復(fù)雜：高階交互如何重塑網(wǎng)絡(luò)科學(xué)綜述

導(dǎo)語

高階交互（higher-order interactions）正逐漸被認為是理解復(fù)雜系統(tǒng)、網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)以及新一代人工智能算法的關(guān)鍵基礎(chǔ)。然而，傳統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)與圖模型只能刻畫兩兩之間的關(guān)系，難以表達真實系統(tǒng)中普遍存在的多體交互現(xiàn)象，因此亟需新的理論框架。在這一背景下，超圖（hypergraphs）與單純復(fù)形（simplicial complexes）作為刻畫高階復(fù)雜系統(tǒng)的自然數(shù)學(xué)工具，正在受到越來越多的關(guān)注。盡管相關(guān)數(shù)學(xué)理論已經(jīng)為高階網(wǎng)絡(luò)提供了重要基礎(chǔ)，但譜理論、離散拓撲、高階網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)等方向仍存在大量基礎(chǔ)性問題有待解決。本路線圖（roadmap）總結(jié)了在 Newton Institute Satellite “Hypergraphs: Theory and Applications” 會議期間，純數(shù)學(xué)家、理論物理學(xué)家以及計算機與網(wǎng)絡(luò)科學(xué)領(lǐng)域研究者圍繞相關(guān)議題所開展的學(xué)術(shù)討論，并在此基礎(chǔ)上進一步梳理了未來可能的研究方向與發(fā)展路徑。這些方向包括：極值與譜超圖理論（extremal and spectral hypergraph theory）、離散拓撲（discrete topology）、高階動力學(xué)（higher-order dynamics）、高階機器學(xué)習（higher-order machine learning），以及在腦科學(xué)與社會科學(xué)等領(lǐng)域中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：高階交互（higher-order interactions）、超圖（hypergraphs）、單純復(fù)形（simplicial complexes）、譜理論（spectral theory）、離散拓撲（discrete topology）、高階動力學(xué)（higher-order dynamics）、復(fù)雜系統(tǒng)（complex systems）

Lynne丨作者

論文題目：Hypergraphs and simplicial complexes in focus: a roadmap for future research in higher-order interactions 論文鏈接：https://iopscience.iop.org/article/10.1088/2632-072X/ae3c4e/pdf 發(fā)表時間：2026年4月1日 論文來源：Journal of Physics: Complexity

引言：從“圖網(wǎng)絡(luò)”到“高階交互”的范式轉(zhuǎn)移

在過去二十年中，網(wǎng)絡(luò)科學(xué)（network science）已經(jīng)成為刻畫復(fù)雜系統(tǒng)的重要工具。從互聯(lián)網(wǎng)結(jié)構(gòu)到社交關(guān)系，從神經(jīng)連接到生物分子網(wǎng)絡(luò)，圖模型（graph）以“節(jié)點—邊”的形式提供了一種統(tǒng)一語言。然而，這種傳統(tǒng)建模方式本質(zhì)上僅描述二元關(guān)系（pairwise interactions），即兩個節(jié)點之間的連接關(guān)系。

然而，現(xiàn)實世界中的許多關(guān)鍵過程并非發(fā)生在“成對關(guān)系”之中，而是天然依賴于多體交互（higher-order interactions）。例如，在社交系統(tǒng)中，一個信息傳播事件往往發(fā)生在群體會議或群聊中；在生物系統(tǒng)中，蛋白質(zhì)功能通常依賴多個分子的復(fù)合體；在神經(jīng)系統(tǒng)中，多個神經(jīng)元可能共同參與一個功能模塊的激活。這些現(xiàn)象都表明，多體交互是復(fù)雜系統(tǒng)中普遍存在的基本機制，而傳統(tǒng)圖模型難以對其進行精確表達。

因此，如何超越“點—邊”結(jié)構(gòu)，建立能夠表達多體交互的新型數(shù)學(xué)框架，成為當前復(fù)雜系統(tǒng)研究中的核心問題之一。在這一背景下，高階網(wǎng)絡(luò)（higher-order networks）逐漸成為網(wǎng)絡(luò)科學(xué)的重要發(fā)展方向，其核心思想是將系統(tǒng)的基本單元從“關(guān)系”擴展為“交互結(jié)構(gòu)本身”。

