用空間填充曲線玩轉密鋪

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本文表明，空間填充曲線是創作埃舍爾風格密鋪圖案的絕佳素材來源。曲線的不規則路徑促使人們更仔細地審視具有此類密鋪圖案的藝術作品。重點在于研究與曲線路徑相關的拼塊變形方案。本文描述了理查德·哈塞爾為方形網格發現的方案，并將其改編適用于六邊形網格。

引言

自皮亞諾于1890年發現空間填充曲線以來[9]，人們便一直從數學性質的角度對其進行分析[10]。而它們作為密鋪圖案框架的適用性，則較少受到關注。本文旨在展示，在經歷有限次數的迭代生成后，多種空間填充曲線如何能夠成為迷人密鋪圖案的基礎。其中有兩個方面發揮著重要作用。首先，曲線的路徑呈現出相當不規則的模式。以空間填充曲線為底層結構的藝術作品，會促使觀賞者去解析其路徑，且這類作品相較于規則的密鋪圖案更為罕見。其次，拼塊可以以埃舍爾式的方式進行變形，使其與曲線路徑產生關聯。通常，這需要多種原始拼塊，并且它們的變形將使彼此能夠嚴絲合縫地拼合在一起。

空間填充曲線是在三角形、正方形或六邊形網格中構建的[11]。此類網格中的多邊形將成為密鋪圖案中的拼塊。曲線的每一段都分配給特定的拼塊，因此，密鋪圖案就變成了曲線下方拼塊的一個序列。在埃舍爾風格的密鋪圖案[1]中，拼塊的邊緣會發生變形。通過在規則網格中工作，可以應用著名的等面體類型[8]來變形邊緣。然而，我們的目標是將拼塊的變形形狀和圖像與空間填充曲線的路徑相關聯。屆時，許多等面體類型將無法應用。幸運的是，曲線的特定路徑允許采用特殊的變形方案。

可以區分出兩種不同類別的變形方案，我們將其命名為“節點導向變形方案”（NODS）和“邊導向變形方案”（EODS）。在NODS的情況下，曲線的一個頂點位于拼塊的中心。在EODS的情況下，曲線的一條邊位于拼塊的兩個頂點之間，并且通常會成為拼塊的一條邊。我們的綜述展示了這兩種類別的示例。此外，我們還將展示一些源自空間填充曲線的、不太常見的密鋪圖案類型。

節點導向變形方案（NODS）

在NODS中，曲線的每個頂點都位于一塊拼塊的中心。每條曲線段連接一塊拼塊的中心與下一塊拼塊的中心。應用NODS需要對曲線施加兩項限制。首先，每條曲線段必須穿過兩塊相鄰拼塊的共同邊。其次，所有曲線頂點必須互不相同，因為每塊拼塊只能被經過一次。

我們以正方形網格中著名的皮亞諾曲線來詳細闡述我們的變形方案，參見圖1。曲線段用箭頭繪制以顯示其路徑。路徑穿過正方形邊的方式有三種：從進入的邊開始，路徑繼續直行到對邊（綠色箭頭），或者向左轉至相鄰邊（紅色箭頭），或者向右轉至相鄰邊（藍色箭頭）。因此，三種原始拼塊就足以生成該密鋪圖案，因為它們可以旋轉90度的倍數來適配所有四種進入方向。這些原始拼塊的變形相互關聯，如圖2所示。

圖1：帶有彩色線段和變形拼塊的皮亞諾曲線

圖2中的原始拼塊分別對應曲線向右轉（a）、直行（b）和向左轉（c）。變形邊只有兩類，用 s 和 t 表示。邊 s‘ 是邊 s 的平移，而邊 t’ 是邊 t 的鏡像。只有當邊 s 的變形相對于圖2（b）中紅色虛線所繪制的正方形右側邊的垂線對稱時，原始拼塊（a）和（c）才互為鏡像。邊 t 和 t‘ 必須是中心對稱的。要使NODS有效，所有這些關于邊變形的約束條件都必須得到滿足。

