部分?jǐn)?shù)學(xué)對(duì)象的拓?fù)鋵W(xué)構(gòu)造法

女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

為理解和重構(gòu)幾何世界中諸多對(duì)象的形態(tài)，數(shù)學(xué)家們將研究焦點(diǎn)集中于奇異性和形變理論。本文旨在向不熟悉數(shù)學(xué)的藝術(shù)家們介紹這些常見(jiàn)的拓?fù)鋵W(xué)概念與工具，以期在藝術(shù)世界中催生嶄新的美學(xué)創(chuàng)造。

1 概述

1.1 引言

藝術(shù)家在創(chuàng)作中常運(yùn)用各類物體，其中多為現(xiàn)實(shí)物體的圖像。這些作品皆蘊(yùn)含某種程度的風(fēng)格化與表現(xiàn)形式，并在藝術(shù)家的思維中推動(dòng)著風(fēng)格化的進(jìn)程。有些藝術(shù)家創(chuàng)造了抽象性質(zhì)的形態(tài)，例如埃及浮雕、羅馬鑲嵌圖案或凱爾特繩結(jié)。本質(zhì)上，裝飾藝術(shù)中始終貫穿著兩條反復(fù)出現(xiàn)的線索：螺旋與鑲嵌圖案[1]。

藝術(shù)家們并未從他們的創(chuàng)作中發(fā)展出數(shù)學(xué)理論，除了在埃斯庫(kù)羅斯時(shí)代和文藝復(fù)興時(shí)期。然而，我們可以將他們視為這些理論的先驅(qū)。如今，許多藝術(shù)家熟悉出現(xiàn)在他們作品中的更廣泛的數(shù)學(xué)對(duì)象類別。通過(guò)發(fā)揮他們的想象力，運(yùn)用定義這些對(duì)象的工具，可以為豐富當(dāng)代及未來(lái)觀眾的數(shù)學(xué)對(duì)象庫(kù)及其作品內(nèi)容作出貢獻(xiàn)。

本次展示旨在向數(shù)學(xué)家與藝術(shù)家們常用的各種構(gòu)造原理作一個(gè)總體介紹。為避免技術(shù)性困難和復(fù)雜的數(shù)學(xué)理論，將僅聚焦于這些原理的基礎(chǔ)層面。

然而，我們期望部分藝術(shù)家能從以下內(nèi)容中獲取對(duì)其創(chuàng)作有益的啟發(fā)。我們特別希望為那些因各種原因未能充分利用計(jì)算環(huán)境與專業(yè)軟件的藝術(shù)工作者提供參考。薩爾瓦多·達(dá)利的繪畫(huà)遺產(chǎn)，正是藝術(shù)家運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)開(kāi)創(chuàng)無(wú)可爭(zhēng)議之獨(dú)創(chuàng)風(fēng)格的絕佳例證。而與立體主義表現(xiàn)相關(guān)的藝術(shù)作品——如充滿想象力的夏加爾之作——亦是人類創(chuàng)造力潛能的有力體現(xiàn)。

我們的論述將僅聚焦于拓?fù)鋵W(xué)視角，因?yàn)檫@種偏向定性研究的選擇本身存在精確性不足的局限。代數(shù)與解析方法雖能規(guī)避此難點(diǎn)，但需要相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)與訓(xùn)練基礎(chǔ)。《美國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)通報(bào)》火星號(hào)特刊[2]近期發(fā)表的專題文章，已對(duì)這些實(shí)用技術(shù)進(jìn)行了進(jìn)階導(dǎo)論。需要指出的是，這些結(jié)構(gòu)與量化技術(shù)仍需進(jìn)一步發(fā)展，方能充分發(fā)揮定性方法所提示的形狀潛能。數(shù)學(xué)家可通過(guò)量化手段對(duì)物體構(gòu)造中涉及的形變進(jìn)行數(shù)值控制，從而豐富這種定性研究方法。至于定性研究方面，喬治·弗朗西斯在《拓?fù)鋱D冊(cè)》[3]中研究的特定數(shù)學(xué)對(duì)象，或可為進(jìn)階讀者提供有益參考。