在這一理論框架中，超圖（hypergraphs）與單純復(fù)形（simplicial complexes）成為刻畫高階結(jié)構(gòu)的兩種核心數(shù)學(xué)模型。前者允許一個超邊連接多個節(jié)點，從而自然表達群體交互關(guān)系；后者則進一步引入拓撲約束結(jié)構(gòu)，使高階交互能夠嵌入代數(shù)拓撲框架，從而分析其幾何與拓撲性質(zhì)。

如圖1所示，超圖、單純復(fù)形以及具有三元調(diào)制關(guān)系的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，共同構(gòu)成了高階交互的三種基本表達方式。這一結(jié)構(gòu)性轉(zhuǎn)變，意味著網(wǎng)絡(luò)科學(xué)從“連接的科學(xué)”逐步走向“交互結(jié)構(gòu)的科學(xué)”。

盡管近年來圍繞高階網(wǎng)絡(luò)的研究已經(jīng)取得了重要進展，并在結(jié)構(gòu)建模、譜方法與動力學(xué)分析等方面形成了一系列理論工具，但該領(lǐng)域仍然存在大量基礎(chǔ)性問題尚未解決。例如，不同高階結(jié)構(gòu)表示之間如何統(tǒng)一？譜理論如何在不同建模框架下保持一致性？以及高階結(jié)構(gòu)如何深刻影響系統(tǒng)動力學(xué)行為？這些問題仍然構(gòu)成當前研究的核心挑戰(zhàn)。

圖1｜超圖（hypergraphs）由節(jié)點構(gòu)成，并通過超邊連接，用以表示兩個或多個節(jié)點之間的相互作用。單純復(fù)形（simplicial complexes）可以看作滿足閉包性質(zhì)的一類特殊超圖，從而能夠利用代數(shù)拓撲方法分析高階網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)、幾何結(jié)構(gòu)以及拓撲信號的動力學(xué)過程。在具有三元相互作用的網(wǎng)絡(luò)中，當一個或多個節(jié)點能夠調(diào)控另外兩個節(jié)點之間的相互作用時，就會產(chǎn)生這種結(jié)構(gòu)。

圖2｜超圖與高階網(wǎng)絡(luò)挑戰(zhàn)的示意圖，該圖展示了在 Newton Institute Satellite：“Hypergraphs: theory and applications”期間討論的內(nèi)容。包括譜超圖理論（純數(shù)學(xué)）、離散拓撲與幾何（純數(shù)學(xué)）以及高階網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)（應(yīng)用數(shù)學(xué)/理論物理）。這些進展可以為網(wǎng)絡(luò)科學(xué)與人工智能提供堅實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，并提升我們對復(fù)雜系統(tǒng)行為的理解與預(yù)測能力，例如腦動力學(xué)、社會系統(tǒng)與流行病傳播，并在藥物發(fā)現(xiàn)與博弈論中具有重要應(yīng)用。

極值與譜超圖理論：

結(jié)構(gòu)邊界與譜信息的統(tǒng)一刻畫

在高階網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中，極值超圖理論（extremal hypergraph theory）與譜超圖理論（spectral hypergraph theory）構(gòu)成了兩個核心方向，分別從組合結(jié)構(gòu)與代數(shù)譜結(jié)構(gòu)的角度刻畫高階系統(tǒng)的性質(zhì)。

極值超圖理論關(guān)注的是高階結(jié)構(gòu)的“邊界問題”，即在滿足特定約束條件下，超圖能夠達到的最大或最小結(jié)構(gòu)規(guī)模。例如，在經(jīng)典組合數(shù)學(xué)中，Turán 型問題（Turán-type problems）與 Erd?s 匹配猜想（Erd?s Matching Conjecture）等。

