二維量子轉子模型的生成式深度學習

二維量子轉子模型的生成式深度學習

Generative Deep Learning for the Two-Dimensional Quantum Rotor Model.

https://arxiv.org/pdf/2602.20772

各種生成式深度學習模型及其變體的發展，為研究量子多體問題提供了豐富的見解。在這項工作中，我們基于生成對抗網絡（GANs）的基礎架構設計了兩個模型，以研究二維量子轉子模型（QRM）的基態性質和相變特征。在半監督學習框架內，我們在生成器中加入了多個轉置卷積層，使得條件GAN能夠更有效地提取低維編碼信息。通過分析與不同系統尺寸的基態樣本相關的一維潛變量，我們能夠定位臨界點的位置。此外，我們在深度卷積GAN的損失函數中引入了與分布特征相關的動態自適應權重因子，并利用上采樣技術來擴大生成的樣本尺寸。通過對QRM在不同磁化區域的平均磁化強度和勢能密度優化過程的比較，表明我們的模型能夠高效地生成有效的基態樣本，顯著減少計算時間。我們的結果突顯了生成式深度學習在量子相變研究中的潛力，尤其是在臨界點識別和為量子多體模型輔助生成模擬數據方面。

I. 引言

機器學習與物理學的深度融合正在孕育科學研究的新范式。通過系統的參數優化和迭代更新，神經網絡已展現出卓越的映射和泛化能力，從而在天文學[1–4]、高能物理[5–7]、生物物理[8–10]、復雜性科學[11, 12]和量子物理[13–15]中獲得了廣泛應用。特別是，量子多體系統的內在概率性質與深度學習的數據驅動基礎自然契合[16]。神經網絡量子態（NQS）的概念被提出，用于使用人工神經網絡表示量子多體波函數[17]。相關研究表明，基于全連接網絡和卷積網絡的深度NQS架構能夠更有效地捕捉量子態的復雜特征[18–22]。在廣泛的機器學習架構中，基于監督學習和無監督學習的方案在經典相變研究中已取得顯著進展[23–25]。在量子多體系統的模擬中，深度學習可以通過優化基態波函數參與整個計算流程[26]。因此，設計更多基于監督學習和無監督學習的方案，有望進一步輔助識別量子相和預測量子相變。

量子相變發生在量子多體系統中，由量子漲落驅動。一個關鍵特征是對稱性破缺：高溫相通常表現出更高的對稱性，而低溫相通過自發對稱性破缺形成有序結構，導致在接近絕對零度時基態性質發生非熱突變[27]。量子相變研究的早期推動力主要源于超導體、有機導體及相關化合物中的實驗觀測[28–30]，以及對莫特金屬-絕緣體轉變的研究。盡管使用量子蒙特卡洛和變分蒙特卡洛方法在量子多體系統的實時動力學模擬方面已取得顯著進展[31–34]，但在構建大規模耦合自旋晶格系統的基態方面仍然面臨巨大挑戰。這一困難主要源于在計算配分函數的路徑積分時需要對大量量子態進行采樣。例如，在耦合量子轉子系統中，即使轉子數量略微增加，所需的波函數采樣量也會呈指數增長[35–37]。因此，尋找合適的加速策略和改進的模擬方法已成為亟待解決的關鍵問題。

生成式深度學習在與物理先驗知識結合時，在數據增強、多尺度建模和物理定律發現方面展現出巨大潛力。其中，生成對抗網絡（GANs）——由生成器和判別器組成——能夠從目標分布中直接采樣，從而規避傳統概率推理的計算成本[38, 39]。多種擴展變體，如深度卷積生成對抗網絡（DCGAN）、Wasserstein生成對抗網絡、條件生成對抗網絡（CGAN）和循環生成對抗網絡，已在生成穩定性和多樣性方面得到了改進[40–44]。在本工作中，我們采用條件生成對抗網絡（CGAN）來學習二維量子轉子模型（QRM）的基態構型，以進行相分類和臨界點識別。此外，利用深度卷積生成對抗網絡（DCGAN）變體的靈活性——配合定制的損失函數和上采樣技術——我們從較小系統生成大規模轉子構型，并通過可觀測量測量驗證生成樣本的物理一致性。

本文其余部分的結構如下。在第二節中，我們介紹量子轉子模型（QRM），并基于大N近似概述其量子相變的基本特征。第三節詳細描述了生成對抗網絡框架的定制變體及其在二維量子轉子模型（QRM）中的應用。在第四節中，我們展示主要結果，包括使用條件生成對抗網絡（CGAN）識別不同尺寸量子轉子系統中的臨界點，以及通過自行設計的深度卷積生成對抗網絡（DCGAN）模型加速生成基態樣本。最后，第五節提供結論性意見并總結本工作的關鍵發現。

