四維空間，瘋狂之地

女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

我們生活的世界是嚴格三維的：上下、左右、前后——這些是僅有的移動方向。多年來，科學家和科幻作家一直在思考更高維空間的可能性。一個四維或五維的宇宙會是什么樣子？或者，我們是否已經生活在這樣一個空間里——我們三維的家園不過是高維空間中的一個切片，就像切三維立方體得到的是一個二維正方形一樣？

根據20世紀早期的恐怖小說作家H.P.洛夫克拉夫特的說法，這些高維空間確實存在，并且是各種邪惡生物的家園。在洛夫克拉夫特的神話體系中，這些存在中最可怕的一位名叫約格·索托斯。有趣的是，在少數約格·索托斯現身人類世界的場合中，它會以“一團五彩斑斕的球體聚集……其惡意暗示之強烈令人驚駭”的形象出現。

洛夫克拉夫特對數學頗感興趣，確實也運用了諸如雙曲幾何之類的思想來增添其故事的離奇感（正如托馬斯·赫爾在《數學視野》Math Horizons中所討論的那樣）。但他不可能知道，以這種方式來表現約格·索托斯是多么幸運的選擇。奇異球面確實是通往高維世界的鑰匙，而近年來我們對它們的理解也有了極大的提升。在過去50年里，一門稱為微分拓撲的學科發展起來，并揭示了這些高維空間究竟有多么奇異陌生。

高維空間與超球面

高維空間真的存在嗎？數學對這個問題給出了一個令人驚訝的明確回答。正如二維平面可以通過參照一對坐標軸、用坐標對（如 (5,6)）來描述一樣，三維空間可以用數的三元組（如 (5,6,3)）來描述。當然，我們可以沿著這個思路繼續想下去：對數學家而言，四維空間就是由實數的四元組構成的集合，例如 (5,6,3,2)。這一方法可以推廣到所有更高維度。當然，這并沒有回答物理學家的疑問：這些維度是否具有客觀的物理存在性。但至少在數學上，只要你相信數的存在，你就別無選擇，也只能相信四維空間的存在。

這倒是不錯，但這樣的空間該如何想象呢？約格·索托斯的巢穴到底長什么樣？這是一個更難回答的問題，因為我們的大腦并不具備在超過三維的空間中進行視覺感知的能力。不過，數學方法仍然可以幫上忙——首先，它允許我們將那些在更為熟悉的空間中確實觀察到的現象加以推廣。

一個重要的例子就是球面。如果你在地面上選一個點，然后標出所有距離該點恰好1厘米的點，所形成的形狀就是一個半徑為1厘米的圓。如果你在三維空間中做同樣的事情，我們就會得到一個普通的球體（或叫球面）。接下來就是令人興奮的部分了：因為完全相同的做法在四維空間中同樣有效，從而產生出第一個超球面。

這看起來像什么呢？當我們從近處觀察一個圓時，它的每一小段看起來都像是一條普通的一維直線（因此圓也被稱為1-球面）。圓與直線的區別在于，從遠處看時，整個圓會彎回來與自身相連，并且只有有限長度。同樣地，普通球面（即2-球面）的每一小塊看起來都像是二維平面中的一小塊。同樣地，這些小片以沒有邊界、只有有限面積的方式縫合在一起。到目前為止，這一切都在預料之中，但第一個超球面（即3-球面）的情況完全一樣：它的每個區域看起來都像是我們熟悉的三維空間。就我們所能觀測到的而言，我們或許現在就生活在這樣一個超球面之中。但與它低維的同類不同的是，整個超球面會以平坦的三維空間所不具備的方式彎折回自身，形成一個沒有邊界、只有有限體積的形狀（你可以在這里了解更多關于3-球面的內容）。當然，我們不會止步于此：下一個超球面（4-球面）的每個區域看起來都像四維空間，如此類推到每一個維度。

