《人類科學技術史-347》希爾伯特對數學的貢獻（下）

希爾伯特對數學的貢獻（下）
（1）康托的連續統基數問題

集合論的創立人康托于1878年／TITLE＞作出的"在可數集基數和實數集基數之間沒有別的基數"的猜測，即著名的連續統假設。1938年，僑居美國的奧地利數學家哥德爾(1906-1976)證明了連續統假設和集合論的ZF公理系統的無矛盾性。1963年，美國數學家科恩證明連續統假設和ZF公理系統是彼此獨立的。因此，連續統假設的對錯不能在ZF公理系統內判明。希爾伯特第一問題在這一意義上已獲解決。

（2）算術公理的相容性

1931年，哥德爾的"不完備性定理"指出用希爾伯特"元數學"證明算術公理的相容性是不可能的。1936年，根茨(1909-1945）在使用超限歸納法的條件下，證明了算術公理的相容性。

（3）兩個等底等高四面體的體積相等的問題

1900年，即問題提出的當年，希爾伯特的學生德恩對此問題給予了肯定解答。

（4）直線作為兩點間最短距離的問題

希爾伯特之后，在構造與探討各種特殊度量幾何方面有許多進展，但問題并未解決。1973年，蘇聯數學家波格列洛夫宣布，在對稱距離情況下，問題獲得解決。

（5）一個連續變換群的李氏概念，定義這個群的函數不假定是可微的

這一問題亦簡稱連續群的解析性。中間經過了馮.諾依曼(1933年對緊群情形）、邦德里雅金(1939年對變換群情形）和歇瓦來(1941年對可解群情形）的努力。1952年，由格利森、蒙哥馬利和齊賓共同解決，得到了完全肯定的結果。

（6）物理學的公理化

希爾伯特建議用數學的公理化方法推演出全部物理，首先是概率論和力學。1933年，蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫(1903-)實現了概率論公理化。后來在量子力學、量子場論等方面，公理化方法的努力也取得了很大成功。但許多人對物理學能否全盤公理化的問題表示懷疑。

（7）某些數的物理性和超越性

1934年和1935年，蘇聯數學家蓋爾封特和德國數學家施奈德各自獨立地解決了這一問題的后半部分。

（8）素數問題

素數是一個古老的研究領域。希爾伯特在此提到黎曼(1826-1866）猜想、哥德巴赫猜想以及孿生素數問題。

黎曼猜想是黎曼于1859年的論文《在給定大小之下的素數個數》中作出的，至今未能解決。哥德巴赫猜想和孿生素數問題的最佳結果均屬于中國數學家陳景潤。

哥德巴赫猜想是德國數學家哥德巴赫(1690-1764)于1742年提出的關于"大偶數可表為兩個素數之和"的猜想。這一猜想被簡稱為"1＋1"。許多數學家為解決這一猜想作出了努力，但直到本世紀20年代才有所進展。

1920年左右，挪威數學家希朗改進了古老的篩法，首先證明出了"9＋9"，即"大偶數可表為兩個素因子不超過9個的數"。接著，從1924年到1956年，陸續證明出了"7＋7"，"6＋6"，"5＋5"，"4＋4"，"3＋3"。中國數學家王元于1958年證明出了"2＋3"。1948年，匈牙利數學家蘭尼恩從另一角度出發，證明了"1＋6"；1962年，中國數學家潘承洞證明了"1＋5"；同年，王元、潘承洞等證明了"1＋4"；1965年，意大利數學家龐皮愛黎等證明了"1＋3"。1966年，年僅33歲的中國青年數學家陳景潤證明了"大偶數可表為一個素數及一個不超過兩個素數的乘積之和"，即"1＋2"，并于1973年發表了詳細的論證。英國數學家哈勃斯和德國數學家理查德在倫敦出版的《篩法》，將陳景潤的證明增為"陳氏定理"，并贊揚其為"構成篩法理論的光輝頂點"。這一突破性進展，離最后的結果"1＋1"，還有一步之遙。數學界認為，要徹底解決哥德巴赫猜想，現在的方法已經用盡，必須在方法上有所突破和創新。