II. 模型

這些結果表明，在量子臨界點附近，自旋取向發生對應于量子順磁相和鐵磁相之間轉變的大尺度重排。因此，對于二維量子轉子模型（QRM），隨著控制參數 g g的變化，會發生量子相變，并且不同的量子相可以在遠離臨界區域的范圍內穩定存在。該理論框架為本研究中應用基于半監督生成對抗網絡（GAN）的方法來識別量子相和定位臨界點提供了重要支持。

III. 方法

在本節中，我們描述了獲得量子轉子模型（QRM）基態樣本的總體流程，并介紹了本工作中開發的兩種生成式深度學習框架。第一種方法基于半監督學習的概念，構建了一個完整的條件生成對抗網絡（CGAN）架構，以識別不同系統尺寸下二維量子轉子模型（QRM）的臨界點。第二種方法在無監督學習框架下制定，采用帶有自定義損失函數的定制深度卷積生成對抗網絡（DCGAN），以加速大規模基態樣本的生成。這兩種生成對抗網絡（GAN）變體的設計原理和應用依據在方法部分中介紹，而結果部分則進一步闡述了研究的具體細節。

參考文獻[37]提出了一種基于卷積神經網絡（CNN）的框架，用于模擬量子轉子系統的實時動力學，這代表了神經網絡量子態（NQS）的一個典型應用。神經網絡量子態（NQS）的核心思想是使用由一組內部參數 w w表征的人工神經網絡來表示量子多體系統的波函數，從而在給定哈密頓量 H H下提供基態及其含時可觀測量的最優表示。一旦網絡訓練完成，所得的機器學習架構可以針對給定的量子構型輸出波函數 Ψ Ψ的相位和幅值。

神經網絡參數的優化基于變分原理，其中采用反饋機制來近似時間演化的波函數和基態波函數。在該優化過程中使用了變分蒙特卡洛（VMC）模擬方法[46]，通過對網絡參數進行隨機采樣以最小化能量期望值：

本工作中采用的深度學習框架主要基于生成對抗網絡（GAN）架構衍生的變體生成模型。最初的生成對抗網絡（GAN）是為了解決深度生成模型在最大似然估計及相關策略下遇到的難以處理的概率計算問題而提出的。其對抗機制消除了生成過程中對顯式反饋循環的需求，從而通過使用分段線性激活函數提高了梯度反向傳播的效率。生成對抗網絡（GAN）的訓練目標由以下極小極大優化函數定義：

具體而言，生成器旨在生成與真實數據無法區分的樣本，而判別器則努力正確區分真實樣本和生成樣本，并滿足給定條件。在訓練過程中，這兩個目標通過極小極大過程交替優化。

在我們的研究中，采用條件生成對抗網絡（CGAN）模型來識別量子轉子模型（QRM）的臨界點，同時開發了一種定制的深度卷積生成對抗網絡（DCGAN）架構，以加速大規模平衡態樣本的生成。兩種方法共享相同的基本生成對抗網絡（GAN）結構，因此表現出相似的訓練動態。

在各種生成對抗網絡（GAN）變體中，條件生成對抗網絡（CGAN）在訓練過程中引入附加條件因子，以增強生成結果的可解釋性和可控性。條件信息與生成分布緊密耦合：在接收條件輸入后，生成器通過其內部神經網絡結構將條件信息融入生成樣本中，確保輸出不僅與真實數據相似，而且反映規定的條件。在我們的實現中，采用了條件批量歸一化，其中條件信息調制生成器每一層的歸一化參數。基于量子轉子模型（QRM）的理論認識，我們在遠離量子臨界區間的區域對訓練數據集賦予部分標簽，從而提升條件生成對抗網絡（CGAN）區分不同量子相的能力。

深度卷積生成對抗網絡（DCGAN）是生成對抗網絡（GAN）框架的另一個重要變體，最初是為了解決早期生成對抗網絡（GAN）中觀察到的若干問題而提出的，包括訓練過程中的不穩定性、生成樣本質量有限以及模型可控性差等問題。深度卷積生成對抗網絡（DCGAN）的核心思想是利用卷積神經網絡強大的特征提取和層次化空間學習能力，構建更穩定、更高效的對抗模型。在我們的實現中，定制化的深度卷積生成對抗網絡（DCGAN）架構緊密遵循圖1中條件生成對抗網絡（CGAN）模型的生成器和判別器設計。由于我們的目標是在無監督學習框架下加速生成量子轉子模型（QRM）的大規模基態樣本，因此該深度卷積生成對抗網絡（DCGAN）與圖1中的條件生成對抗網絡（CGAN）存在幾個關鍵差異。

IV. 結果

A. 臨界點的確定

利用神經網絡量子態（NQS）的動態優化框架，我們獲得了小尺寸下量子轉子模型（QRM）的基態能量，這些能量作為后續神經網絡分析的訓練樣本。不同耦合參數 g g下優化后的基態能量如圖2所示。優化過程首先定義變分波函數并初始化其相關參數。對于給定的哈密頓量和模擬尺寸，梯度與變分參數共同計算，以最小化能量期望值。在優化過程中，采用哈密頓蒙特卡洛（HMC）方法來確定更新方向，同時對量子轉子構型進行高效采樣。