正如一個三維物體可以投影到一個二維平面上一樣，一個四維物體也可以投影到三維空間中。這幅圖像來自一個四維超球面的投影。圖中的曲線分別是該超球面的緯線（紅色）、經線（藍色）以及所謂的“超經線”（綠色）的投影。圖片來源：Claudio Rocchini

從幾何學到拓撲學再到微分拓撲學

與幾何學一樣，拓撲學也是數學中研究形狀的一個分支。其中要探討的一個基本問題是：兩個形狀在什么時候才是 真正相同的。這個問題并沒有唯一的答案，它取決于你最關注形狀的哪些方面。在基礎層面上，如果兩個形狀完全相同但位于不同的位置，那么在大多數情況下，我們會認為它們是“相同”的。

拓撲學對“相同”的定義比幾何學寬泛得多。在拓撲學中，如果一個形狀可以通過拉伸、扭轉變成另一個形狀，那么它們就被認為是“相同”的。因此，對拓撲學家來說，三角形、梯形、七邊形等等都是相同的：它們本質上都是圓。另一方面，數字“8”的形狀則完全不同，因為拓撲學意義上的“相同”不允許對形狀進行切割或粘貼。所以，一個“8”永遠無法被拉成一個圓的形狀，因為切割是被禁止的；同樣地，小寫字母“i”也無法變成圓，因為它的兩部分無法粘貼在一起。

如果你關心的是角度、長度或面積之類的東西，那么拓撲學的視角就不合適了。但在這一層面上，仍有許多重要的信息得以保留：一個著名的例子就是倫敦地鐵圖。在這張圖上，重要的不是隧道的長度或精確路線，而是車站的順序、以及不同地鐵線路之間的交叉方式。這些現象本質上是拓撲的，并且在拓撲變形下保持不變。這很方便，因為它讓倫敦人可以使用那張著名的簡化示意圖，而不需要一張包含所有地鐵線路精確走向的全城詳細地圖。

有些形狀，比如甜甜圈形狀的環面，上面有洞。這些洞是本質性的，無法通過拓撲意義上的扭轉或拉伸去除。那么，哪些形狀是沒有洞的呢？拓撲學中最著名的定理——龐加萊猜想——為這個問題提供了一個優雅的答案：它說，唯一沒有洞的形狀就是球面。從幾何學的角度來看，這并不成立，因為立方體、棱錐體、十二面體以及眾多其他形狀也都沒有洞。但當然，對于拓撲學家來說，所有這些令人興奮的形狀都不過是球面而已。

我們自2002年起就已經知道龐加萊猜想確實成立。亨利·龐加萊最初的問題是關于三維球面的，但事實上，同樣的結論也適用于所有更高的維度。事實是，從拓撲學的角度來看，球面在每個維度中都是極其簡單且獨特的對象。然而，在1956年，第一個證據出現了，表明只要稍微改變一下視角，這個故事就會變得復雜得多。當通過微分拓撲這一新學科來審視時，高維空間開始揭示它們一些非凡的秘密。

縫隙、扭結與棱角

普通拓撲學與微分拓撲學之間的差異看似非常微妙，但結果卻帶來了驚人的后果。這種差異取決于變形過程中所允許的拉伸與扭轉的精確類型。這對被視為“相同”的形狀產生了巨大影響。

區分在于兩類過程：一類是連續的，即不會產生跳躍或撕裂；另一類是光滑的。光滑性是一個比連續性強得多的條件。同樣的區分也適用于形狀本身：圓和球面是光滑形狀的例子，而正方形和立方體由于有尖銳的棱和角，因此不是光滑的。不過，所有這些形狀都是連續的，因為它們的邊緣沒有任何間隙或跳躍（不連續的線條則表現為分成兩個分離的部分）。甚至還有分形圖案，它們處處連續，卻處處不光滑。