（9）任意數領域中最一般的互反率的證明

該問題已分別由日本數學家高木貞治(1875-1960)于1921年和奧地利數學家阿廷(1898-1962）于1927年解決。

（10）丟番圖方程可解性的判別

求出一個整數系數方程的整數根，稱為丟番圖(古希臘數學家，約210～290)方程可解。希爾伯特問，是否能用一種有限步構成的一般算法判斷一個丟番圖方程的可解性。1950年前后，美國數學家戴維斯、普特南、羅賓遜等取得關鍵性突破，1970年，蘇聯的馬季亞謝維奇最終證明，第10問題的答案是否定的。盡管如此，該問題的探索過程產生了一系列很有價值的副產品，其中不少和計算機科學有密切聯系。

（11）系數為任意代數數的二次型

德國人哈塞、西格爾和法國的魏依在此問題上均取得重要結果。

（12）阿貝爾域上的克羅內克定理推廣到任意的代數有理域

該問題尚未解決。

（13）不可能用只有兩個變數的函數解一般七次方程。

1957年，蘇聯數學家阿諾爾德(V.I.Arnold）解決了連續函數的情形，1964年維土斯金(Vituskin）又推廣到連續可微函數情形。解析函數情形則尚未解決。

（14）某些完備函數系的有限性的證明。

這和代數不變量問題有關，1959年，日本數學家永田雅宣舉出了反例，獲得否定解決。

（15）舒伯特計數演算的嚴格基礎

舒伯特曾對"有幾條直線能和三維空間中的四條直線都相交"的典型問題，給出了一個直觀解法。希爾伯特要求將問題一般化，并給以嚴格基礎。其代數幾何基礎已由荷蘭數學家范德瓦爾登(1905-)等所建立，但舒伯特演算的合理性仍待解決。

（16）代數曲線和曲面的拓撲問題

這個問題分為兩部分。一部分涉及代數曲線含有閉的分支曲線的最大數目，一部分則要求討論dy／dx＝Y／X的極限環的最大個數和相對位置，其中X，Y是X，y的n次多項式。蘇聯的彼德羅夫斯基院士曾證明了n＝2時極限環的個數不超過3。1979年，中國的史松齡和王明淑分別給出了4個極限環的反例。

（17）正定形式的平方和表示

1927年，由數學家E.阿廷解決。

（18）用全等多面體構造空間

德國數學家比勃巴赫、萊因哈特分別于1910年和1928年分別對該問題作出部分解決。

（19）正則變分問題的解是否一定解析

蘇聯數學家伯恩斯坦和彼德羅夫斯基等得出了部分結果，前者證明了一個變元的解析非線性橢圓方程其解必定解析。該結果后又被推廣到多變元和橢圓組情況。

（20）一般邊值問題

這一問題的研究還在蓬勃發展，已形成一個很大的數學分支。

（21）具有給定單值群的線性微分方程解的存在性

已由希爾伯特本人于1905年、勒爾于1957年和德利涅于1970年所解決。

（22）解析關系的單值化

問題涉及艱深的黎曼曲面論，1907年德國的克伯解決了一個變數的情形，取得重要突破，其他方面尚未解決。

（23）變分法的進一步發展

希爾伯特在這個問題中，談了對變分法的一般看法。20世紀中變分法有了長足發展。

希爾伯特提出的23個問題，對20世紀數學發展的影響是巨大的。當然，本世紀中數學發展的廣度和深度都遠遠超出世紀初的預測，這表現在代數拓撲、抽象代數、泛函分析、多復變量函數等方面，更表現在應用數學以及隨計算機出現而蓬勃發展起來的計算數學和計算機科學方面。

在21世紀的腳步已清晰可聞的又一個世紀之交，23個問題中仍有約三分之一的問題有待解決，而其中的大部分恐怕要留給新的世紀了。

這一時期，數學還發展了一個全新的、重要的分支——張量分析。它的創建只是迎合數學的某種特殊目的，是與黎曼幾何相聯系的微分不變量研究的一種變形。然而，相對論的誕生和愛因斯坦成功地應用張量分析于相對論，則大大促進了人們對這一分支的興趣，也同時促進了這一分支的發展。