圖2：正方形網格中的原始拼塊，（a）向右轉，（b）直行，（c）向左轉。

節點導向變形方案（NODS）首先由理查德·哈塞爾在其藝術作品《流動的科莫多 II》[4]中應用。然而，該藝術品的描述缺乏詳細的解釋。其底層的曲線并非皮亞諾曲線，而是包含由5×5個正方形拼塊組成的方形超塊。在正方形網格中，任何滿足上述兩條曲線限制的空間填充曲線都可以使用NODS進行密鋪。其基本原理是，邊 s 和 s‘ 沿著曲線的路徑延伸。邊 t 僅出現在曲線的左側，而邊 t’ 僅出現在曲線的右側。由于中心對稱性，邊 t（以及 t‘）能夠與曲線反向行進處的對應邊相匹配。

與正方形網格類似，也可以為六邊形網格中的空間填充曲線定義節點導向變形方案（NODS）。在所提出的變形方案中，需要五種原始拼塊：一種用于直行，兩種用于向左轉（角度分別為60度和120度），同樣地，兩種用于向右轉。圖3展示了這些原始拼塊的設計。向右轉的兩種原始拼塊是圖3（b）和（c）中向左轉拼塊的鏡像。邊 s 的變形相對于六邊形右側邊的垂線對稱，該垂線如圖3（a）中的紅色虛線所示。邊 s、s‘、t 和 t’ 的約束條件與上述正方形網格中的類似。向右轉的兩種原始拼塊，由于鏡像關系，其曲線左側的邊為 t 類型，右側的邊為 t‘ 類型。因此，對于所有五種原始拼塊而言，邊 t 只出現在曲線的左側，邊 t’ 只出現在曲線的右側。

圖3：六邊形網格中的原始拼塊，（a）直行，（b）向左轉60度，（c）向左轉120度。

在六邊形網格中，任何滿足上述兩條曲線限制的空間填充曲線，都可以使用NODS進行密鋪。使用圖3中原始拼塊的密鋪示例，可參見圖4中著名的戈斯珀曲線[2]。

圖4：五種變形的魚形原始拼塊沿著戈斯珀曲線的路徑行進。

邊導向變形方案（EODS）

邊導向變形方案（EODS）依賴于通過邊替換法[2][7]來構建空間填充曲線。在這種方法中，曲線的每個頂點都位于拼塊的角點上。在三角形網格和正方形網格中，曲線段位于拼塊的邊上。曲線的生成器規定了每個曲線段：（1）該曲線段左側或右側的拼塊被分配給該曲線段；（2）在下一輪迭代中，該曲線段是按曲線的正向替換還是按反向替換。在六邊形網格中，曲線段位于六邊形內部，因為它跳過了六邊形的一個角點，參見[2]。

圖5（a）展示了一個在三角形網格中設計的簡單曲線示例。該曲線從左下角開始，到右下角結束。半箭頭表示所分配的拼塊及迭代方向。請注意，后續分配的拼塊不必有公共邊。在該示例中，拼塊3和拼塊4僅共享一個角點。為了用粗線繪制出連續的曲線路徑，必須穿過拼塊2的區域。圖5（b）展示了經過2次迭代后的密鋪圖案如何組合在一起：曲線從一個三角形的終點，繼續延伸到下一個旋轉了60度的三角形的起點。由于對稱性，一個三角形可以如（b）中最右側三角形下方的大箭頭所示進行反射。實際上，生成器中的4個三角形中的每一個都可以進行反射，從而產生16種可能的生成器。

圖5：（a）三角形的生成器，（b）經過2次迭代后3個密鋪圖案的拼接。

三角形邊緣的變形僅限于等面體類型 IH90 [8]，這意味著所有三條邊都具有相同的中心對稱變形。由于沒有其他方式可以標示曲線路徑，因此需要在拼塊內部繪制曲線的路徑。圖6示例中的三角形內部填充了一只海豹圖案，路徑作為疊加圖層繪制于其上。將6個旋轉后的三角形拼接起來即可得到一條閉合曲線。其中三個三角形經過了反射。由于這些反射以及生成器中的反射，部分曲線邊緣會相互接觸。圖中曲線路徑的白色疊加線略微偏離邊緣，以示說明。有時曲線會掉頭轉向，在某些邊緣處，曲線會以相反方向與自身相遇。

