動軌跡，至今仍是一個未解之謎！

II. 網絡的高階表示

A. 高階相互作用的基本表示

1. 低階與高階表示

區分低階和高階相互作用有兩個原因。首先，它突出了圖論描述（塑造了近幾十年來復雜系統的研究）與最近（重新）提出的基于真實群體相互作用的描述之間的差異。其次，它使我們能夠清晰地構建這些描述之間的聯系、它們的各種重疊和相互映射。最后，我們的定義明確排除了系統組件之間其他類型的高階依賴關系，例如由多層網絡中的多種連邊類型 [13, 20-23]，或由帶時間戳的相互作用數據中的非馬爾可夫路徑 [12, 24] 所定義的依賴關系。雖然這些不在本綜述的范圍內，但感興趣的讀者可以在上述提到的參考文獻中找到關于這些主題的廣泛討論。

1. 基于圖的表示

很容易看出，當相互作用被描述為二部圖時，我們玩具模型中的全部信息都被保留了。事實上，這種表示非常通用，確實可以很好地模仿大多數相互作用結構。然而，與其他多層圖公式 [13, 20] 不同的是，在二部圖中，原始系統的節點不再直接相互相互作用。相反，它們的關系總是由相互作用層介導的，而該層的性質與節點層本身不同。這意味著在二部表示上定義的任何度量或動態過程都需要考慮到這種額外的復雜性。解決這個問題的常用變通方法是考慮通過將二部圖投影到兩個層之一上而獲得的單部網絡（unipartite networks）。

每個相互作用隨后變成了屬于該相互作用的節點之間的一個全連接子圖，以與簡單圖情況相同的方式丟失了群體結構。此外，通常不可能將定義在二部圖上的標準圖算子（例如拉普拉斯算子）中包含的信息轉換為對應于單部投影的算子 [50, 51]。

模體（Motifs）允許提取關于相互作用屬性的額外信息。它們是給定網絡或一類相似起源網絡中——通常很小的——重復出現的子圖 [52]。模體被定義為頂點之間特定的邊（1-相互作用）模式，這些模式在網絡中表現為統計顯著的（圖 1E）。它們被視為網絡功能的結構特征。也就是說，不同的模體可以對應并反映不同的功能，或者同一功能的不同優化解 [53]。典型地，在網絡中觀察到各種模體的經統計驗證的頻率（z-分數）被收集到一個模體譜（motif profile）中，隨后可用于例如區分不同的網絡 [54]，例如不同狀態下的腦功能網絡 [55, 56] 或不同演化程度的生物網絡 [27, 53, 57]。模體在社會 [58] 和時間 [59, 60] 系統的研究中也發現了廣泛應用。模體構成了系統二部表示的一種細化，因為除了類似于二部圖的群體劃分外，它們允許指定節點參與的相互作用模式。這樣做的缺點是，待研究的潛在模體數量隨著涉及節點數量的增加呈指數級增長。不幸的是，這使得它們作為大型圖和/或模體的描述工具變得相當笨重。例如，旨在通過基于模體的約束來量化網絡隨機性的生成模型 [61] 已被證明變得非常難以管理，甚至難以采樣，特別是對于2階以上的相互作用 [62]。

1. 顯式高階表示

單純形描述非常強大，因為它們配備了許多良好的數學工具。事實上，在單純復形上為任意維度定義拉普拉斯算子（Laplacian operators）是直截了當的 [67, 68]，它們既可以逼近正則流形，也可以逼近高度不規則的結構 [69, 70]，并且它們自然地配備了將不同維度的單純形串聯在一起的邊界算子（boundary operators）。至關重要的是，這些算子根據單純復形的圈（cycles）、空腔（cavities）和高階拓撲孔洞（higher-order topological holes）來描述其拓撲和形狀 [71]，并且自然地與組合拉普拉斯算子相關 [68]。在接下來的章節中，我們將更詳細地描述這些性質中的許多，因為它們代表了目前可用的一些最強大的工具，并且是拓撲數據分析（topological data analysis）近期進展的基礎 [72–74]。