與此同時，譜理論則從線性代數(shù)的角度出發(fā)，通過推廣圖的鄰接矩陣（adjacency matrix）與拉普拉斯算子（Laplacian operator），研究超圖的特征值結(jié)構(gòu)。在圖的情形中，譜信息已經(jīng)被證明能夠有效刻畫連通性、擴散過程以及聚類結(jié)構(gòu)，而在高階網(wǎng)絡(luò)中，這一思想被進一步擴展到多體交互的復(fù)雜結(jié)構(gòu)之中。

如圖3所示，極值理論與譜理論并非彼此獨立，而是在高階網(wǎng)絡(luò)中呈現(xiàn)出深層的相互作用關(guān)系。一方面，極值結(jié)構(gòu)往往約束可能的譜分布范圍；另一方面，譜性質(zhì)也可以反過來為組合結(jié)構(gòu)問題提供界限與刻畫工具，例如類似 inertia bound 與 ratio bound 的經(jīng)典思想在高階情形下仍具有啟發(fā)意義。

然而，與圖結(jié)構(gòu)不同，超圖中的譜理論并不存在唯一標準的定義框架。由于“度”“鄰接關(guān)系”以及“拉普拉斯算子”的構(gòu)造方式可以有多種推廣（包括矩陣形式與張量形式），不同譜定義之間是否具有一致性，以及它們各自適用于何種類型的高階結(jié)構(gòu)，仍然是當前研究中的核心問題。

此外，超圖譜理論還引出了一個重要研究方向，即共譜超圖（cospectral hypergraphs）的刻畫問題。該問題關(guān)注的是：不同結(jié)構(gòu)的超圖是否可能具有相同的譜性質(zhì)，以及哪些結(jié)構(gòu)信息無法從譜中恢復(fù)。這一問題在圖論中已有豐富研究，但在超圖與非均勻高階結(jié)構(gòu)中仍遠未解決。

總體而言，極值理論提供了高階結(jié)構(gòu)的組合邊界，而譜理論則提供了代數(shù)刻畫工具。二者的結(jié)合不僅有助于深化對高階網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)本身的理解，也為后續(xù)研究高階動力學(xué)與復(fù)雜系統(tǒng)行為提供了基礎(chǔ)數(shù)學(xué)支撐。

圖3｜極值圖論、譜超圖理論及其相互作用的結(jié)構(gòu)示意圖。

離散拓撲：

從網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)到數(shù)據(jù)形狀的高維刻畫

離散拓撲（discrete topology）為理解高階網(wǎng)絡(luò)提供了另一種視角：通過研究數(shù)據(jù)與網(wǎng)絡(luò)的“形狀（shape）”來揭示其深層結(jié)構(gòu)特征。對于高階網(wǎng)絡(luò)而言，僅僅知道節(jié)點是否相連往往是不夠的，許多重要信息隱藏在環(huán)路、空腔以及更高維的拓撲組織結(jié)構(gòu)之中。離散拓撲正是通過刻畫這些高維結(jié)構(gòu)，為理解復(fù)雜系統(tǒng)提供新的數(shù)學(xué)工具。

在這一領(lǐng)域中，同調(diào)（homology）與上同調(diào)（cohomology）構(gòu)成了最核心的理論基礎(chǔ)。同調(diào)理論通過構(gòu)造邊界算子（boundary operator），識別網(wǎng)絡(luò)中的不同維度“空洞（holes）”結(jié)構(gòu)，并利用Betti 數(shù)（Betti numbers）等拓撲不變量進行量化，從而刻畫系統(tǒng)整體的組織方式。上同調(diào)理論進一步引入拉普拉斯算子（Laplacian operator）與Dirac 算子（Dirac operator），使拓撲結(jié)構(gòu)能夠與譜分析方法相結(jié)合，從而同時揭示系統(tǒng)的拓撲性質(zhì)、幾何結(jié)構(gòu)以及動態(tài)行為。

近年來，持續(xù)同調(diào)（persistent homology）的發(fā)展進一步推動了離散拓撲在數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)用。其核心思想是在多個尺度上追蹤拓撲特征的出現(xiàn)與消失過程，從而識別那些穩(wěn)定存在的結(jié)構(gòu)模式。這一思想構(gòu)成了拓撲數(shù)據(jù)分析（topological data analysis, TDA）的基礎(chǔ)，并被廣泛應(yīng)用于圖像分析、生物信息學(xué)以及復(fù)雜系統(tǒng)研究等領(lǐng)域。

