用新不變量區(qū)分97%的復(fù)雜結(jié)并將規(guī)模延伸至600個交叉

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從電腦線纜的纏繞到貓咪打亂的針織籃子，結(jié)在日常生活中隨處可見。它們也滲透在科學(xué)中，出現(xiàn)在 DNA 的環(huán)狀結(jié)構(gòu)、纏結(jié)的聚合物鏈和旋轉(zhuǎn)的水流中。在純粹數(shù)學(xué)中，結(jié)是拓?fù)鋵W(xué)許多核心問題的關(guān)鍵。

然而，結(jié)理論家們?nèi)匀辉谔幚碜罨镜膯栴}：如何區(qū)分兩個結(jié)。

即使兩個復(fù)雜結(jié)看起來完全不同，僅憑外觀也很難判斷它們是否有相同的結(jié)構(gòu)。這個兩個結(jié)也許可以通過移動一些線將其中一種變?yōu)榱硪环N。

在過去的一個世紀(jì)里，結(jié)理論家發(fā)展出一套清晰但不完美的區(qū)分結(jié)的工具。這些工具稱為結(jié)不變量，它們各自測量結(jié)的某個方面——可能是由交織的線所形成的圖案，或是周圍空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。如果用不變量測量兩個結(jié)的結(jié)果不同，就證明了結(jié)是不同的。但反過來也不總是成立：如果不變量給出相同的結(jié)果，結(jié)可能是相同，也可能不同。

有些不變量比其他不變量更擅長區(qū)分結(jié)，但存在權(quán)衡：這些更強的不變量往往難以計算。

當(dāng)線交叉到 15~20 次時，許多不變量開始失效——要么無法區(qū)分許多結(jié)，要么計算變得太難。

圖示：Peter Guthrie Tait 的一頁論文，其中區(qū)分了 10 個交叉的結(jié)。

但如今，荷蘭格羅寧根大學(xué)的 Bar-Natan 和 Roland van der Veen 提出了一種新的結(jié)不變量，它不需要數(shù)學(xué)家在兩害之間做選擇：它既強大又易于計算。

這種結(jié)合了強度和速度的特性意味著數(shù)學(xué)家們可以探究以前遠(yuǎn)超其能力范圍的結(jié)。對于具有多達 300 個交點的結(jié)，計算新的不變量非常容易，而 Bar-Natan 和 van der Veen 甚至已經(jīng)計算了具有超過 600 個交點的結(jié)的不變量的一些方面。

對于每一個結(jié)，不變量會輸出一個色彩繽紛的六邊形“二維碼”，其對稱性和精致細(xì)節(jié)如同雪花一般。數(shù)學(xué)家們希望這些復(fù)雜的圖案能引導(dǎo)他們發(fā)現(xiàn)單個結(jié)更深層次的同調(diào)特征。

一桶繩結(jié)

考慮一個游戲，畫一個結(jié)，并嘗試將它的每一根線段染成紅色、黃色或藍色。規(guī)則是必須至少使用每種顏色一次，并且在每一個交叉點，要么三種顏色都出現(xiàn)，要么只有一種顏色出現(xiàn)。有些結(jié)可以這樣做，但有些則不行。

圖示：繩結(jié)上色的兩種示例。

無論如何進一步纏結(jié)任何一個給定的結(jié)，如果它最初是“三色可染”的，那么它將保持這種狀態(tài)。同樣，不是三色可染的結(jié)將保持不變。這使得三色染法成為結(jié)的一個不變量。

在過去的一個世紀(jì)里，結(jié)理論家們已經(jīng)提出了數(shù)百種不變量。利用這些工具，他們成功地將超過 20 億種 20 個或更少交叉的結(jié)進行了分類——考慮到可計算且強大的不變量稀缺，這無疑是一項英雄般的努力。

打結(jié)的高速通道

Bar-Natan 與 van der Veen 是兩位擅長編程的理論家。，前者在二十多年前發(fā)現(xiàn)了新不變量。當(dāng)時他試圖理解帶狀結(jié)——這種結(jié)沿著穿過自身的帶狀邊界運行。這項工作使他重新審視了被稱為康采維奇積分的不變量，它包含了許多其他結(jié)不變量。數(shù)學(xué)家們對這個不變量抱有極高期望，他們預(yù)測該不變量能夠區(qū)分所有結(jié)。