雖然單純復形克服了其他低維表示遇到的一些問題，但它們仍然受到所有子面存在性要求的相當大限制。在某些情況下，這種約束過于嚴格。例如，在研究社會系統時，能夠描述群體中的相互作用是很重要的。在這種情況下，我們可以使用單純復形，因為假設群體相互作用也隱含了底層的成對相互作用是相當安全的（圖 1J）。成對相互作用與群體相互作用的相對重要性隨后可以編碼在單純形的權重中。

然而，在其他情況下，包含約束可能不那么容易證明是合理的：假設例如我們正在研究科學論文中的合作，我們觀察到一篇由三位作者撰寫的論文，而相應的作者對之間卻沒有合作；或者基因通路恰好需要三個基因來執行一項功能，但子群本身并不負責任何功能。顯然，能夠描述這些情況也將是有用的（圖 1K）。

B. 表示之間的關系和聯系

自然，當討論同一相互作用系統的不同表示時，會出現許多問題：兩種不同的表示之間有多少重疊？是否可能以規范的方式將一種映射到另一種？在表示之間轉換時，什么樣的信息被保留（以及丟失）？例如，似乎顯而易見的是，僅由1維單純形（邊）組成的單純復形應該與圖是同一回事，對吧？

在另一個極端，單純復形的面表示在存儲的單純形數量方面是最簡約的。復形 K K 的一個面（facet）是不包含在 K K 中任何其他單純形中的單純形。在哈斯圖中，面對應于不包含在任何其他節點中的節點。在圖 2B 中，它們被標示為帶有橙色輪廓的單純形。在這個意義上，面類似于圖中的極大團（maximal cliques），并且就像極大團一樣，復形的面列表唯一地標識了它。這也是一種壓縮描述，因為它隱含了所有子單純形的存在而無需顯式列出它們。事實上，面表示是偽裝下的有向二部圖，其中面構成一層，頂點構成另一層，有向邊代表節點在面中的包含關系。它也可以很容易地從哈斯圖中恢復，只需保留頂點層和出度為零的單純形（即其上方沒有任何東西）。隨后，與面表示相關的這個二部圖也可以作為超圖進行研究，其中面成員資格定義了超邊（圖 2C）。請注意，反之通常是錯誤的：二部圖（或超圖）僅在沒有任何連接到面節點（超邊）的頂點節點集是連接到另一個面節點（超邊）的另一組節點的子集時，才會產生面表示中的單純復形；簡而言之，面的入射節點集需要尊重面的非包含性質，或者等價地，沒有超邊可以被包含在另一個超邊中。

III. 度量

在上一節中，我們討論了描述和表示高階相互作用的各種方式與層級。在本節中，我們將重點關注可觀測量和度量，這些工具可用于在系統描述的各個層級上表征和量化高階相互作用系統的結構性質。特別地，在涉及團、超邊、集合或單純形的情形下，許多為普通圖開發的常見概念已被推廣至其高階對應形式。我們將首先討論如何借助矩陣或張量來描述相互作用。隨后，我們將展示基于圖的標準度量是如何被推廣的，以及利用它們可以提取出哪些見解。

A. 高階系統的矩陣表示

1. 關聯矩陣

在表征高階系統（HORs）的各種屬性時，關聯矩陣非常有用。例如，圖或高階系統中節點 i i 的度可以定義為關聯矩陣第 i i 行元素的總和。在（簡單）圖中，關聯矩陣的列總和總是 2，因為所描述的關系總是發生在圖的兩個節點之間。然而，在超圖（單純復形）中，矩陣的行可以有兩個以上的非零元素，因為每條超邊（單純形）可以描述兩個以上頂點之間的相互作用。關聯矩陣列元素的總和定義了系統超邊（單純形）的大小序列。這兩個局部度量，即節點的度和超邊的大小，是人們可以用來研究高階系統（HORs）屬性的首批度量。

1. 鄰接矩陣

B. 行走、路徑和中心性度量

網絡中心性是與節點相關的度量，用于量化一個節點在網絡中的“中心”程度。一個節點被視為具有中心性的方式有很多種：例如，如果它連接到許多其他節點，它可以被認為是中心的（度中心性）；或者是相對于它與網絡其余部分的連通性而言（基于路徑的中心性、特征向量中心性）。在下文中，我們將回顧一些最常見的中心性度量及其向高階的可能推廣。