我們默認(rèn)所有讀者都已理解空間的（拓?fù)洌┚S度1這一概念。鑒于本文面向藝術(shù)家而非數(shù)學(xué)家，其余多數(shù)術(shù)語(yǔ)將不采用更廣泛、更系統(tǒng)的（數(shù)學(xué)）精確定義。這樣的取舍旨在使論述更易于直觀理解。

廣義而言，陶藝家、雕塑家以及更精微層面上的畫(huà)家將會(huì)發(fā)現(xiàn)——他們與從事幾何研究的數(shù)學(xué)家們共享著相似的創(chuàng)作過(guò)程，其中形變與組合是最常見(jiàn)的操作手法。

就形變而言，我們將其劃分為兩種對(duì)立類型：延展與收縮。而這兩類形變又各自可細(xì)分為兩種對(duì)立模式：奇異型與正則型。

1.2 形態(tài)作為數(shù)學(xué)對(duì)象中受限制的類別

一般而言，數(shù)學(xué)對(duì)象可按如下方式分類：一類是能夠被可視化的對(duì)象，另一類是過(guò)于抽象、過(guò)于廣義而無(wú)法先驗(yàn)地進(jìn)行物理呈現(xiàn)的對(duì)象，例如范疇或函子。

接下來(lái)，我們將僅聚焦于第一類數(shù)學(xué)對(duì)象。

定義：此類數(shù)學(xué)對(duì)象將統(tǒng)稱為"形態(tài)"，這一稱謂更為簡(jiǎn)潔且具概括性。

數(shù)學(xué)藝術(shù)家通常處理的是浸入或嵌入的1維、2維或3維形態(tài)。一維形態(tài)主要包括三角形等多邊形、拋物線等經(jīng)典曲線、扭結(jié)或分形線條。二維形態(tài)則主要衍生自多面體、鑲嵌曲面、極小曲面、拓?fù)淝婧痛鷶?shù)曲面。它們常以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義和表現(xiàn)形式被運(yùn)用，也常以適當(dāng)?shù)男巫兎绞匠尸F(xiàn)。

基于數(shù)學(xué)對(duì)象的普遍定義，藝術(shù)家創(chuàng)造出屬于自己的形態(tài)。在繪制這些形態(tài)時(shí)，他們首先使用鉛筆或鋼筆，或更直接地運(yùn)用數(shù)字符號(hào)進(jìn)行創(chuàng)作。

數(shù)字可分為兩類：靜態(tài)數(shù)字與動(dòng)態(tài)數(shù)字。

– 靜態(tài)n維數(shù)字是指由n個(gè)常規(guī)實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合（x?, ..., x?）。從動(dòng)態(tài)視角來(lái)看，它實(shí)際上代表一種平移變換。

– 簡(jiǎn)單動(dòng)態(tài)n維數(shù)字則具有更強(qiáng)的普適性。它表示n維歐幾里得空間中的縮放與旋轉(zhuǎn)變換的結(jié)合。當(dāng)n=2時(shí)，即為通常所稱的楚凱數(shù)（亦稱復(fù)數(shù)或混合數(shù)）。利用這類適用于形變控制（特別是共形與擬共形形變）的簡(jiǎn)單動(dòng)態(tài)n維數(shù)字，可進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)幾何運(yùn)算。

我們將首先面向選擇使用鉛筆與畫(huà)筆的創(chuàng)作者展開(kāi)論述。

1.3 形態(tài)的特征要素

當(dāng)我們觀察一個(gè)物體時(shí)，視線會(huì)沿著一條軌跡移動(dòng)——這條軌跡貫穿該物體某個(gè)關(guān)鍵部位至另一個(gè)關(guān)鍵部位。這條路徑被定義為"感知骨架"，而那些關(guān)鍵部位則被稱為"奇異點(diǎn)"。

換言之，形態(tài)最重要的特征之一在于其奇點(diǎn)集合：既包括內(nèi)在奇點(diǎn)，也涵蓋觀察者視角所見(jiàn)的奇點(diǎn)。因此，物體奇點(diǎn)的任何變化都具有重要意義。