為條件生成對抗網絡（CGAN）構建訓練數據集后，將隨機噪聲向量輸入生成器，經過卷積層處理并降維為一維或二維潛在表示，并在內部進行索引。然后生成器應用轉置卷積將這些潛在特征重建為輸出樣本。帶有部分標簽的真實樣本同時被引入條件生成對抗網絡（CGAN）訓練流程中，用于優化生成器的輸出質量并輔助判別器做出更準確的判斷。判別器在適當的維度層面上將生成樣本與相應的標簽特征合并，隨后通過卷積層和全連接層輸出一個有效性分數，指示輸入是真實的還是生成的。

網絡經過足夠多的輪次訓練，直到準確率和損失函數均收斂并在長時間訓練中保持穩定。在條件生成對抗網絡（CGAN）構建和訓練過程中，損失函數和優化器的適當選擇至關重要。鑒于我們的相識別任務具有分類性質，采用二元交叉熵損失作為有效準則，以共同考慮有標簽和無標簽樣本的影響。為防止梯度消失或爆炸并確保穩定收斂，采用 Adam 優化器，該優化器基于梯度的一階矩和二階矩自適應調整學習率。這種自適應學習機制顯著加速了訓練，特別是對于量子轉子基態樣本的大規模數據集。

B. 大規模轉子耦合系統的加速生成

本研究的主要目標是設計一個基于深度卷積生成對抗網絡（DCGAN）架構的生成式深度學習框架，以生成與原始小尺寸數據集具有相同統計和分布特性的大規模量子轉子模型（QRM）基態樣本。我們定制的深度卷積生成對抗網絡（DCGAN）訓練過程的主要創新包括上采樣技術的實現和修改后的損失函數的設計。

我們在深度卷積生成對抗網絡（DCGAN）中重點關注以下調整，以確保訓練穩定性和生成結果的魯棒性。批量歸一化應用于生成器和判別器的隱藏層。批量歸一化穩定了訓練過程，加速了收斂，并緩解了梯度爆炸問題。對每一層的激活值進行歸一化有助于使各層的輸入保持在同一尺度上。除輸出層外，所有層均使用 LeakyReLU 激活函數。LeakyReLU（帶泄露修正線性單元）是 ReLU 的一種變體，在負區間具有較小的非零斜率，從而解決了負輸入時的零梯度問題，允許少量負梯度通過，有助于防止神經元死亡。在生成器和判別器的信息保持設計方面，我們使用較少的池化層和較多的卷積層，以保留更多的空間信息，從而學習真實數據分布的更精細特征。由于生成對抗網絡（GAN）的訓練目標為損失函數（8），其全局最優狀態是完全復制真實數據的生成過程，使生成數據與真實數據無法區分，因此這種定制化的深度卷積生成對抗網絡（DCGAN）訓練流程能夠學習量子轉子模型（QRM）詳細的基態樣本分布，并可反復生成大規?；鶓B樣本。

經過足夠次數的優化輪次后，深度卷積生成對抗網絡（DCGAN）模型成功生成了與真實數據分布一致的大規模樣本。為驗證生成數據的有效性，我們在等效統計條件下測量了量子轉子模型（QRM）的平均磁化強度和勢能密度，表示為

V. 結論

在本工作中，我們設計了兩種生成對抗網絡（GAN）的變體架構，以實現兩個主要目標：（i）識別二維量子轉子模型（QRM）的臨界點，以及（ii）加速大規?；鶓B樣本的生成。在半監督學習框架內，我們開發了一個條件生成對抗網絡（CGAN），其具有特別設計的生成器結構和自適應調節的判別器。在生成器中，噪聲數據和測試數據均經過預處理，并通過轉置卷積層進行變換以實現降維。訓練后，從測試數據集中提取的編碼表示能夠有效區分轉子模型的量子順磁相和鐵磁相。不同系統尺寸下一維編碼數據的曲率極值為有限尺寸臨界點提供了可靠指標，線性外推給出了二維量子轉子模型（QRM）的臨界耦合值。

為加速大規?；鶓B樣本的生成，我們進一步定制了一個深度卷積生成對抗網絡（DCGAN）架構，通過在生成器中引入上采樣過程使輸出維度加倍，并定義了帶有生成分布動態加權統計描述子的增強損失函數。結果表明，經過充分訓練后，我們的深度卷積生成對抗網絡（DCGAN）為二維量子轉子模型（QRM）生成的基態樣本在基準可觀測量上表現出高保真度。該方法在保持同等統計精度的同時，顯著降低了計算開銷。我們的結果表明，生成式深度學習學到的潛在表示在具有復雜特征識別的量子相變問題中具有廣闊潛力，并且生成模型本身可以有目的地設計，以加速大量模擬樣本的生產。

原文鏈接：https://arxiv.org/pdf/2602.20772