1. 度中心性

最簡單的中心性度量是頂點的度，它統計有多少其他頂點與其相連。度可以很容易地根據 III B 節中定義的任何鄰接矩陣定義為：

1. 路徑和基于路徑的中心性

1. 特征向量中心性

在某些應用中，量化一個節點對整個網絡的影響力很重要，而不是其相對于可能路徑的中心性。特征向量中心性最初由 Bonacich [103] 在社會學背景下引入，試圖使用迭代定義來捕捉這種效應。事實上，節點的特征向量中心性取決于其鄰居的中心性 [104]。在圖的情況下，它可以寫為

C. 三元閉包與聚類系數

在網絡分析中，超越與節點相關度量的一個關鍵概念是三元閉包（triadic closure）。這是一個源自社會學 [111] 的概念，它認為兩個人之間強烈的社會聯系只有在它是三角形的一部分時才會發生。換句話說，我最親密的朋友是那些我與其擁有共同朋友的人。在圖結構中，三元閉包表示為被第三條邊閉合的長度為 2 的 2-路徑（2-paths）。由邊直接連接的相鄰節點對所占的比例定義了節點的聚類系數。聚類系數是一個重要的網絡度量，它提供了關于節點鄰域密度的信息。該系數也可以作為被邊閉合的 2-路徑（即屬于三角形）的總百分比在全局范圍內進行計算。

這個概念不能很好地推廣到二部圖，因為三角形——像其他任何奇環一樣——在二部圖中不存在。然而，全局聚類系數可以通過其單模投影（one-mode projections）來定義，即二部圖中作為 6-環一部分的 4-路徑的數量 [112, 113]。

其他試圖將聚類系數的概念推廣到成對關系之外的嘗試，主要集中在保持其與三元閉包概念的緊密聯系上。一種可能性是根據節點在高階系統（HOrS）中可能具有的新鄰域定義來定義局部聚類系數 [114]。例如，在單純復形中，鄰域也可以在極大單純形層面定義，并且不僅可以為節點定義，也可以為高階單純形定義 [99]。

D. 單純同調

使用單純復形作為高階數據集表示的主要原因之一，是一種以獨特方式研究高階系統（HOrS）拓撲的新代數工具集：單純同調（simplicial homology）。同調是一個代數拓撲概念，它使我們能夠研究不同維度尺度下單純復形的結構。

在引入同調之前，我們需要在單純復形上定義一個代數結構。這需要為復形中的每個單純形強加一個定向（orientation），形式化為頂點的排序。定向可以任意選擇，就像在網絡中選擇節點標簽一樣，它僅是為了連貫地執行計算所必需的。定向是頂點排序上的一個等價類，如果兩個排序相差一個偶置換，則它們是等價的 [66, 117]。定向問題在 0-單純形中不存在，因為節點沒有定向，它僅在我們處理高階圖時才會出現。為了簡單起見，且不失去一般性，我們選擇由頂點標簽排序誘導的定向。

1. 邊界算子與同調群

1. 演化的單純復形

同調是代數中一個有著百年歷史的概念，也是數學中研究和分類形狀的關鍵工具之一 [117]。最近，這一概念已被擴展到加權和增長的單純復形 [118]。

受 90 年代形狀理論 [119] 的啟發，在 21 世紀初，全球不同的研究小組發明了持續同調（persistent homology）[72, 120, 121]，從而誕生了拓撲數據分析（Topological Data Analysis）領域 [73]。持續同調是一種計算增長的單純復形的同調并追蹤其同調特征如何沿著過濾（filtration）演化的方法 [122]。過濾是一串單純復形序列，它們為正在研究的數據空間提供 progressively 更精細的近似。在過濾中探索的多個尺度下，某些同調特征的持續性（persistence）與它們對數據空間的相關性有關，通常的假設是更持久的特征更重要，盡管對同調特征持續性的確切解釋關鍵取決于過濾是如何構建的（例如見 [123]）。在過去 20 年里，該領域得到了極大發展，并且針對單純復形在過濾過程中也可能丟失單純形的情況（之字形同調，zig-zag homology [124]），或者當單純復形的增長可以通過多個參數來描述的情況（多參數持續同調，multi-persistent homology [125]），引入了追蹤同調特征的新方法。感興趣的讀者可以在 [126] 和 [127] 中找到關于持續同調理論和實踐的良好介紹。現實數據集中很大一部分關于高階系統（HOrSs）的工作需要某種版本的持續同調。在第九節（section IX）中，我們提供了一些其使用的例子。