總體而言，離散拓撲推動了高階網(wǎng)絡(luò)研究從“結(jié)構(gòu)分析”走向“拓撲分析”。在超圖與單純復(fù)形框架下，研究者開始關(guān)注系統(tǒng)整體的幾何與拓撲組織形式，以及這些結(jié)構(gòu)如何影響信息傳播、同步行為和集體動力學(xué)過程。從同調(diào)理論到持續(xù)同調(diào)，從拓撲數(shù)據(jù)分析到高階網(wǎng)絡(luò)研究，離散拓撲正在成為連接數(shù)學(xué)、網(wǎng)絡(luò)科學(xué)與數(shù)據(jù)科學(xué)的重要橋梁。

高階動力學(xué)：當拓撲開始影響動力學(xué)

如果說超圖與單純復(fù)形為高階網(wǎng)絡(luò)提供了新的結(jié)構(gòu)描述，而離散拓撲揭示了這些結(jié)構(gòu)背后的幾何與拓撲組織形式，那么一個更為根本的問題是：這些高階結(jié)構(gòu)會如何影響系統(tǒng)的動態(tài)行為？

傳統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)通常假設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)完全由節(jié)點上的變量描述，并通過節(jié)點之間的兩兩連接實現(xiàn)相互作用。然而，在高階網(wǎng)絡(luò)中，交互可以同時發(fā)生在多個節(jié)點之間。正是這種多體交互（higher-order interactions）的引入，使得系統(tǒng)動力學(xué)呈現(xiàn)出許多傳統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)無法產(chǎn)生的新現(xiàn)象。例如，在同步（synchronization）與傳播（contagion）過程中，高階耦合結(jié)構(gòu)能夠產(chǎn)生爆炸式同步（explosive synchronization）以及突發(fā)式傳播現(xiàn)象，使系統(tǒng)在短時間內(nèi)發(fā)生劇烈狀態(tài)躍遷。

近年來，一個更加深刻的研究方向正在興起，即拓撲動力學(xué)（topological dynamics）。在這一框架下，動態(tài)變量不僅可以定義在節(jié)點上，還可以定義在邊、三角形以及更高維單純形之上。這些動態(tài)量被稱為拓撲信號（topological signals）。

如圖4所示，拓撲信號能夠同時存在于節(jié)點、邊與高維單純形之中，并通過拉普拉斯算子（Laplacian operator）與Dirac 算子（Dirac operator）在不同維度之間傳遞信息。這意味著系統(tǒng)的動力學(xué)過程不僅受到局部連接關(guān)系的影響，還受到整體拓撲結(jié)構(gòu)的約束。

總體而言，高階動力學(xué)推動了網(wǎng)絡(luò)科學(xué)從“動力學(xué)發(fā)生在網(wǎng)絡(luò)之上”向“動力學(xué)發(fā)生在拓撲結(jié)構(gòu)之中”的轉(zhuǎn)變。從多體耦合導(dǎo)致的新型同步現(xiàn)象，到拓撲信號驅(qū)動的高維動力學(xué)過程，高階網(wǎng)絡(luò)正在揭示傳統(tǒng)圖模型難以捕捉的集體行為模式，并為理解腦活動、社會傳播以及復(fù)雜系統(tǒng)中的涌現(xiàn)現(xiàn)象提供新的理論框架。

圖4｜該圖展示了單純復(fù)形中的拓撲動力學(xué)，其通過拓撲信號（topological signals）來刻畫，即定義在節(jié)點、邊、三角形及更高維單純形上的動力學(xué)變量。拓撲信號會產(chǎn)生集體現(xiàn)象，一方面揭示拓撲結(jié)構(gòu)如何塑造動力學(xué)，另一方面揭示動力學(xué)如何反過來“學(xué)習”拓撲結(jié)構(gòu)。

