使用密鋪拼塊創作非洲大叔一筆畫

女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

本文討論一種用于創作一筆畫的密鋪拼塊系統，這類曲線因其美感、文化意義和數學內涵而受到研究。文中探討了拼塊類型及其設計，并分析了單筆性（unicursality）。文中還介紹了創作大尺寸圖像的方法，使藝術家能夠利用數字計算機的強大功能，并彌補手繪的局限性。本文收錄了若干采用該技法創作的藝術圖像。雖然本研究主要基于方形拼塊，但也考慮將其擴展至其他拼塊形狀。

本作品受已故的達拉·查維（Darrah Chavey）[4]研究的啟發。在2013年Bridges會議上，他展示了受名為“索納”（sona）的繪畫啟發的墻紙設計作品。索納（復數形式，單數為lusona）通常是一筆畫（以單一連續筆觸繪制），并包含一個點陣網格。圖1（a）展示了一個示例，圖1（b）則使用本文所討論的系統，重現了查維作品中的一幅示例插圖。從幾何學上看，索納與印度的科拉姆（kolam）圖案相似，圖1（c）展示了一個科拉姆圖案示例[9]，圖1（d）為其重現圖。筆者的興趣在于使用拼塊以數字方式創作這類圖像的單筆版本。關于索納的開創性著作，很可能是格德斯（Gerdes）的著作[5]。此外，對使用拼塊創作圖像感興趣的讀者，也可參考博施（Bosch）的作品[3]。

圖1：索納（sona）與科拉姆（kolam）繪圖示例。

拼塊系統

筆者所開發的拼塊系統，是在盡可能還原本土文化作品中創造力的同時，兼顧計算機所提供的精度與自動化能力之間的一種折中方案。因此，筆者使用了Ultra Fractal程序，在該程序中拼塊以分形著色公式的形式實現。圖2展示了基于查維（Chavey）研究成果所使用的五種方形拼塊。拼塊邊界以藍色顯示。每個拼塊的中心均帶有一個可選點，以復現非洲和印度繪畫中的那種感覺。筆者希望這些拼塊能得到最大限度的利用，因此拼塊上的曲線段以45°角從邊的中點出入，從而使曲線在各拼塊之間能夠平滑延續。曲線段由圓弧構成，以方便計算并獲得更加平滑的圖像。

圖2：方形拼塊：（a）水滴形（drop），（b）透鏡形（lens），（c）凸起形（bump），（d）風箏形（kite），（e）菱形（diamond）

單筆性分析

雖然并非普遍要求，但筆者希望筆者的圖像具有單筆性，因此筆者需要一種方法來分析待定圖像，并判斷其曲線是否確實是單筆的。對于小尺寸圖像（如圖1所示），手工描摹曲線就足夠簡單了。然而，對于更復雜的圖像，這可能是一項相當艱巨的任務，因此需要一種計算方法。為此，筆者首先需要獲取拼塊的坐標數據。幸運的是，Ultra Fractal允許將圖像參數保存為文本文件。筆者將這些數據清洗后載入電子表格，在其中提取每個拼塊的類型、在圖像中的位置以及旋轉角度。然后將這份列表讀入另一個獨立的程序中，該程序將曲線“構建”為一系列數組。程序選擇一個初始點，并追蹤每個拼塊上的每個線段，直至曲線閉合。如果這條曲線用到了所有拼塊上的所有線段，則該圖像是單筆的。如果用完所有線段卻生成了多于一條的曲線，則該圖像不是單筆的。在這種情況下，就需要開始調整拼塊布局，以使新的結果滿足單筆性，同時又不失原始拼貼的精神。為便于此過程，筆者編寫了分析程序，使其輸出所找到曲線的路徑，以便進行繪圖。

舉例而言，請觀察圖1（b）中的曲線，從左上角開始。該水滴形拼塊包含一個曲線段，且拼塊經過旋轉，使得該線段在該拼塊右側邊的中點處起始并結束。隨后，程序會檢索所有15個拼塊及其他35個曲線段，以查找哪個入口點與該出口點匹配。除了位置匹配外，曲線還必須保持方向一致，以及曲線的整體走向（在本例中，即逆時針方向穿越左上角拼塊，從右側邊向上方穿出）。接下來，程序會將風箏形拼塊的曲線元素識別為下一線段，并繼續這一過程。實際上，該圖像會產生兩條曲線，一條在左上角逆時針方向運行，另一條則沿順時針方向運行，兩者使用相同的線段但順序相反。這兩條曲線只是同一曲線的兩個不同版本。