1. 單純復形中形狀的其他度量

同調的所有變體（持續性、之字形、多參數）都是根據關鍵介觀特征對結構進行分類的強大工具。然而，重要的是要注意，它依賴于用于計算同調的系數域 F F 的選擇。此外，同調不變量通常不是詳盡的，因為它們屬于同調等價類，因此它們壓縮掉了一些信息。這植根于拓撲性質對變形的不變性，經典的例子是馬克杯和甜甜圈之間的拓撲等價。事實上，目前還沒有完整的拓撲分類已知，人們可以找到單純復形在拓撲上與 3-球面（4 維空間中的球面）同調不可區分但根本不是球面的例子 [128]。盡管如此，同調不變量為數據空間中存在的動力學提供了獨特的見解，并且如上所述已發現廣泛應用（相關例子見第九節 Sec. IX）。

除了完整的同調描述外，其他不變量也已在應用中使用 [129, 130]。兩個常用的是歐拉示性數（Euler characteristic）和拉普拉斯譜熵（Laplacian spectral entropy）。

E. 高階拉普拉斯算子

拉普拉斯算子是一個在關系數據信息處理中起關鍵作用的算子，并且與微分幾何中的拉普拉斯算子有相似之處。與鄰接矩陣類似，將拉普拉斯算子推廣到高階系統（HOrSs）并沒有唯一的方法。然而，由于網絡可以被視為更大的 HOrSs 家族的一個特殊子集，圖拉普拉斯算子是屬于更一般的霍奇拉普拉斯算子（Hodge Laplacians）家族的一個特例。這里構建高階拉普拉斯算子（無論是針對超圖還是單純復形）的直覺是，在圖拉普拉斯算子中由節點扮演的角色，在高階中由連邊、三角形、四面體及更高維的對應物來扮演。

類比于圖中的標準構造，引入高階拉普拉斯算子的一個直接方法是根據 III A 節中介紹的鄰接矩陣之一來定義拉普拉斯矩陣 L L。因此我們可以寫出：

其中 A A 是選定的鄰接矩陣， D D 是對角線上為節點度序列的對角矩陣 [135, 136]。然而，這種方法產生的矩陣 L L等價于與鄰接矩陣 A A 相關聯的加權圖的拉普拉斯算子 [137]。

圖拉普拉斯算子可以解釋為離散拉普拉斯算子的一個特例，該算子表示定義在圖頂點上的函數的梯度流的通量密度。對于超圖和單純復形，由于其

這種與連續算子的理論聯系開啟了使用該張量的譜來研究高階系統（HOrS）擴散性質的可能性。例如，近年來，許多作者為特定的擴散過程定義了超圖上的拉普拉斯算子 [76–78, 140]。另一個高階拉普拉斯算子是在具有節點間高階相互作用的系統中振子同步的背景下設計的，并在參考文獻 [141] 中引入，將在 VI A 節討論。在以下小節中，我們將為超圖和單純復形上的拉普拉斯算子提供明確的定義。而在 V 節中，我們將詳細討論它們的數學性質及其與擴散的聯系。

1. 超圖拉普拉斯算子

1. 組合拉普拉斯算子

對于一般單純復形，可以通過兩個矩陣為每個維度 k k 定義一個高階拉普拉斯算子，這兩個矩陣分別編碼了維度 k k中上鄰接和下鄰接的作用：

IV. 模型

高階系統（HOrSs）的模型旨在重現、解釋和預測那些最好用涉及系統兩個或更多元素相互作用來描述的系統結構。為了允許其輸出具有可變性，這些模型通常被指定為隨機規則的集合，即作為隨機過程。因此，它們定義了高階系統集合上的隱式或顯式分布。在下文中，我們將回顧許多此類高階系統的模型。