同樣，我們可以區分真正光滑的形變與僅僅連續但可能非常劇烈、帶有突變的形變。然而，這種區分是否真的那么重要，其實并不顯然。有沒有可能兩個形狀（拓撲學家也稱之為流形）從拓撲學的角度看是相同的（用術語說就是同胚的），但從微分拓撲的角度看卻不同（不是微分同胚的）？換句話說，是否存在兩個形狀，它們之間可以不通過切割而互相變形，但這種變形無法光滑地完成，而必須依賴于劇烈跳躍？這當然很難想象，尤其是在一維、二維或三維空間中這種情況從未發生過。

這是一個被稱為朱利亞集的分形。它的輪廓是連續的，但處處不光滑。

奇異球面

1956年，約翰·米爾諾在研究七維流形時，發現了一個看起來非常奇怪的形狀。一方面，它沒有洞，因此似乎是一個球面；但另一方面，它彎曲的方式卻完全不像一個球面。起初，米爾諾以為他找到了龐加萊猜想在七維情形下的一個反例：一個沒有洞、但卻不是球面的形狀。但經過更仔細的檢查，他的新形狀確實可以變形為一個球面（正如龐加萊所堅持的那樣，它必須能夠做到這一點），但值得注意的是，這種變形無法光滑地完成。因此，盡管它在拓撲學上是球面，但在微分意義上卻不是。

米爾諾發現了第一個奇異球面，隨后又在其他維度中找到了更多。在每一種情況下，結果在拓撲學上都是球面，但在微分意義上則不是。換一種說法就是，奇異球面代表了在普通球面上賦予不同尋常的距離與曲率概念的方式。

在一維、二維和三維中，不存在奇異球面，只有普通的球面。這是因為在這些熟悉的空間中，拓撲學的視角與微分拓撲學的視角并無分歧。同樣地，在五維和六維中也只有普通的球面，但在七維中，突然出現了28個奇異球面。在更高的維度中，奇異球面的數量在1和任意大的數字之間來回變化：

即便在今天，仍然最為神秘的領域是四維空間。在四維空間中，尚未發現任何奇異球面。同時，也沒有人能夠證明它們不可能存在。斷言四維空間中不存在奇異球面的命題，被稱為光滑龐加萊猜想。如果有人讀到這里仍不確定，請讓我明確一點：光滑龐加萊猜想與龐加萊猜想不是同一回事！兩者的一個區別在于，龐加萊猜想已被證明，而光滑龐加萊猜想至今仍然懸而未決。

四維的怪異世界

那么，光滑龐加萊猜想是否成立呢？大多數數學家傾向于認為它可能是假的，并且四維奇異球面很可能存在。原因在于，四維空間已被證明是一個非常怪異的地方，各種令人驚訝的事情都會在這里發生。一個典型的例子是，1983年人們在四維空間中發現了一種全新的形狀類型——這種形狀是完全不可光滑化的。

如上所述，正方形因其尖銳的棱角而不是光滑的形狀，但它可以被光滑化。也就是說，它在拓撲上與一個光滑的形狀——即圓——是相同的。然而在1983年，西蒙·唐納森發現了一類新的四維流形，它們是不可光滑化的：它們充滿了本質性的扭結和尖銳的棱邊，以至于沒有任何辦法能把它們全部弄平滑。

不僅如此，存在奇異版本的并不僅僅是球面。現在我們知道，四維空間本身（即R^4）也有多種不同的類型。有通常的平坦空間，而與之并存的還有各種奇異的R^4。這些奇異空間每一個在拓撲上都與普通空間相同，但在微分意義上則不同。令人驚訝的是，正如克利福德·陶布斯在1987年所證明的那樣，實際上存在無窮多種這樣的另類現實。從這個角度來看，第四維確實比其他所有維度都要無限奇異：因為對于所有其他維度R^n都只有唯一的一種。也許，第四維終究是科幻作家想象中那些怪異世界在數學上的恰當舞臺。

上圖是一個涉及四維物體——十二重體（dodecaplex）的投影圖像。

最后照例放些跟張大少有關的圖書鏈接。

青山 不改，綠水長流，在下告退。

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