創作任意大尺寸的曲線

除了創作如圖1（b）那樣的小型曲線外，筆者還希望利用這一系統來創作大尺寸曲線，使其適合作為精致的藝術品來展示。幸運的是，有一些簡單的技巧可以用來從小型構件出發創作出更大尺寸的曲線。

密鋪

圖3（a）展示了兩條單筆曲線。在圖3（b）中，兩條曲線各自中心處的兩個風箏形拼塊被替換為菱形（紅色），從而將兩條曲線合并為一條。這條新曲線是單筆的，因為原來的兩個組成部分各自都是單筆的，且兩者之間只有一個連接點。你可以先描畫上方的曲線，當它離開上方的紅色菱形時，它會“繞行”經過下方的曲線。由于下方曲線本身也是單筆的，這段繞行會在起點處結束，然后你可以繼續在上方曲線中描畫。然而，在合并多條曲線時必須小心。連接點過多可能會破壞單筆性，如圖3（c）所示。這里，兩個連接點生成了兩條獨立的曲線。在這種情況下，可以通過設置三個連接點來解決（圖3（d）），這樣會產生一條單筆曲線，但其給人的感覺與原來的兩條曲線（圖3（a））有所不同。

圖3：示例，展示多條單筆曲線如何合并為一條更大的曲線：（a）兩條單筆曲線，（b）在一個點處連接，結果為一條單筆曲線，（c）在兩個點處連接，結果為非單筆曲線，（d）在三個點處連接，結果為單筆曲線。

這種技巧可以無限延續下去，只要多個連接點不破壞單筆性即可。例如，圖4（a）展示了六條曲線連接在一起（以紅色拼塊標示），與圖3（b）中的方式類似。由此產生的大曲線同樣是單筆的。你可以沿著曲線描畫，觀察它如何從一個組成部分移動到另一個組成部分，再返回。圖4（b）則呈現了一條更大的單筆曲線，由四個較小曲線的連接版本組合而成。此外，為了藝術效果，負空間也被著色了。

圖4：示例，展示兩個層次的連接：（a）六個單元連接成一個方形單筆曲線，（b）四個方形曲線副本連接成一個更大的方形單筆曲線。

準分形曲線

這一思想的延伸是創造自相似的準分形曲線，運用了密鋪和幾何剖分的思想。圖5（a）展示了L形和T形四格骨牌[10]，說明了它們各自如何由四個正方形組成，以及每個四格骨牌如何能用一條由四個拼塊構成的單筆曲線來表示。在這兩種情況下，四個四格骨牌副本都可以組裝成一個更大的正方形（圖5（b））。然后，四個更大的正方形可以排列成一個大的四格骨牌副本，依此類推。圖5（c）展示了這兩種形狀的第二次迭代，其中四條由四個拼塊構成的單筆曲線被連接起來，形成一條填充正方形的曲線。再將其中四個連接起來，構成一個更大的四格骨牌副本，最后將四個這樣的副本連接起來，形成最終的大正方形。彩色疊加層顯示了較大的四格骨牌以及它們如何鋪滿正方形。

圖5：使用四格骨牌創建準分形單筆曲線：（a）帶有小曲線的L形和T形四格骨牌，（b）將小曲線組合成較大的曲線，（c）用較大的曲線鋪滿正方形。

基于林德邁爾系統（L-system）分形[7]創作單筆曲線，使用透鏡形、凸起形和水滴形拼塊的組合尤為便捷。圖6（a）和6（c）分別展示了希爾伯特曲線和皮亞諾曲線分形的低迭代版本。圖6（b）和6（d）則是它們對應的單筆表示。在這種方法中，透鏡形拼塊沿著線段的流向布置，凸起形拼塊提供轉角，水滴形拼塊則作為線段的端點并為曲線提供折返點。擴展至更大尺寸的曲線相對直接，只需遵循底層分形的迭代過程即可。

圖6：希爾伯特和皮亞諾分形曲線的單筆表示：（a）希爾伯特曲線，（b）單筆版本，（c）皮亞諾曲線，（d）單筆版本。

飾帶圖案與墻紙圖案

由于拼塊種類較少，單筆曲線通常會呈現出對稱區域和圖案重復區域。這就引出一個問題：給定的圖案是否可以無限延伸，同時仍然保持單筆性。圖7展示了兩個可以延伸的方形曲線示例。（在圖7和圖8中，紅色拼塊表示可無限復制的基本單元，藍色拼塊表示特定的邊界條件，不參與復制。）圖7（a）展示了一條內部完全由菱形拼塊構成的曲線。然而，通過成對使用凸起形拼塊并在邊緣處使用單個水滴形拼塊，該圖案在n為奇數時的n×n方形區域內是單筆的。布置水滴形拼塊時需小心，避免過多的對稱性。圖7（b）展示了一種類似分形的星形圖案。其基本單元（曲線頂部的紅色拼塊）是圍繞一個菱形的四個水滴形拼塊。然而，當星形相互連接時，內部的水滴形拼塊被替換為透鏡形拼塊，并在每個星形之間增加一個菱形拼塊。