為了更好地描繪模型之間的相似性和差異性，我們根據所使用的隨機過程類型將它們組織成兩大類。在第一小節（IV A 節）中，我們回顧平衡態模型（equilibrium models），其定義為高階系統上的靜態分布。在第二小節（IV B 節）中，我們回顧非平衡態模型（out-of-equilibrium models），其給出為高階系統上的分布序列。盡管這種分離在形式上并不完美（序列有時會收斂到平衡分布），但這些模型在實踐中往往截然不同，這使得這種分類很自然。我們的選擇也是基于這樣一個事實的驅動，即這些模型背后的哲學在某種程度上是格格不入的 [142]。一方面，平衡態模型通常簡單且易于分析；它們通常利用獨立性假設，這導致高階系統上的分布可以用解析方式寫出。因此，它們非常適合進行統計推斷，并作為在高階系統上發生的動力學過程的基質。另一方面，非平衡態模型盡管規范簡單，但通常會導致復雜的結果；這使得它們非常適合解釋真實系統的定性屬性如何從簡單規則中涌現。然而，我們注意到，這種分類有時可能是表面的，特別是當平衡態和增長的模型公式之間存在形式對應關系時 [143]。

在這兩個主要標題下，我們還根據模型所表達的表示形式對模型進行了組織（概述見 II 節）。我們發現這種分離很有用，因為不同的文獻線索在歷史上傾向于單一的表示形式，使得以相同表示形式給出的模型往往既基于相似的假設，又具有相似的建模目標。同時，我們認識到，從嚴格的數學角度來看，由于高階系統表示之間存在形式對應關系 [102]，表示形式的選擇再次顯得表面化。因此，只要存在形式等價性，我們就加以強調。

在最后的一個說明中，我們通過專注于將高階相互作用作為“一等公民”出現的模型，限制了本綜述的范圍。因此，我們排除了那些碰巧作為副產品生成高階相互作用的網絡模型，例如網絡中非平凡聚類 [144–146] 或團（cliques）[147, 148] 的模型。

A. 平衡態模型

1. 二部模型

我們首先從二部配置模型（bipartite configuration model, bipartite CM）開始回顧平衡態模型。它或許是二部網絡表示中描述的最著名的平衡態模型示例。二部 CM 生成高階系統（HOrSs），其中相互作用的大小和每個元素的相互作用數量都可以被控制，從而允許人們研究這些量對高階結構的影響。

二部配置模型提供了一個范式示例，說明如何使用 HOrSs 模型通過一種稱為“零模型建模（null modeling）”的技術來檢驗假設。零模型建模背后的總體思想是生成最大隨機的 HOrSs，其具有少數固定屬性與觀察到的實證系統相匹配。如果人們觀察到某些其他不相關的屬性在隨機系綜中被系統地重現，那么這些屬性在某種意義上是由固定屬性“解釋”的。因此，零模型建模有助于在實證研究中識別 HOrSs 屬性之間的聯系。

在二部 CM 的背景下，固定屬性是兩個節點集的度序列。例如，通過將這種技術應用于物種共現的二部網絡，已經表明“每個物種的位點數量”和“每個位點的物種數量”決定了結構，以至于人們無法斷定自然組裝規則是否驅動了網絡形成 [150, 151]。使用相同的方法，對于植物和傳粉者物種的二部網絡也得出了類似的結論 [155]。二部配置模型的一個變體也被證明可以重現基于 Stackoverflow 知識庫構建的問題和標簽網絡的大部分屬性，再次表明度可以“解釋”許多網絡屬性 [160]。然而，我們注意到，稍微改變模型可能會極大地改變網絡顯著性分析的結論 [85, 149]——人們應該仔細考慮建模假設。

二部配置模型（bipartite CM）是一組更為通用的隨機模型的特例，這組模型被稱為指數隨機圖模型（Exponential Random Graphs Model, ERGM），或 logit 模型 [161]。這些模型旨在生成網絡，在其中人們可以控制任意小子圖（模體，motifs）的相對頻率。正如我們在第二節（Sec. II）中所見，這些模體可以用來顯式地編碼高階相互作用——事實上，我們在下面的 IV A 2 節中討論了為此顯式目的而使用模體的 ERGM 版本。然而，目前我們只關注那些在二部網絡框架內添加模體的 ERGM 版本。換句話說，我們要關注的是那些利用兩個節點集來編碼高階相互作用，但也使用二部模體來生成高階系統（HOrSs）上更豐富分布的 ERGM。

