宇宙的拓撲

當我們面對一個未知的事物時，大概我們每個人的腦海中都會浮現(xiàn)出類似這是什么、從哪兒來和到哪兒去的經(jīng)典哲學三問。比如就宇宙而言，從概念上來說宇是指空間，宙是指時間，宇宙也就泛指時空，而物理上的宇宙則是一切時間和空間及其所含物質(zhì)和能量的總和。我們也想知道宇宙是什么，從哪兒來和到哪兒去，而我們對宇宙的起源，結(jié)構(gòu)和演化的好奇也就對應(yīng)上了經(jīng)典的哲學三問，這也是我們想要從科學上探究的根本問題。

也許在某個滿天繁星的夜晚，你也曾仰望著頭頂?shù)奶炜障蜃约喊l(fā)問，宇宙到底有多大啊，它是有限的還是無限的呢，它有邊界么。此時的你或許還不知道什么是所謂的拓撲，但其實你的問題已經(jīng)是宇宙的拓撲想要探究的問題。

談到拓撲時，我想大家的第一感覺是比較陌生和抽象的。拓撲是根據(jù)英文Topology音譯而來的詞，在中文的語境中沒有直接的對應(yīng)，由于其和中文構(gòu)詞法的不同，我們也很難一下子就把拓撲和幾何相聯(lián)系。而在英文中，Topology本身就包含了位置關(guān)系的含義，直接體現(xiàn)了與幾何的聯(lián)系。幾何學通常研究的是空間的度量屬性，像距離和曲率等；而拓撲學研究的是幾何對象整體在連續(xù)形變（比如拉伸、彎曲和壓縮）下的不變性質(zhì)，所以拓撲學也被形象地稱為橡皮泥上的幾何學。

圖1：普通圓環(huán)帶和莫比烏斯圓環(huán)帶的對比（圖由豆包生成）

我們舉兩個常見的例子來說明拓撲的研究對象。第一個例子是莫比烏斯環(huán)帶，拿一個通常的圓環(huán)帶剪開扭轉(zhuǎn)一次（旋轉(zhuǎn)180度）再重新粘上便形成了莫比烏斯環(huán)帶。我們?nèi)绻皇蔷植咳タ吹脑?，會發(fā)現(xiàn)普通圓環(huán)帶和莫比烏斯環(huán)帶并無任何差別，但是整體來看的話又有所不同，普通環(huán)帶有環(huán)內(nèi)和環(huán)外兩個面，而莫比烏斯環(huán)帶卻只有一個面。我們只需嘗試沿著莫比烏斯環(huán)面繞一圈就會發(fā)現(xiàn)又回到了起始點，而在普通環(huán)帶內(nèi)側(cè)和外側(cè)永遠也無法相交。這種整體的區(qū)別正是拓撲學研究的性質(zhì)，這里便涉及了拓撲性質(zhì)中的可定向性。第二個例子是咖啡杯和甜甜圈的拓撲等價，從圖2我們可以看到經(jīng)過一系列的連續(xù)變換，咖啡杯變成了甜甜圈，在幾何上咖啡杯和甜甜圈是明顯不同的兩個幾何對象，但在拓撲上來說，它們是等價的，都是只有一個孔洞的幾何體，這個洞在拓撲上也稱為虧格，也是拓撲關(guān)注的性質(zhì)之一。我們也能從這個例子中看出拓撲不關(guān)心幾何上的距離等度量概念。

圖2：咖啡杯變換成甜甜圈（圖源網(wǎng)絡(luò)）

拓撲研究的是整體幾何的性質(zhì)，關(guān)心的是什么在連續(xù)形變下保持不變，像我們剛才說的可定向性以及孔洞數(shù)（或者說虧格）都屬于拓撲學研究的范疇，當然還包括連通性、緊致性以及扭結(jié)方式等其他的性質(zhì)。這樣在提到拓撲的時候，我們就有了相對具象的認知，不同于幾何關(guān)心距離和曲率等度量，拓撲關(guān)心形狀的整體屬性。雖然拓撲學發(fā)展于幾何學，但現(xiàn)在拓撲學已發(fā)展成為一門獨立的的學科并且已經(jīng)滲透到各個學科分支中。

