數學與藝術在思想史中的關系

女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

在德國哲學中，數學被視作精神科學（Geisteswissenschaften）的一部分，而對這一定位的研究，折射出數學與藝術之間的關系。本研究聚焦于哲學家馬克斯·本塞的早期著作，他在這些作品中描繪了與哲學相關的數學思想史輪廓。他指出，數學與人類創造能力的各個領域之間存在著緊密聯系。尤為重要的是，他對重要歷史階段中藝術與數學之間關系的考察表明，一個時代的數學會在其藝術風格或藝術理論中得到審美上的反映。他提出論題：數學的高峰與藝術的高峰相對應。此后，本塞在數學、符號學和信息論的基礎上發展出了一套美學理論。

引言

馬克斯·本塞在其整個學術生涯中始終致力于研究數學與美學的關系。馬克斯·本塞（1910–1990），出生于斯特拉斯堡，曾在德國波恩大學攻讀物理學、化學、數學、地質學和哲學。第二次世界大戰后，他被任命為蘇占區耶拿大學的校長，并擔任哲學與科學預備學教授。1948年，他逃往西德，隨后被任命為德國斯圖加特大學哲學與科學理論教授。本塞的哲學基本理念是一種存在主義理性主義。他獨特的貢獻在于闡明了數學在科學以及人類創造性活動各領域中的作用。早在20世紀50年代和60年代，他就已經開始研究技術哲學和信息論概念。他鼓勵學生們在大型計算機上進行最早期的藝術編程實踐。首批計算機藝術展覽在本塞于斯圖加特大學創辦的研究美術館中舉行。他的思想與理論的哲學背景在今天比以往任何時候都更具現實意義，并構成了媒體科學和人工智能的理論基礎。他的思想和理論具有開創性，其著作也獲得了國際認可（參見Leopold 2022b），但其中大部分作品僅以德文出版，因此未得到應有的充分關注。

在早期著作《空間與我》（Raum und Ich，Bense 1997 [1934]）中——該書出版時他還是一位年僅24歲的年輕學生——馬克斯·本塞就已經開始探討數學與美、形態（Gestalt）及精神之間的關系。他認為，形態可以被分解為幾何原型。但他也區分了審美現象與數學現象之間的差異：審美現象基于經驗，而數學現象則基于思維。

幾年后，他撰寫了兩卷關于數學思想史輪廓的著作（Bense 1946 和 1949）。其中與數學和藝術關系相關的主要有趣主題見于第二卷。在本塞看來，藝術涵蓋審美精神的所有表現形式，顯現于詩歌、文學、繪畫、雕塑、建筑以及舞蹈和音樂的表現之中。他的視野聚焦于歐洲藝術及其在埃及的早期根源。這部著作成為他研究藝術中數學原理的起點，尤其在與具體藝術和文學領域的藝術家緊密關聯方面，他還進行了自己的詩歌文本實驗（Walther 1998）。在后期的著作中，他在信息論和伯克霍夫關于審美測量的定義基礎上，發展出了一門精密美學（Bense 1982 [1965] 和 1998 [1969]）。我們在此聚焦于馬克斯·本塞1949年的早期著作，該著作在二手文獻中尚未得到廣泛關注（Herrmann 2018）。在這部著作中，本塞描述了與哲學相關的數學思想史輪廓，并指出了其在藝術中的對應關系。重要歷史階段的例證展示了這些關系。

本塞提出了藝術與數學之間具有明顯關聯的四個歷史階段（Bense 1949: 58）：

1對稱圖形與裝飾紋樣的構建，尤其是在埃及數學與裝飾藝術中，體現了前希臘時期數學與藝術之間的關聯。

2在哥特式風格中，非具象的哥特式建筑裝飾或窗花格的構成，以及哥特式大教堂中空間群組的組織，構成了主要聯系。

3文藝復興時期的特征在于黃金分割學說的復興、透視法在文藝復興建筑與繪畫中的形成，以及對歐幾里得、阿基米德和維特魯威的重新接受。

4巴洛克藝術的特殊之處在于無窮小算法與普遍數學（Mathesis universalis）概念的出現之間的對應關系，以及空間曲線的運用，這在建筑中尤為顯著。

隨著18世紀中葉達朗貝爾和狄德羅編纂《百科全書》的出版，普遍數學（Mathesis universalis）的時代宣告終結，普遍機械學（Mathesis mechanica 或 Mechanica universalis）的時代由此開啟。在這一時期，數學與機器、技術及各類應用相關聯，形成了一種與數學和力學相關的綜合技術性關系。這標志著數學精神開始分化為理論—科學方面與建構—技術方面。