圖6：由6個旋轉三角形構成的閉合曲線，內部填充了海豹圖案。

在正方形網格中，伯努瓦·曼德博發現了一條被稱為“曼德博四重奏”的空間填充曲線[6]。圖7（a）展示了由5個線段組成的生成器，其中深紅色和藍色條代表曲線的路徑，起點在左側，終點在頂部。圖7（b）展示了該曲線在第三代時由125塊拼塊構成的密鋪圖案。藍色條線段按正向迭代曲線，紅色條線段則按反向迭代，即通過逆序執行生成器來實現。在該密鋪圖案中，兩個連續的線段可能顏色相同，也可能不同。然而，同一方向上的兩個連續線段總是具有不同的顏色，因此它們的拼塊僅共享一個角點，而沒有公共邊。通過恰當地繪制拼塊，可以突出曲線的路徑，參見圖8中的示例。

圖7：（a）曼德博四重奏曲線的生成器，（b）第三代密鋪圖案。

圖8：嘴巴沿著曼德博四重奏曲線的路徑排列。

拼塊邊緣的變形同樣可以根據正方形已知的等面體類型（例如 IH62）來進行，但缺點是此類變形與曲線的路徑無關。理查德·哈塞爾為其藝術作品《珊瑚壁虎 I》[5] 開發了一種替代性的變形方案，該方案不屬于常規的等面體類型。這種被稱為 EODS（邊導向變形方案）的方案及其變形示例如圖 9 所示。

圖9：正方形網格中的EODS方案，適用于曲線左側的原始拼塊（a）和曲線右側的原始拼塊（b）。

圖9（a）中的原始拼塊對應圖7（a）中的紅色拼塊。其三條標有 s 的邊具有相同的變形。其標有 t 的邊與圖9（b）中另一原始拼塊（對應圖7（a）中的藍色拼塊）的三條標有 t 的邊具有相同的變形。所有變形邊均圍繞其中心具有旋轉對稱性，因此無論從兩個相鄰拼塊中的哪一個來觀察它們的公共邊，都沒有區別。事實證明，這種變形方案可以應用于在正方形網格中通過邊替換法生成的任何曲線！

此外，圖7（b）中的曲線沒有相接觸的頂點，因此它滿足NODS部分中的曲線限制。因此，NODS方案可以作為另一種密鋪方式應用于該曲線。此時，拼塊需在水平和垂直方向上各平移半格邊長。一般來說，正方形網格中任何無自接觸的曲線（例如參見[7]）都可以通過NODS方案進行密鋪！

同樣，在六邊形網格中，也可以為通過邊替換法生成的空間填充曲線設計EODS。圖10展示了這兩種原始拼塊及其變形示例。具有相同標簽（r、R、t、T）的邊具有相同的變形。

圖10：六邊形網格中的EODS，適用于曲線左側的原始拼塊（a）和曲線右側的原始拼塊（b）。

在圖10（a）的原始拼塊中，曲線段從角點P1延伸至P3，因此該原始拼塊位于曲線的左側。角點P1與P2之間標有 r 的變形邊，繞P2點順時針旋轉120度后，即成為角點P2與P3之間標有 R 的變形邊。標有 t 和 T 的變形邊則由圖10（b）中的另一個原始拼塊定義。該原始拼塊位于曲線的右側，因為其曲線段從角點Q1延伸至Q3。角點Q1與Q2之間標有 t 的變形邊，繞Q2點逆時針旋轉120度后，即成為角點Q2與Q3之間標有 T 的變形邊。

EODS方案可以應用于Fukuda提到的任何戈斯珀曲線[2]。圖11展示了一條閉合的戈斯珀19曲線的示例。

圖11：采用EODS方案的閉合戈斯珀19曲線，（a）完整藝術品，（b）細節圖。

其他密鋪圖案

以下密鋪圖案均基于具有專門變形拼塊的空間填充曲線。

理查德·哈塞爾發現，戈斯珀曲線也可以用3種五邊形原始拼塊進行密鋪，見圖12（a）。實際上，這些五邊形是退化的六邊形，其一個頂點位于一條長邊的中間。他在其作品《流動魚》[3]中更進一步，為每種原始拼塊增加了2個頂點，使得所有變形后的拼塊形狀相同或互為鏡像，見圖12（b）的草圖。