那么回到宇宙學，回到我們開頭提到的大多數(shù)人內(nèi)心的疑問，宇宙是不是無限的或者在各個方向都是無限的么？要回答這個問題，我們就需要知道宇宙整體的性質(zhì)，那么我們就要研究宇宙的拓撲結(jié)構(gòu)，看看宇宙有哪些拓撲性質(zhì)。通常我們在描述宇宙的整體，推斷宇宙是有限還是無限時，我們只是從它的幾何曲率來考量，比如我們常說的，如果宇宙的幾何曲率是正的，則宇宙整體是一個有限的三維球面（S3）；如果宇宙的幾何曲率是負的，則宇宙整體是一個無限的雙曲空間（H3）；如果宇宙的幾何曲率為零，則宇宙整體是一個無限的平直歐幾里德空間（E3）。也就是說我們僅僅通過曲率便推斷出了宇宙是有限還是無限的，但實際上這個邏輯是不那么正確的，這相當于用局部的幾何曲率量來推斷宇宙的整體拓撲。通過前面對幾何和拓撲的區(qū)別的簡單介紹我們知道，幾何量是描述空間的局部特征，對空間的整體或全局的描述需要考慮它的拓撲結(jié)構(gòu)。對于局部相同的幾何，它的整體的拓撲結(jié)構(gòu)卻并不一定相同，而局部不同的幾何，整體上也可能是拓撲等價的。我們可以用一個二維的例子來簡單做個說明，拿一張紙并將其卷成圓柱面，圓柱面的局部依舊是平坦零曲率的，但在整體上它和無限的平面是不同的拓撲，在圓柱面上沿某個方向走一圈會回到原點，它在這個方向上就不再是無限的，或者說有周期性結(jié)構(gòu)。那么對宇宙而言，也可能是平坦但有限的，這要取決于宇宙的拓撲結(jié)構(gòu)。

通常我們把最簡單的結(jié)構(gòu)，即簡單連通，沒有空洞、沒有周期性結(jié)構(gòu)的拓撲稱為平凡的拓撲結(jié)構(gòu)，其它的我們都稱為非平凡的拓撲。我們可以在拓撲空間中選取任意的一個閉合環(huán)路，如果存在環(huán)路是無法在連續(xù)形變下收縮為一點的，我們稱為不可收縮的閉環(huán)，比如在含有孔洞的拓撲空間中，選取繞著孔洞一周的閉環(huán)，則這個閉環(huán)無論如何也無法收縮為一點。不可收縮的閉環(huán)就是具有非平凡拓撲結(jié)構(gòu)的標志。

對三維歐幾里德空間E3來說，它有18（E1-E18）種不同的拓撲結(jié)構(gòu)，它們可以看作是將三維歐氏空間（E3）通過周期性邊界條件或?qū)ΨQ粘合得到的宇宙模型或拓撲球面。對三維球面空間S3來說,它有5類不同的拓撲結(jié)構(gòu)，且每一類都包含可數(shù)無窮多個成員，而對雙曲空間H3來說，它的拓撲結(jié)構(gòu)更復(fù)雜，包含可數(shù)無窮多種拓撲結(jié)構(gòu)。我們拿宇宙的幾何曲率為零的情況來說，宇宙未必就是具有平凡拓撲的無限延伸的歐幾里德空間，依然可以有不同的拓撲結(jié)構(gòu)，如果宇宙的整體拓撲等價于三維環(huán)面，則宇宙就不是無限的，你只要向宇宙的一邊飛行的足夠遠就會從宇宙的另一邊飛回來。

圖3：CMB中的匹配圓圈對，以立方3-環(huán)面（E1）的拓撲結(jié)構(gòu)為例說明了CMB中留下的匹配圓對的印記[1]。

目前還無法從任何第一性原理得到宇宙的拓撲應(yīng)該是什么。在量子引力背景下，宇宙極有可能最初就具有一種非平凡的拓撲結(jié)構(gòu)。要探究宇宙的拓撲，我們必須從觀測上來實現(xiàn)。標準宇宙學模型通常假設(shè)了宇宙的拓撲是平凡的，但如果宇宙具有非平凡的拓撲結(jié)構(gòu)，即存在不可收縮的閉環(huán)，它將會在我們的觀測中留下獨特的印記。在這樣的宇宙中，從觀察者自身出發(fā)到位于任何其他位置的物體，會存在多條直線路徑。每一條路徑都會產(chǎn)生一個物體的像，把除最短路徑之外的其他路徑的像稱為克隆體，則這些克隆體可能會在宇宙中形成某些特征。如果拓撲尺度足夠小，這些特征就是可觀測的。