在19世紀最后25年間，印象派風格在繪畫中得以發展。本塞將印象派與數學基礎危機相類比，這場危機始于集合論和非歐幾何的興起。

從20世紀50年代起，本塞著作中關于數學與美學的關系經歷了一次決定性的重新定向，這發生在他接觸符號學、信息論和控制論之后，他將這一方向稱為信息美學（information aesthetics）。這一轉向尤其具有重要意義，因為他曾受烏爾姆設計學院創始校長馬克斯·比爾之邀，參與該校的通識哲學教育，并隨后擔任該校新成立的信息系主任（Walther 2003; Leopold 2013, 2022b）。

前希臘數學中的對稱與裝飾

在本塞看來，美學與數學之間最早的關系體現在對稱性上。藝術的數學化具有形態學上的意圖。數學方面決定了形式的創造以及元素的構成。這一點可以從幾何排列中看出，例如根據對稱規則重復某一元素。這種視覺藝術中最普遍、最古老的數學化過程，結合了幾何學與算術學的視角。

“在每一種對稱關系中，審美意圖的數學化過程都顯得完美地得以實現，因為在這里，審美純粹地顯現為數學，數學也純粹地顯現為審美；審美與數學在此成為可以互換的術語?！保˙ense 1949: 58）

他引用了保羅·瓦萊里（Paul Valéry）的觀點，后者認為裝飾對藝術具有根本性的重要意義。“從這個角度來看，裝飾性概念之于各門藝術，就如同數學之于其他科學一樣。”（Bense 1949: 59；Valéry 1895）。這一起源顯示了數學的審美化還原，或者說數學誕生于美學精神之中。前歐幾里得時代的數學知識正是通過裝飾紋樣得以流傳的。對稱圖形的構建和裝飾紋樣的創作被視為美學與數學結合的最早表達。根據本塞對裝飾紋樣的研究，希臘數學沿襲了可追溯至公元前1500年的埃及傳統。本塞提及了大量關于裝飾紋樣的文獻來源（例如Jones 1856），尤其還有其他關于埃及藝術的資料。開羅伊本·圖倫清真寺（圖1）中約公元876年的早期裝飾紋樣，展示了不同類型的對稱操作，其中以兩個檐壁圖案為例，分別呈現了反射和滑移反射。在此，本塞所指的裝飾紋樣理論分析群，在后來成為對其數學理解的重要一步。

圖1 開羅伊本·圖倫清真寺的灰泥邊框紋飾。圖片來源：Bense 1949: 69，

這類裝飾紋樣和對稱圖形的構造，可以被視為美學與數學結合的最早表達。

哥特式建筑中的空間群組與窗花格

在哥特式建筑中，數學與藝術之間的關系有著深刻的表現。哥特式大教堂的空間群組和哥特式窗花格便是這些表現之所在，其數學背景可以在其中找到。柏拉圖立體和阿基米德立體是這些空間群組的組成部分。一種對形式的審美意識通過其對稱性特征而變得顯而易見。柏拉圖在其著作《蒂邁歐篇》中引入柏拉圖立體，主要出于審美價值的考量，而開普勒在《宇宙的秘密》中所作的類似觀察，則帶有純粹的科學或認識論視角。柏拉圖立體或阿基米德立體并非直接用于哥特式建筑，但它們與空間網格相關聯。這些網格構成了哥特式建筑的背景，尤其是在塔樓和尖塔的建造中。本塞以斯特拉斯堡大教堂塔尖中重疊的六角棱柱為例，說明空間群組在建筑中的復雜運用。該塔樓基于八邊形結構（圖2）。根據德希奧（Dehio 1922: 22）的描述，這一建筑的設計理念可概括如下：八根立柱及其間八扇極為纖細的窗戶圍合了建筑的主體空間，在方形底座的四個角上，四座樓梯塔樓從主體中獨立突出，每座塔樓各有不同的平面圖。來自科隆的約翰·許爾茨完成了這座塔樓的建造，而在此之前，烏爾里?！ゑT·恩辛根（1419年）已將塔樓建至八邊形完成。在烏爾里希原本計劃設置小尖塔的位置，許爾茨放置了小塔樓，這些塔樓以七重花環的形式環繞核心建筑。這些小塔樓共計52座，每座內部都設有螺旋樓梯，其排列方式使得攀登者從一座塔樓轉入另一座時，沿著螺旋線盤旋而上直至塔頂（Dehio 1922: 23）。