值得注意的是，奇點(diǎn)的出現(xiàn)、消失或改變通常會(huì)對(duì)物體的表現(xiàn)形式產(chǎn)生重要影響，因?yàn)檫@可能導(dǎo)致局部乃至整體曲率發(fā)生劇烈變化。

曲率同樣是形態(tài)的基本特征要素。曲率的顯著變化往往發(fā)生在奇異部位。

這些奇異部位在藝術(shù)作品的構(gòu)建中扮演著重要角色，既具有強(qiáng)烈的形式意義，又承載著深層的語(yǔ)義內(nèi)涵。玫瑰的尖刺、吸血鬼的獠牙、劍的鋒刃、刀的利刃——這些典型的奇異形態(tài)常常喚起恐懼或暴力的聯(lián)想。它們象征著在危險(xiǎn)世界中保護(hù)自我完整性、進(jìn)行防御與攻擊的符號(hào)工具。由于被賦予保護(hù)自我的根本職能，這些形態(tài)在我們的意識(shí)中占據(jù)著曖昧的地位。銳角在某種程度上具有攻擊性。布滿直線與尖角的素描和繪畫(huà)往往傳遞著僵硬與冰冷的意味。它們與骨骼輪廓存在某種共通性，并為其關(guān)聯(lián)對(duì)象定義出一種結(jié)構(gòu)性的表現(xiàn)形式。

定義：在標(biāo)準(zhǔn)維度為n的物體中，奇異部位是指維度k嚴(yán)格小于n的子對(duì)象（這些子對(duì)象可以是連通的，也可以是非連通的）。

此類奇異部位的特征在于其具有物體的某種局部極值屬性，例如頭頂?shù)淖罡唿c(diǎn)或鼻尖（見(jiàn)圖1）。

圖1 加拿大因紐特藝術(shù)

根據(jù)我們的定義，在一維物體曲線中，奇異部位只能是點(diǎn)；而在二維物體的曲面中，奇異部位可以包含點(diǎn)和/或曲線段。

奇異部位的鄰近區(qū)域自然被稱為正則區(qū)域。那么，正則區(qū)域與奇異區(qū)域之間的本質(zhì)區(qū)別究竟何在？

讓我們用手指撫過(guò)雕塑表面，先從頭部左側(cè)開(kāi)始向右移動(dòng)：可以觀察到手指向上移動(dòng)直至到達(dá)頭頂最高點(diǎn)，隨后轉(zhuǎn)為下降。因此當(dāng)手指觸及頭頂時(shí)，其運(yùn)動(dòng)軌跡發(fā)生劇烈變化，從而形成奇點(diǎn)：原本向上的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)橄蛳?。若我們繪制手指軌跡的切線，當(dāng)手指位于左側(cè)時(shí)切線斜率為"向上"（正值），位于右側(cè)時(shí)則為"向下"（負(fù)值）（圖2）。

圖2 上行與下行

正是這種普遍現(xiàn)象被用來(lái)界定奇異部位的特征：在該部位的臨近區(qū)域內(nèi)，切線或切面的方向發(fā)生"劇烈"、"突變"或"驟然"的改變。

在奇異點(diǎn)處，屬于該點(diǎn)外側(cè)邊緣的切線斜率，其符號(hào)或數(shù)值會(huì)出現(xiàn)不連續(xù)性的突變。

因此，如下文所述，大多數(shù)這類奇異部位可以通過(guò)對(duì)物體內(nèi)部修改和形變集合的擠壓過(guò)程來(lái)獲得。

2 內(nèi)部形變

2.1 擠壓

定義：我們將擠壓（記作Pn→k）稱為一種平滑形變過(guò)程，它將維度n的形態(tài)正則區(qū)域轉(zhuǎn)變?yōu)榫S度k（k

實(shí)際上，通過(guò)對(duì)物體任意部位的周邊切線斜率符號(hào)或數(shù)值制造不連續(xù)性，即可實(shí)現(xiàn)該部位的擠壓過(guò)程。