宇宙學中最典型的觀測就是我們熟知的宇宙微波背景輻射（CMB）的漲落，非平凡的拓撲結(jié)構(gòu)會在CMB漲落中留下可觀測的印記，因此CMB可以用來作為宇宙拓撲的探針。首先，非平凡拓撲可能會在CMB的溫度漲落中產(chǎn)生匹配圓對。具體來說，對于各向同性的度規(guī)，無論宇宙的拓撲的具體結(jié)構(gòu)如何，對每個觀察者而言，CMB光子都被視為從以他們自身為中心的薄球殼（即CMB光子的最后散射面）發(fā)射出來。在宇宙的任何時刻，該最后散射面的直徑都與觀察者的位置無關(guān)?？紤]觀察者最近的克隆體，每當觀察者到該克隆體的距離小于最后散射面的直徑時，觀察者及其克隆體的最后散射面就會在一個圓上相交。觀察者及其克隆體都能看到該圓，但在各自的天空中所處方向不同，從而導(dǎo)致在天空中觀測到一對圓。由于觀察者及其克隆體是同一個人，且進行了相同的測量，因此他們能夠比較該對圓周圍的溫度漲落模式。只要到觀測者最近克隆體的距離接近于最后散射面直徑的近似值，所有此類匹配圓對原則上都應(yīng)該能被探測到。圖3以立方3-環(huán)面（E1）的拓撲結(jié)構(gòu)（即立方體對邊粘合形成的三維環(huán)面）為例對此進行了示意。這使得我們能夠探測到非平凡的拓撲結(jié)構(gòu)并重建宇宙的拓撲。此外，非平凡的拓撲結(jié)構(gòu)，拓撲的邊界條件存在旋轉(zhuǎn)粘貼等，空間在某些特定方向上的關(guān)聯(lián)性會增強，這也會在大尺度上打破宇宙的統(tǒng)計各向同性（甚至均勻性），這將會對CMB溫度漲落的球諧展開系數(shù)的關(guān)聯(lián)矩陣或者說角功率譜產(chǎn)生影響。在均勻各項同性的宇宙中，由于這些球諧系數(shù)是獨立的高斯隨機變量，因此他們的關(guān)聯(lián)矩陣是對角的。如果打破了均勻各項同性，將會產(chǎn)生非對角的矩陣元。當然還不僅如此，其他的某些CMB反?，F(xiàn)象或許也能從非平凡的拓撲宇宙中找到答案。

目前的CMB探測中，我們還未在統(tǒng)計學上發(fā)現(xiàn)非平凡拓撲結(jié)構(gòu)存在的顯著證據(jù)。未來的CMB觀測如果在偏振和張量模式上取得突破將會進一步幫助我們?nèi)ヌ綄び钪娴耐負?/strong>。包括未來三維場和星系的巡天也將使我們獲得更多的模式，或許也能幫助我們獲取更多的與宇宙拓撲相關(guān)的信息。目前為止，我們還無法得知我們究竟有多大的能力可以探測到宇宙的拓撲，也無法保證宇宙的拓撲結(jié)構(gòu)一定能被探測到。如果我們的宇宙，與最后散射面的直徑相比大得驚人的話，我們似乎很難有機會了解宇宙的拓撲結(jié)構(gòu)。

但也許我們足夠幸運，能在未來的觀測中找到宇宙的拓撲結(jié)構(gòu)的證據(jù)。發(fā)現(xiàn)宇宙的拓撲將會具有極其重要的意義。

參考文獻

[1]Copi,C.J., et al., 2026, arXiv:2606.24886.

作者簡介

苗海濤，國家天文臺助理研究員，主要研究方向為大尺度結(jié)構(gòu)宇宙學。

來源：中國科學院國家天文臺

編輯：子木

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