圖2 斯特拉斯堡大教堂的塔樓，塔樓八邊形及樓梯塔的平面圖。

在法國哥特式建筑形成的過程中，窗花格應運而生，其名稱本身就揭示了審美與數學目標的結合。本塞在此引用了洛特莉薩·貝林（Lottlisa Behling）的著作《窗花格的形式與歷史》（Gestalt und Geschichte des Ma?werkes，1944），其中展示了曲線風格基本紋樣的實例（圖3）。這些實例顯示了窗花格的裝飾性特征。

圖3 哥特時期曲線風格的基本紋樣，依據貝林（Behling）所繪。

文藝復興時期對歐幾里得的接受、透視理論與比例理論

對歐幾里得的接受在哥特時期已然開始，但在文藝復興時期獲得了重要推動。旨在再現場景或建筑物在眼前所呈現樣貌的目標，促成了透視法的舞臺布景設計的發展。透視法的探索根源可追溯至歐幾里得的《光學》。文藝復興的特征在于一種藝術理性主義。根據思想史的脈絡，本塞認為，文藝復興時期可以看作是對此前在晚期經院哲學的經驗理性主義中已有所發展的傾向的重新接續，尤其是羅杰·培根（Roger Bacon，Bacon 1962 [1267]）的工作。培根通過光學實驗來提煉關于自然的真正知識。所有關于世界的真正知識的源泉被認為源于直接經驗。文藝復興時期的透視理論正可追溯至這些根源。布魯內萊斯基通過將透視畫與觀眾對物體的實際觀察進行對比的演示，以及阿爾貝蒂關于如何借助視覺金字塔和畫面來制作透視圖像的說明，都展現了這些認識論層面的背景。

當時哲學中關于世界的認識論構想，與物體的透視再現方式相對應。主體—客體關系在認識論和透視理論中被預設為主題性的。這一關系首先在美學領域得到了發展；哲學上對主客體關系的處理則相對滯后。在米歇爾·德·蒙田（Michel de Montaigne，1533–1592）的隨筆中，我們已經可以找到將主體與客體區分為認知圖式的表述，而這正是近代思想的特征。此后很久，康德（Immanuel Kant，1724–1804）才將主客體關系作為認識論的基礎加以系統闡述。

本塞認為，文藝復興運動中藝術理性主義興起的原因如下：

● 晚期經院哲學理性主義與經驗主義的后續影響。

● 社會學層面的變革，擁有工藝技術知識與技能的人逐漸崛起，作為“現代派”（Moderni）與幾何學者并立。

● “現代派”和人文主義者（作為作家和語文學家）對修道院學校的超越，他們起初對自然科學并無興趣，但后來卻架起了通往哲學、科學和數學傳統的橋梁。

● 藝術家的崛起，他們將中世紀精神與技術工藝相結合，并承接了需要技術和數學研究的世俗建筑委托。

這一背景以及對歐幾里得、阿基米德、維特魯威和普羅克洛斯的接受，促成了對精密科學和藝術的追求。馬克斯·本塞提及了烏切洛、皮耶羅·德拉·弗朗切斯卡、布魯內萊斯基、阿爾貝蒂、列奧納多和丟勒（例如圖4中的透視繪圖機）作為文藝復興時期透視法與比例理論的偉大理論家和實踐者。

圖4 丟勒所繪雅各布·凱澤透視繪圖機版本的草圖。

本塞認為，由瓦薩里創立并于1563年在佛羅倫薩開辦的繪畫藝術學院（Accademia della arti del disegno），是這些發展進程中最具代表性的精神體現。其課程設置包括解剖學、數學、技術、建筑和透視法等科目。