圖示：越來越復(fù)雜的“方形編織”結(jié)的 QR 碼。

于是，Bar-Natan 開始嘗試用更易計算的不變量去逼近 Kontsevich integral，同時盡量保留其中有價值的信息。理論上，確實存在一串自然遞進的不變量，它們能捕捉 Kontsevich integral 中越來越多的細(xì)節(jié)；但除了其中第一個成員之外，沒人知道怎樣高效地把其余不變量完全算出來。

2015 年，在奧胡斯大學(xué)的一場講座上，Bar-Natan 發(fā)出了一份手寫講義，底部用大號洋紅色斜體寫著“Help Needed!”。坐在臺下的 Van der Veen 接下了這個呼喚。兩人一起嘗試搞清楚，怎樣越過這一串不變量中的第一個。

他們先從這串不變量中的第一個開始，并決定推廣其中一種方法，把它表述成了“車流”的語言。設(shè)想把一個結(jié)看成一條單行高速公路，你把這條高速公路在某處剪開，于是它有了起點和終點；再設(shè)想在每兩個交叉點之間都有一座城市。如果一輛車從高速起點出發(fā)，它會沿途經(jīng)過每座城市一次，然后離開終點。

圖示：Bar-Natan 和 Van der Veen 提出的裁剪法。

為了構(gòu)造亞歷山大多項式，可以想象在每個交叉點上有一條從立交橋通向下方車道的可選匝道。當(dāng)車到達立交橋時，它有某個概率——記作 xxx——選擇下匝道，而不是繼續(xù)走立交橋本身。（真正的設(shè)定要更復(fù)雜一些，有時還會涉及 xxx 的倒數(shù)。）這時車并不一定會恰好經(jīng)過每座城市一次。

Bar-Natan 和 van der Veen 覺得，也許可以為不變量序列中的第二步寫出一個類似公式，只不過要讓兩種車在下匝道上的概率不同，比如一個是 x，另一個是 y。但盡管嘗試了很多次，他們始終想不出一個可行的交通模型。

直到有一天，他們從亞原子粒子的數(shù)學(xué)中得到了啟發(fā)。就像粒子可以彼此結(jié)合或分裂成其他粒子一樣，Bar-Natan 和 van der Veen 設(shè)想兩種車有時會合并成第三種交通工具——好像一輛車被另一輛車拖著走。兩輛車會作為一個整體一起在高速上行駛，之后又可能再次分開，各走各的路。

圖示：擁有 300 個或更多交叉的幾個結(jié)的 QR 碼。

Bar-Natan 和 van der Veen 覺得自己已經(jīng)找到正確的設(shè)定，但他們?nèi)圆恢廊绾伟阉薪煌ê瘮?shù)組合起來，直接生成一個結(jié)不變量。盡管如此，這個設(shè)定至少給了他們一種關(guān)于不變量“應(yīng)該長什么樣”的直覺。于是他們采用了一種老辦法：先寫下一個結(jié)構(gòu)正確的公式，再調(diào)整其中的系數(shù)，讓它在結(jié)的線股被移動時仍然保持不變。

某種意義上，這個結(jié)果是他們硬試出來的。

糾纏在一起的猜想

雖然這個多項式看起來很雜亂，但它表現(xiàn)出驚人的能力。例如，對于 18 個交叉的結(jié)，它可以區(qū)分超過 97% 的情況；相比之下，Jones polynomial 只能達到約 42%，而 Alexander 多項式約為 11%。與此同時，它仍然可以高效計算，這種組合在結(jié)理論中極為罕見。

更進一步，這個不變量的系數(shù)可以被繪制成熱圖，從而生成前述的“二維碼”。只要兩個結(jié)的圖案不同，就可以確定它們不同。

研究者認(rèn)為，這一工具的意義不止于分類。它可能還與更深層的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)相關(guān)，例如結(jié)的虧格（genus），并有望提供新的下界估計。此外，他們猜測這一不變量可能等價于 Kontsevich 積分的某一近似形式（所謂“two-loop polynomial”）。如果這一點被證明成立，將意味著這一工具在理論上的地位將進一步提升。

盡管如此，這項工作仍未結(jié)束。作者自己也承認(rèn)，他們目前可能只是“闖入了故事的中段”，對其完整結(jié)構(gòu)的理解仍然不充分。但可以確定的是，這一方法打開了一條新的路徑：通過可計算的結(jié)構(gòu)去逼近最強大的拓?fù)洳蛔兞俊?/p>

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