圖7：可在兩個維度上無限延伸的方形曲線：（a）具有不對稱邊緣的菱形方形曲線，（b）星形曲線。

圖8展示了可無限延伸的單筆飾帶圖案示例。圖8（a）是一行由風箏形拼塊界定的水滴形拼塊。藍色透鏡形和凸起形拼塊建立了必要的對稱破缺，紅色列標示了待復制的組塊。對于任意數量的額外列，該曲線均為單筆曲線。圖8（b）是一個由兩個透鏡形和兩個風箏形交替出現、再與四個風箏形交替的圖案。重復單元是紅色四列組塊，這與帶狀圖案寬度為四行相對應。如果使用更寬的條帶，則重復組塊需要更長。圖8（c）展示了兩個條帶，每個條帶均由凸起形拼塊和一對終止水滴形拼塊組成。在上方的條帶中，兩個水滴形拼塊指向同一方向，且內部列數為偶數。下方的條帶則有一列邊界凸起形拼塊（藍色），且水滴形拼塊指向相反方向。在這兩種情況下，重復組塊均為兩列共四個凸起形拼塊。

圖8：可在一維方向上無限延伸的帶狀圖案示例：（a）風箏形與水滴形，（b）風箏形與透鏡形，（c）凸起形拼塊。

藝術圖像

圖9中的“單筆 I”和“單筆 II”是早期嘗試，旨在以對稱拼塊布局創作方形單筆圖像。兩者均采用基于曲線段的著色方法，便于追蹤曲線。實現起來相當繁瑣，但在筆者看來效果非常出色。

圖9：兩幅方形對稱藝術圖像，均由作者創作：（a）“單筆 I”，（b）“單筆 II”。

圖10（a）中的圖像“掛毯”令人聯想到裝飾性掛墻織毯或地毯。在這幅作品中，筆者在頂部和底部邊緣使用了水滴形拼塊來表現流蘇，并將曲線染成金色，以暗示金線刺繡。內部行結構是一項研究，旨在探討如何在拼塊布局中創造足夠的不對稱性，從而只需最少的調整即可實現單筆性。整幅圖像共有三種行類型；從底部開始（位于水滴流蘇之上），有一行類型1，兩行類型2，接著兩行類型3。再往上，則以類型組為單位（三行類型1、三行類型2，以此類推）向上推進。為了確定布局，筆者使用了三元科拉科斯基序列（Kolakoski sequence）[1]。這是一個自指序列，其開頭為：1, 2, 2, 3, 3, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 1, 2，其中每個元素表示由1、2或3組成的連續段的長度。這些數字編碼了每行應使用的拼塊組類型。由于該序列不重復，因此相對容易避免對稱性，并實現單筆曲線。

與此類似，圖10（b）中的“方形波羅米安環”是著名三環[11]的一種單筆表示。盡管顏色暗示了環之間的鏈接關系（紅色壓在綠色之上，綠色壓在藍色之上，藍色壓在紅色之上），但整幅圖像實際上是一條單筆曲線，與顏色無關。創作這幅作品頗具挑戰性，因為矩形環通常具有高度對稱性，難以進行調整。因此，筆者采用了與“掛毯”相同的序列方法，沿著環帶的各行和各列改變拼塊布局。盡管圖像中包含超過一千個拼塊，但只需進行少量調整即可達到單筆性。關鍵在于知道將這些調整放置在何處！在藍色環的右上角附近有一處調整，那里的視覺間隙長達四個拼塊，而非序列所提供的最大三個拼塊。圖10（c）為中心部分的放大圖，展示了細節。

圖10：作者創作的藝術圖像，使用非重復序列以實現單筆性：（a）“掛毯”，（b）“方形波羅米安環”，（c）“方形波羅米安環”中心局部。

迄今為止所展示的圖像僅突出了曲線和拼塊中心處的點。這些點是為了向非洲和印度文化中分別創作的盧索納（lusona）和科拉姆（kolam）圖像致敬。然而，這些點可以移除，而負空間則可以加以突出以增加藝術趣味。圖11展示了同一單筆曲線的兩個版本。它由16個經過旋轉和翻轉的組件構成，每個組件按順序與下一個相連。雖然面板（a）中顯示了曲線和點，但視覺上的趣味更多來自于曲線段之間空間的著色。此外，組件曲線以4×4數獨方式排列，使得相同的朝向（箭頭方向及紅色和藍色菱形的位置）在每行或每列中僅出現一次。第二個版本（面板（b））則省略了這些點，增加了更多顏色，并讓單筆曲線在背景中得以隱約呈現。