伽利略·伽利萊對縮放圓規的發明，從思想、歷史和技術層面補充了透視法的引入。除了藝術向數學靠攏的路徑之外，與技術世界之間的密切接觸也隨之出現。在本塞看來，自伽利略以后，數學畫家同時也是技術畫家。關于比例規的發明者之爭——巴爾達薩·卡普拉還是伽利略·伽利萊——顯示了這一新工具的重要性。此后，該圓規出現了多種改進版本。本塞特別提到了數學家、物理學家兼哲學家約翰·海因里希·朗伯（Johann Heinrich Lambert，1768年）較晚期的版本及其著作，認為它們尤其體現了自文藝復興以來藝術、數學與技術之間的緊密聯系。

巴洛克時期的普遍數學與空間曲線

普遍數學（Mathesis universalis）這一理念，即以數學的普遍適用性為核心的一門普遍科學，與巴洛克藝術史時期相吻合，該時期大約持續從1600年至1750年。這是一個數學成果豐碩且數學哲學活躍的歷史時期。笛卡爾、帕斯卡和萊布尼茨，他們同時是數學家和哲學家，在1630年至1750年這一古典時期奠定了普遍數學的理念。

普遍數學（Mathesis universalis）的理念，在廣義數學的意義上——即包含非數學對象或一種方法——根據笛卡爾的看法，是在數學上控制著我們理性的科學和哲學推理。數學的形式要求科學和哲學的形式，其特征是兩類命題：公理和定理。從公理出發，定理應通過邏輯推理規則推導得出（Descartes 1969 [1637]）。普遍數學的第一個綱領可以在笛卡爾的著作中找到。

帕斯卡在《幾何精神論》（De l’esprit géométrique，Pascal 1658）中構建了一種科學理論，在其中他為定義、公理和證明制定了精確的規則。馬克斯·本塞將其評價為超越歐幾里得和亞里士多德綱領的首個公理化范例。

萊布尼茨最終在《普遍字符》（characteristica universalis，Leibniz 1679）中首次綱領性地將其描述為一種普遍的概念語言。

巴洛克時期關于“總體藝術作品”（Gesamtkunstwerk）的藝術理論綱領，與普遍數學的科學理論綱領相一致。建筑在這一時期領先于繪畫和雕塑。本塞提出了數學的形式感影響藝術普遍風格的三個要點：

● 文藝復興時期所應用的透視理論及其實際操作的幾何內涵，被轉化到了空間之中。文藝復興時期所繪制的透視畫面，在建筑本身中被轉化了。“世界的透視化——城市綜合體或背景中的風景——在文藝復興時期是被繪制的，而到了1600年至1750年間，藝術家們則要在建筑上掌握它?！保˙ense 1949: 96）。浮雕透視法的發展顯示了這種普遍化過程，即二維透視圖像被轉化到空間中。投影幾何的數學概念與浮雕透視的建筑應用之間的關系，作者已在別處進行了詳細分析（Leopold 2019a），這為本塞關于藝術普遍化的論題提供了一個例證。

● 普遍數學的深層思想——即通過數學理論來控制一切存在，尤其是自然世界——在藝術領域意味著自然可以被納入審美體系之中。這一點在巴洛克時期園林建筑與建筑物的結合中表現得尤為突出。

● 沃爾夫林在其基礎藝術史概念中，以“多樣性”與“統一性”這對概念區分了16世紀古典藝術與17世紀藝術（W?lfflin 1915）?？茖W中的統一性理念同樣是巴洛克藝術的特征?！鞍吐蹇怂囆g基本上不再以多個獨立部分和諧互鎖的多重性來考量，而是以絕對的統一性來考量，在這一統一性中，個體部分已失去了其特殊權利?！保╓?lfflin 1915: 165）。

本塞將“表征”（Representation）描述為巴洛克時期數學中最重要的概念之一。普遍字符（characteristica universalis）要求思想與符號之間、即思想的表征之間具有一一對應的關系。一個例子是笛卡爾幾何中通過方程來表征幾何曲線，這一思想在函數概念中得到了進一步發展，萊布尼茨和伯努利也以此方式表征曲線。巴洛克藝術可以被定性為表征性藝術。藝術與數學之間的另一層關聯或許可見于瓜里尼的建筑幾何學，它預見了帕斯卡關于圓錐曲線在中心投影下保持不變性的分析。