圖12：戈斯珀曲線的密鋪圖案，（a）使用退化的六邊形，（b）使用退化的八邊形。

構造出的希爾伯特曲線并不適合為每個線段分配一個正方形拼塊，因為這樣會導致出現未填充的正方形。相反，曲線段周圍的區域可以通過交替使用平行四邊形和三角形來填充。圖13展示了一個帶有變形原始拼塊的密鋪圖案。其他曲線，如皮亞諾曲線，也可以用平行四邊形和三角形進行密鋪，但不能通過簡單的交替序列來實現。

圖13：希爾伯特曲線，使用平行四邊形和三角形進行密鋪。

最后，我們為戈斯珀13曲線設計了一種使用菱形的密鋪圖案。Fukuda [2] 展示了該曲線的構建方式，即使用深色等邊三角形，每個三角形與一個曲線段相連。兩個相鄰的白色等邊三角形中的一個可以與深色三角形組合成一個菱形。選擇正確的白色三角形基于一些啟發式規則和搜索算法。圖14（a）顯示了所覆蓋網格中的三角形，以及用紅色標示的曲線。一個黑色三角形和一個帶有圓圈的白色三角形組成一個菱形。圖14（b）展示了相應的藝術品，其中鳥類作為變形后的菱形。所有菱形的邊都具有相同的變形（IH34），并附加了中心對稱的約束條件。因此，所有鳥類都具有相同的形狀，曲線右側為黃色，左側為藍色。色調差異表示菱形是由黑色三角形右側還是左側的相鄰白色三角形構成的。或者，也可以將前面針對正方形拼塊解釋的變形方案 tsss 和 sttt 應用于這些菱形。此時，曲線左側的兩種原始拼塊和曲線右側的兩種原始拼塊將具有四種不同的形狀。

圖14：使用菱形對戈斯珀13曲線進行密鋪。（a）設計圖，見正文說明；（b）藝術品。

結論

我們已通過多種方式證明，埃舍爾風格的密鋪圖案可以由空間填充曲線創作而來。我們記錄并描述了理查德·哈塞爾為正方形網格發現的兩種變形方案。這兩種方案，分別命名為節點導向變形方案（NODS）和邊導向變形方案（EODS），可普遍應用于滿足所設限制條件的空間填充曲線。我們推導出了適用于六邊形網格中空間填充曲線密鋪的NODS和EODS方案。此外，我們還討論了一些在設計上不那么顯而易見的密鋪圖案。

參考文獻

[1] R. Fathauer. Tessellations: Mathematics, Art, and Recreation. CRC Press,2021.

[2] H. Fukuda, M. Shimizu, and G. Nakamura. “New Gosper Space Filling Curves.” Proceedings of the International Conference on Computer Graphics and Imaging (CGIM2001), 2001, pp. 34-38.

[3] R. Hassell. “FlowFish.” Bridges Seoul 2014 Art Exhibition Catalog.

https://gallery.bridgesmathart.org/exhibitions/2014-bridges-conference/richard-hassell

[4] R. Hassell. “Komodo Flow II.” 2016. https://www.richardhassell.net/strange-creatures-series-gallery

[5] R. Hassell. “Coral Geckos I.” 2018. https://www.richardhassell.net/onlinegallery/prosperity-puppies

[6] B. Mandelbrot. The Fractal Geometry of Nature. W. H. Freeman and Company, 1977.

[7] D. M. McKenna. “SquaRecurves, E-Tours, Eddies, and Frenzies: Basic Families of Peano Curves on the Square Grid.” The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugène Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History, The Mathematical Association of America, 1994, pp. 49-73.

[8] T. McLean. Isohedral Tilings. Mirror site hosted by J. Scherphuis.

https://www.jaapsch.net/tilings/mclean/

[9] G. Peano. “Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane.” Mathematische Annalen, vol. 36, 1890, pp. 157-160.

[10] H. Sagan. Space-Filling Curves. Springer, 1991.

[11] J. Ventrella. Brain-Filling Curves - A Fractal Bestiary. Eyebrain Books, 2012.

[12] Tis Veugen. Tessellations from Space-Filling Curves

最后照例放些跟張大少有關的圖書鏈接。

青山 不改，綠水長流，在下告退。

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