圖11：兩幅突出負空間而非曲線的藝術圖像（作者創作）：（a）“四乘四 I”，（b）“四乘四 II”。

擴展

迄今為止所討論的工作基于五種方形拼塊。未來的工作可以在這一基礎上進行擴展，使用更多的方形拼塊和不同形狀的拼塊。額外的方形拼塊可以采用不同的設計標準，例如每個拼塊具有更多的曲線段或不同的邊界約束條件。此外，由于等邊三角形和正六邊形同樣可以鋪滿平面，這些形狀也可以用作拼塊。在圖12（a）中，筆者展示了三種三角形（帶有藍色邊界）和六種六邊形拼塊設計（為清晰起見去除了邊界）；面板（b）和（c）展示了這些拼塊集中的兩種鋪砌方式。又或者，可以包含其他形狀并支持阿基米德鋪砌。筆者在之前關于推廣特呂謝（Truchet）拼塊[6]的工作中曾探索過這些想法。非正多邊形拼塊也可能值得考慮，例如瘦菱形和胖菱形彭羅斯拼塊[8]。

圖12：三角形和六邊形拼塊及單筆曲線示例：（a）三角形網格拼塊（上）和六邊形網格拼塊（下），（b）三角形網格曲線示例，（c）六邊形網格圖像。

除了拼塊集合之外，在創建和分析特定鋪砌方面還有更多工作可以做。例如，隨機鋪砌能否實現單筆性？三維或更高維度可以做出什么樣的鋪砌？最后，還有哪些藝術渲染方式可以應用？艾哈邁德和多伊森（Ahmed & Deussen）[2]關于使用線條進行半色調圖像處理的工作或許在此能有所用武之地。

結論

本文提出了一套使用拼塊創作單筆曲線的系統。在數字環境中，這比手繪曲線能夠實現更高的精度和更大的規模。文中展示了多種組合和擴展基礎曲線的方法，并附帶了藝術考量以及作者本人的作品。最后，提出了對未來工作的建議。

參考文獻

[1] “A079729 Kolakoski-(1,2,3) sequence: a(n) is the length of the n-th run.” https://oeis.org/A079729.

[2] A. G. M. Ahmed, O. Deussen. “Amplitude Modulated Line-Based Halftoning,” EG UK Computer Graphics & Visual Computing, 2016. https://www.mathemaesthetics.com/HilbertCurves.html.

[3] R. Bosch, I. Snyder. “A New Tile-Based Method for Constructing Single-Line Drawings.” Bridges 2023: Mathematics, Art, Music, Architecture, Culture, pp. 37–44.

https://archive.bridgesmathart.org/2023/bridges2023-37.html

[4] D. Chavey. “Wallpaper Designs of Mirror Curves Inspired by African Sona.” Bridges Conference Proceedings, Enschede, The Netherlands, Aug. 9–13, 2013, pp. 345–352.

https://archive.bridgesmathart.org/2013/bridges2013-345.html.

[5] P. Gerdes. Sona Geometry from Africa, Polimetrica, Milano, Italy, 2006

[6] K. Mitchell. “Generalizations of Truchet Tiles.” Bridges Conference Proceeding, virtual, Aug. 1-5, 2020, pp. 191–198. https://archive.bridgesmathart.org/2020/bridges2020-191.html.

[7] G. Ochoa. “An Introduction to Lindenmayer Systems.” https://www-archiv.fdm.uni-hamburg.de/bonline/e28_3/lsys.html.

[8] “Penrose Rhomb.” Tilings Encyclopedia. https://tilings.math.uni-bielefeld.de/substitution/penroserhomb/

[9] G. Siromoney. “South Indian Kolam Patterns.” Kalakshetra Quaterly, vol. 1, no. 1, 1978.

[10] “Tetromino.” Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Tetromino.

[11] E. W. Weisstein. “Borromean Rings.” https://mathworld.wolfram.com/BorromeanRings.html.

[12] Kerry Mitchell, Creating Unicursal Curves Using Tiles

最后照例放些跟張大少有關的圖書鏈接。

青山 不改，綠水長流，在下告退。

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