萊布尼茨和伯努利在微積分發展中所提出的另一個重要數學概念是連續性（Continuity）。在巴洛克藝術中，連續形態與曲線的運動，與數學中的連續性概念相互對應。文藝復興時期繪畫中那種為了建立比例和對稱關系而采用的連續線性排列方式，在巴洛克時期被非線性的、連續的、曲線性的排列所取代。根據本塞的說法，意大利巴洛克的主要代表人物包括：貝爾尼尼、博羅米尼、瓜里尼和尤瓦拉。在德國，尤其是巴塔薩爾·諾伊曼及其十四圣徒朝圣教堂（Vierzehnheiligen Basilica，圖5），代表了巴洛克式的曲線性布局。他同時是一位建筑師和數學家。對巴洛克藝術的分析總是與數學分析相結合。

圖5 十四圣徒朝圣教堂（Vierzehnheiligen）內部，巴爾塔薩爾·諾伊曼設計，1743–1772年，作為晚期巴洛克非線性、連續、曲線風格的代表。

從普遍數學到普遍機械學——啟蒙時代

隨著1751年首卷百科全書《百科全書，或科學、藝術與工藝分類詞典》（Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers）的出版，由達朗貝爾和狄德羅主編，一個新時代開始了。其目標是匯集世界上的知識?！胺诸愒~典”（Dictionnaire raisonné）這一表述揭示了其與笛卡爾、帕斯卡和萊布尼茨這三位思想家的關聯。本塞關于普遍數學的論題在此轉變為普遍機械學（Mathesis mechanica）。普遍數學的綱領在于數學的普遍適用性。在1750年至約1830年間，歐拉、伯努利、達朗貝爾、拉格朗日、拉普拉斯等人完成了對力學原理的數學闡明（Bense 1946: 123 ff.）。力學日益走向科學發展的前沿。本塞寫道：“如果說古典普遍數學是笛卡爾、帕斯卡和萊布尼茨的古典理性主義的典范，涵蓋了1630年至1750年這一時期，那么古典普遍機械學則是牛頓、惠更斯、洛克和休謨的經驗主義或歸納經驗主義的典范”（Bense 1946: 125f）。經驗主義日益推進，理性主義則走向衰落。在普遍機械學中，機械師與科學幾何學家之間在知識社會學上的差異被消除了。列奧納多·達·芬奇早已從數學的視角同時照亮了藝術與技術。由瓦薩里和科西莫·德·美第奇在佛羅倫薩創立的繪畫藝術學院（Accademia del disegno）——在關于文藝復興的章節中已經提及——在那里藝術家、機械師、工程師和數學家相互交流，成為了后來工業大學——即理工學院——的前身。在百科全書派、唯物論者和革命者的那個年代，數學在教學上的重要性從未被觸及，因為在啟蒙時代，他們希望教育人們獨立自主地思考。

加斯帕爾·蒙日，作為畫法幾何的偉大重建者，是巴黎第一所綜合理工學院（école Polytechnique）的創始人。由此，力學與數學的雙重精神得以具體化。這所新學校正是普遍機械學時代的體現。建筑學成為這些理工學院的一部分。即使在今天，建筑學仍具有雙重屬性：一方面作為工業大學的院系存在，另一方面作為藝術學院的學科專業而設立。

從理性主義到經驗主義的路徑，一方面表達了形式的衰敗之路，另一方面也體現了智性創造能力的弱化之路。本塞認為，“精神在創造行為中的強度，大于其在經驗行為中的強度”（Bense 1946: 155）。從理性主義到經驗主義的道路，表達了智性人類從審美階段向倫理階段的過渡。漢斯-克里斯蒂安·馮·赫爾曼（Hans-Christian von Herrmann，2018: 86）在其關于本塞著作中數學與美學關系的文章中恰當地指出，技術史——約在18世紀中葉成為關注焦點——打破了近代早期數學—藝術精神的一體性。