高階機器學(xué)習：拓撲與數(shù)據(jù)驅(qū)動模型融合

隨著人工智能的發(fā)展，高階網(wǎng)絡(luò)研究正逐漸從數(shù)學(xué)理論走向數(shù)據(jù)驅(qū)動應(yīng)用。其中，一個重要方向便是高階機器學(xué)習（higher-order machine learning），其核心目標是將超圖、單純復(fù)形以及拓撲結(jié)構(gòu)引入機器學(xué)習模型，從而提升對復(fù)雜數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的表達能力。

其中，超圖表示學(xué)習（hypergraph representation learning）是這一領(lǐng)域最直接的發(fā)展方向。與傳統(tǒng)圖表示學(xué)習主要基于節(jié)點之間的兩兩關(guān)系不同，超圖表示學(xué)習能夠直接利用多體交互結(jié)構(gòu)進行建模，從而保留群體交互所攜帶的高階信息。這使得研究者能夠更準確地描述復(fù)雜系統(tǒng)中的協(xié)同關(guān)系，而無需將其簡化為大量兩兩連接。

與此同時，高階網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展也推動了拓撲信號處理（topological signal processing, TSP）的興起。傳統(tǒng)信號處理主要針對定義在節(jié)點上的信號，而 TSP 則將分析對象擴展到邊、三角形以及更高維單純形上的拓撲信號，從而為高階結(jié)構(gòu)中的信息傳播與特征提取提供統(tǒng)一框架。

在此基礎(chǔ)上，拓撲深度學(xué)習（topological deep learning, TDL）進一步將深度學(xué)習推廣到高階網(wǎng)絡(luò)領(lǐng)域。通過利用超圖、單純復(fù)形以及更一般的拓撲結(jié)構(gòu)，模型不僅能夠?qū)W習節(jié)點之間的連接關(guān)系，還能夠捕捉群體交互與高維組織結(jié)構(gòu)中的復(fù)雜模式，從而表達傳統(tǒng)圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)難以刻畫的高階結(jié)構(gòu)信息。

總體而言，高階機器學(xué)習正在推動人工智能從圖結(jié)構(gòu)學(xué)習邁向高階結(jié)構(gòu)學(xué)習。隨著超圖表示學(xué)習、拓撲信號處理與拓撲深度學(xué)習的發(fā)展，高階網(wǎng)絡(luò)理論正逐漸成為連接現(xiàn)代數(shù)學(xué)與下一代人工智能的重要橋梁。

應(yīng)用圖景：從傳播過程到復(fù)雜系統(tǒng)行為

高階網(wǎng)絡(luò)理論不僅為復(fù)雜系統(tǒng)提供了新的數(shù)學(xué)描述工具，也正在被廣泛應(yīng)用于真實世界的多個關(guān)鍵領(lǐng)域，包括流行病傳播、社會系統(tǒng)分析、博弈動力學(xué)以及腦網(wǎng)絡(luò)建模等。在這些系統(tǒng)中，高階交互結(jié)構(gòu)往往決定了集體行為的演化方式，并在不同尺度上塑造系統(tǒng)的宏觀動態(tài)。

• 流行病傳播（epidemic spreading）：在現(xiàn)實場景中，感染與傳播往往發(fā)生在群體接觸之中，例如家庭、會議或公共場所的集體互動。高階網(wǎng)絡(luò)通過引入超圖結(jié)構(gòu)，使得群體層面的傳播機制能夠被直接建模，從而更真實地刻畫疫情擴散過程中的非線性效應(yīng)與臨界行為。

• 博弈論（game theory）：在現(xiàn)實社會中，決策往往受到群體環(huán)境的共同影響。高階網(wǎng)絡(luò)框架使得多參與者之間的聯(lián)合決策結(jié)構(gòu)得以顯式表達，從而揭示群體行為中的協(xié)調(diào)機制與演化穩(wěn)定性問題。