人們最終意識到，從 ERGM 中采樣（無論是在二部還是單部網絡背景下）可能極具挑戰性，這是由于簡并問題（degeneracy problem）[170, 171]，即模型僅對空網絡和全連接網絡賦予高權重。這一認識促使針對特定 ERGM 規范開發了微妙的受物理學啟發的采樣方法 [172]，以及針對單部模型的全新規范 [162]。針對二部模型也提出了類似于新規范的方案 [173, 174]，從而導致了推斷的改進。

上述兩組模型——二部配置模型（bipartite CMs）和指數隨機圖模型（ERGMs）——重現了局部特征，如節點的鄰居數量或短環的數量。另一組平衡態模型則專注于重現其介觀尺度特征（mesoscale features）[182]。這些模型控制網絡中涉及許多（但非全部）節點的大型連接模式的頻率和組織 [183]。例子包括不相交的節點社區、異配混合組（disassortatively mixing groups）[184]，以及核心與邊緣的分離 [185]。

1. 模體模型

基于模體的模型被公式化為任意小圖集合（如三角形、短環或團）的組裝規則。它們可以被視為高階模型，因為它們是從非嚴格成對的關系構建系統的，盡管這些模型最終被定義為經典網絡上的分布。基于模體的模型有著豐富的歷史，可追溯到網絡科學的早期 [205]，其前驅是社會學的研究 [206, 207] 和統計學 [163]。

通用 ERGM 的主要推斷應用與二部 ERGM 相同：零模型建模，以及從局部調查構建整個網絡描述 [175]。至少還有一種 ERGM 特定于單部網絡的應用：量化模型的顯著性。這里的想法是固定所有小模體的分布，并將較大模體的數量與系綜中的預期模體計數進行比較 [52, 57]。這種方法識別出在圖中代表性不足或過度代表的模體，依據是我們對較小連接模式的預期。該方法曾被用來論證某些小模體是決定被建模系統功能的“顯著子單元” [52]。

另一類帶有模體的網絡模型來自關于簇狀網絡上發生的傳播過程的物理學文獻。這些模型往往非常靈活，并能重現真實系統的不少結構特征。它們首先且主要用于研究結構變化如何影響在這些網絡上展開的動力學過程的結果。

1. 隨機集合模型

雖然上述所有隨機交互圖模型中的集合本身是隨機的，但集合內部并不是隨機的——所有節點都是連接的并形成一個團（clique）。其他的交集圖模型包含了這一過程中存在噪聲的可能性 [231]，因此在形式上等同于上述節點-組模型的噪聲版本 [222]。例如，一個模型將節點分配給一個或多個大小不一的團，并且兩個節點僅在投影中以取決于共享團數量的概率連接 [232]。一種更奇特的構造是將節點以概率 分配給團，這些概率是隨機 Beta 過程（stochastic beta process）的結果 [233]。

正如我們要提到的，在數學文獻中，隨機交集圖因其結構屬性而被研究 [225]。但它們也在流行病學文獻中找到了推斷應用，作為具有高階交互系統的模型 [234]。在統計學文獻中，它們已被應用于將團覆蓋模型（clique-cover models）擬合到真實網絡中 [233]，這與用于擬合帶有模體（motifs）的網絡模型的覆蓋模型的精神是一致的 [216]。

我們順便指出，一些重疊社區（overlapping communities）模型導出的形式體系與這里提到的隨機集合模型非常接近。然而，由于人們很少將重疊社區視為高階交互——一個典型的社區太大，無法歸類為編碼一種“交互”——我們將不在此處對它們進行綜述。感興趣的讀者可以參考 Xie 等人 [235] 的綜述，以了解帶有重疊社區的網絡模型概況。

1. 超圖模型

許多高階系統（HOrSs）的平衡態模型通過將它們編碼在超圖中，更直接地納入了多體交互。關于隨機超圖的大部分工作來自數學文獻，在那里它們被作為隨機圖論中經典模型的直接且自然的推廣而被引入。

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原文鏈接：https://arxiv.org/pdf/2006.01764