印象派與數學基礎危機的平行關系

在19世紀最后25年間，印象派在繪畫中占據了重要地位。根據本塞的看法，印象派所發起的對清晰具象輪廓的消解傾向，與數學中著名的重大基礎危機——始于集合論和非歐幾何——同時發生，這并非偶然。非歐幾何首次表明，存在的不是唯一的一種數學，而是多種數學體系，并且某些命題在一種數學體系中為真，在另一種數學體系中卻為假。克勞德·莫奈于1874年在巴黎展出了其開創性畫作《日出印象》（圖6）。同年，格奧爾格·康托爾發表了論文《關于所有實代數集合的一個性質》（über eine Eigenschaft des Inbegriffs aller reellen algebraischen Zahlen），這被視作集合論誕生的標志。他最初稱之為“流形論”（Mannigfaltigkeitslehre）。這是首次區分了兩種不同類型的無窮集合。早在1867年，伯恩哈德·黎曼發表了《關于幾何學基礎的假設》（Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde liegen，圖7）——該文為其1854年的就職演講——其中闡述了對我們空間之非歐幾里得特性的解釋。

圖6 莫奈（Claude Monet）：《日出印象》（Impression）。1874年。

圖7 伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）：《關于幾何學基礎的假設》（Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen）。

隨著集合論的出現，在看似公理—演繹結構的算術中，矛盾變得明顯起來。隨著非歐幾何的取代，幾何學中對清晰性和歐幾里得式明證性的要求已無法滿足。本塞總結道：“在理論上，數學的無矛盾性成了一個難題；在實踐上，幾何學——即哪一種幾何學？——在自然中的應用也成了一個難題”（Bense 1946: 157）。在繪畫中，情況類似：在印象派中，繪畫從素描、從幾何可構想的形式中發展出來的過程被打破了，而將印象派的審美意識追溯到最廣義上的幾何意識已不再可能。色彩對畫家來說變得最為重要。

根據塞尚的看法，對畫家而言，既不存在線條也不存在曲線。存在的只是色彩對比，而這些色彩并不是牛頓物理學意義上的客觀物理顏色，而是歌德生理現象學顏色理論中的主觀生理顏色。最后，本塞總結道，印象派的技法是一種綜合性的繪畫方式，正如射影幾何是一種綜合性幾何學一樣（Bense 1946: 160）。射影幾何作為一種綜合性幾何學，建立在公理化的幾何原理之上，這些原理通過幾何對象（點、直線、平面等）之間的相互關系來隱含地定義它們。在印象派中，大氣透視日益取代了線性空間透視。大氣透視僅僅通過色調來營造空間層次感。印象派的技法同樣是綜合性的，因為繪畫表現的是藝術家感知世界與想象世界的綜合，而非對外部世界的分析。

本塞美學中數學與藝術的關系

早在從事數學與藝術思想史的歷史研究的同時及此后，本塞便致力于符號學和數學信息論的研究，其目標是建立一門涵蓋所有個體藝術與設計領域的精密美學。他對其美學概念作了如下論述：

“美學勾勒出可能的藝術作品的原則……但不是通過藝術的手段，而是以純粹理論的形式?！缹W只是從其預設的藝術生產中產生出它的研究對象。這些對象是審美對象、審美判斷和審美存在?！保˙ense 1982: 22）

在美國哲學家和數學家查爾斯·桑德斯·皮爾士（Charles Sanders Peirce，1839–1914）著作的基礎上，本塞將他的符號學發展為一門符號理論。戴維·G·伯克霍夫（David G. Birkhoff，1933）關于審美測度的定義、克勞德·E·香農（Claude E. Shannon，1948）的信息論，以及諾伯特·維納（Norbert Wiener，1948）的控制論，為這一新美學提供了基礎。這些研究早在20世紀50年代就已由本塞開展，其動力源于他在烏爾姆設計學院期間的經歷。他與法國斯特拉斯堡大學教授、同時也是烏爾姆設計學院講師的亞伯拉罕·A·莫爾斯（Abraham A. Moles，Moles 1966）共同構建了信息美學，通過符號學和數學手段來表征審美狀態（Bense 1998 [1969]）。適用于自然對象、藝術作品或設計對象的審美狀態，被定義為審美信息。借助符號學和香農的信息論，所有基于技術和藝術的交流形式都可以得到奠基。伯克霍夫的審美測度被本塞解釋為審美信息。伯克霍夫將審美測度 M 定義為所觀察構形的秩序與復雜度等級的函數：M=O/C，其中 O 為秩序關系、對稱性和和諧性的數量，C 為復雜度（參見 Leopold 2019b, 2022a）。與伯克霍夫的考量相一致，本塞將審美狀態定義為有序狀態與無序狀態之間的關系。秩序關系 O 對應于冗余度，即有序狀態，而 C 對應于混沌或創新，即無序狀態。他在其《美學》（Aesthetica）中解釋道：