• 社會網(wǎng)絡(luò)分析（social network analysis）和社會傳播過程（social contagion）：與經(jīng)典傳播模型中“節(jié)點—邊”的逐級擴散不同，高階網(wǎng)絡(luò)允許信息在群體內(nèi)部同時傳播，從而導(dǎo)致更復(fù)雜的級聯(lián)效應(yīng)與閾值行為。這種群體傳播機制能夠更準確地解釋輿論形成、行為擴散以及社會極化等現(xiàn)象（如圖5）。

• 腦網(wǎng)絡(luò)（brain networks）：高階交互體現(xiàn)為多個腦區(qū)之間的協(xié)同激活模式。認知功能并非由單一腦區(qū)或簡單連接對決定，而是由多個區(qū)域共同參與的功能單元所驅(qū)動。高階網(wǎng)絡(luò)方法能夠刻畫這種多區(qū)域協(xié)同結(jié)構(gòu)，從而為理解腦功能分區(qū)、信息整合以及神經(jīng)動態(tài)提供新的理論框架。

總體而言，這些看似不同的應(yīng)用領(lǐng)域在高階網(wǎng)絡(luò)框架下呈現(xiàn)出統(tǒng)一的結(jié)構(gòu)性特征：系統(tǒng)的關(guān)鍵行為并非由簡單的成對關(guān)系決定，而是由多體交互結(jié)構(gòu)所主導(dǎo)。高階網(wǎng)絡(luò)因此成為連接傳播過程、決策機制與神經(jīng)動力學(xué)的重要統(tǒng)一語言。

圖5｜多源傳播過程中潛在的重疊群結(jié)構(gòu)的典型模式。從左到右，分別表示：成對交互與高階交互完全不重疊（左）、部分重疊（中）、以及完全重疊（右）。圖中僅展示結(jié)構(gòu)配置（不涉及動力學(xué)過程）；這種結(jié)構(gòu)重疊會影響傳播行為。

總結(jié)與展望：走向統(tǒng)一的高階網(wǎng)絡(luò)理論

高階網(wǎng)絡(luò)研究正在從“結(jié)構(gòu)刻畫”走向“結(jié)構(gòu)—動力學(xué)—學(xué)習”的統(tǒng)一框架：從超圖與單純復(fù)形出發(fā)描述多體交互結(jié)構(gòu)，通過極值與譜理論刻畫其結(jié)構(gòu)邊界與信息性質(zhì)，借助離散拓撲揭示其高維幾何形態(tài)，并進一步由高階動力學(xué)連接到系統(tǒng)演化規(guī)律。

在此基礎(chǔ)上，高階機器學(xué)習與拓撲數(shù)據(jù)方法正在將這一理論體系推向數(shù)據(jù)驅(qū)動的人工智能框架，使高階結(jié)構(gòu)從“可描述對象”走向“可學(xué)習對象”。

可以預(yù)見，高階網(wǎng)絡(luò)科學(xué)正逐步從傳統(tǒng)圖模型的推廣，發(fā)展為貫通數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、動力學(xué)機制與智能學(xué)習的統(tǒng)一理論框架。

高階網(wǎng)絡(luò)社區(qū)

隨著對現(xiàn)實世界探索的不斷深入，人們發(fā)現(xiàn)在許多真實的復(fù)雜系統(tǒng)中，組成系統(tǒng)的個體之間不僅存在二元交互關(guān)系，也廣泛存在多個體同時（或以特定順序）進行交互，即高階交互現(xiàn)象。為此，研究人員分別發(fā)展出了基于超圖、單純復(fù)形、依賴關(guān)系等的網(wǎng)絡(luò)高階表示模型，為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)分析和研究提供了新的思路。

由電子科技大學(xué)呂琳媛老師、任曉龍老師及中國地質(zhì)大學(xué)（北京）管青老師在集智俱樂部聯(lián)合發(fā)起了【 】。讀書會圍繞高階交互網(wǎng)絡(luò)的基本概念、模型、方法與應(yīng)用等研究進行研討，按照「基礎(chǔ)理論」+「深入理論」+「案例研討」的模式展開。讀書會第一季已經(jīng)圓滿結(jié)束，第二季正在籌備中。現(xiàn)在報名加入可以解鎖第一季全部錄播視頻并加入社群交流。

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