“一種完美的創新，如果其中僅存在如同混沌般的新狀態，那將是不可識別的?；煦缃K究是無法辨認的。一個審美狀態的可識別性，不僅要求其單一創新的可識別性，還要求其基于冗余秩序特征的可辨識性。”（Bense 1982: 356）

本塞很早便對技術及控制論——作為數學邏輯在技術中的應用——的作用產生了興趣。他引用了諾伯特·維納的控制論，并在《控制論或機器的元技術》（Kybernetik oder die Metatechnik einer Maschine）中寫道：

“這種技術向此前難以企及的領域的滲透，及其向元技術的轉化——這種轉化不斷模糊所謂物質領域與非物質領域之間的界限——可以通過這樣一個事實來證明：諾伯特·維納所說的控制論機器，不僅……是在邏輯學家、數學家和技術人員之間的持續合作中創造出來的……而且它們所具有的功能，與人類意識的某些特有能力——如記憶——相對應?！ㄟ^技術，人類為自己創造了一個與其作為自然存在和精神存在的雙重角色相適應的‘環境’?！保˙ense 2004 [1951]: 54–60）

關于傳播理論、符號學、控制論及其對美學影響的更多細節，作者已在別處進行了描述（Leopold 2022b）。本塞的美學理論與概念對烏爾姆設計學院的學術背景產生了深遠影響（Leopold 2013），也對早期的計算機圖形實驗、設計以及建筑設計方法產生了影響（Leopold 2022a, b）。早在20世紀60年代，許多藝術家、設計師、數學家等就已受到本塞的啟發，借助計算機技術進行創作。這些藝術作品，例如數學家、后來成為德國不來梅大學計算機科學教授的弗里德·納克（Frieder Nake，2012）的作品，便屬于最早的計算機藝術實驗。本塞的美學理論再次將數學與藝術緊密聯系在一起——如今是在一個普遍的理論層面上，同時也適用于各類藝術作品的創作實踐。

結論

馬克斯·本塞對數學與藝術之間思想史關系的研究，在若干歷史階段上展示了有趣的成果。他總結道：

“作為這項對數學與藝術的思想史研究的結果，可以斷言：歐洲藝術中每一種新風格的出現，都與數學方法和定理的引入相關聯，該風格的形式要素或多或少都可以統一而完整地追溯至這些數學方法和定理?！保˙ense 1949: 207）

該研究僅限于歐洲藝術，而有趣的補充性研究可以在全球范圍內尋找類似的關系。本塞從研究中得出了一種純粹藝術形式的美學，這種美學可追溯至數學形式。但他也討論了這樣一個問題：這些形式中哪些可被稱為藝術的，以及美學應如何理解？他的回答是：那些作用于我們感官的數學形式——即它們不僅可被思考、不僅可被感知，而且能觸動我們、改變我們——這些具有情感作用的形式被稱為審美形式。

根據馬克斯·本塞的哲學研究，數學與藝術之間的關系可以在其思想史的相互對應中被探討。本塞通過四個歷史階段——即前希臘時期、哥特時期、文藝復興時期和巴洛克時期——對此進行了描述。他闡明，歐洲藝術中新風格的出現與數學中新方法的引入相關聯。在他的美學理論中，藝術形式可以追溯至數學形式。這些背景脈絡通過若干實例得以呈現，使二者關系變得可理解。在啟蒙時代，理性主義轉向經驗主義，數學作為應用數學在技術領域中變得日益重要。近代早期數學精神與藝術精神的統一性由此被打破。此外，本塞還指出了印象派繪畫中形式的消解與數學中因集合論和非歐幾何而引發的基礎危機之間的平行關系。在其后續工作中，本塞在符號學、數學和信息論的基礎上發展出了一套美學理論。在這一美學理論中，數學與藝術被重新緊密聯系在一起，激發了藝術家、科學家和研究者進行藝術實驗，尤其是早期的計算機藝術實驗。這一后期擴展的美學概念，本文僅能略作提示。

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