在曲線上，擠壓發(fā)生在點(diǎn)狀位置；而在曲面上，擠壓既可發(fā)生在點(diǎn)狀位置，也可沿曲線發(fā)生——這些點(diǎn)與線從而獲得奇異部位的特征。

例1：幾何圖示（圖3與圖4）

此類奇點(diǎn)將被稱為內(nèi)陷型奇點(diǎn)或氣泡狀奇點(diǎn)。

此類奇點(diǎn)將被稱為外凸型奇點(diǎn)或反氣泡狀奇點(diǎn)。

圖3 氣泡狀與反氣泡狀奇點(diǎn)

該點(diǎn)并非奇點(diǎn)：其周邊切線的斜率符號(hào)未發(fā)生改變，且這些斜率的數(shù)值也無(wú)突變。

圓的"北極點(diǎn)"在此處是一個(gè)奇點(diǎn)：其周邊點(diǎn)切線斜率的符號(hào)發(fā)生了變化。

該點(diǎn)為奇點(diǎn)：其切線斜率符號(hào)雖未改變，但數(shù)值卻發(fā)生了劇變。

該點(diǎn)為奇點(diǎn)：其斜率符號(hào)與數(shù)值均發(fā)生"劇烈"變化

圖4 正則點(diǎn)與奇點(diǎn)

例2（圖5）：運(yùn)用外凸型奇點(diǎn)以及其他拓?fù)鋵W(xué)工具，藝術(shù)家能否創(chuàng)造出如下丁香花形態(tài)？（圖6）

圖5 奇點(diǎn)生成與演變的示例

圖6 蘭花：美麗兜蘭?；ǘ渥笥覂蓚?cè)各存在一個(gè)外凸型奇點(diǎn)。

例3：另一個(gè)幾何對(duì)象——八字環(huán)。

取一段管狀空心圓柱體?？梢匝刂粭l母線以凹陷或外凸的方式進(jìn)行擠壓。原始母線由此轉(zhuǎn)變?yōu)槠娈惥€。需注意該操作具有重要的可逆特性（圖7）。

標(biāo)準(zhǔn)圓柱體

外凸型圓柱體

內(nèi)陷型圓柱體

圖7 曲面上的奇異線

觀察內(nèi)陷型圓柱體。可以進(jìn)行第二次外凸型擠壓，使得兩條奇異母線重合。甚至可以將局部結(jié)果進(jìn)一步擠壓成奇異點(diǎn)并進(jìn)行著色，從而得到下圖所示的“八字環(huán)”（圖8）：

圖8 法伯-豪瑟八字環(huán)

其他拓?fù)浼夹g(shù)也能構(gòu)建此圖形。

在結(jié)束常規(guī)奇點(diǎn)概念的討論前，讓我們觀察另一種現(xiàn)象。假設(shè)某段曲線開(kāi)始以越來(lái)越強(qiáng)的幅度振動(dòng)，它可能斷裂成極小的片段，這些片段不斷縮小直至最終離散為點(diǎn)集，形成連續(xù)、擬連續(xù)甚至離散的集合。我們將這種現(xiàn)象稱為分奇異化，其產(chǎn)生的結(jié)果稱為分形奇點(diǎn)（圖9與圖10）。

圖9 分形奇點(diǎn)

圖10 山脈奇點(diǎn)

2.2 膨脹

膨脹可分為兩類：奇異膨脹與正則膨脹。

奇異膨脹最具研究?jī)r(jià)值：它與形態(tài)蛻變及新異形體的創(chuàng)造密切相關(guān)。

正則膨脹在藝術(shù)中常用于激發(fā)觀者情感并強(qiáng)化教化寓意：埃爾·格列柯（在其大多數(shù)作品中）通過(guò)拉伸人物特征來(lái)表達(dá)靈魂對(duì)上帝的渴慕；奧諾雷·杜米埃的諷刺漫畫(huà)與希羅尼穆斯·博斯的怪誕人像，亦呈現(xiàn)出兩種不同的膨脹表現(xiàn)手法。

2.2.1 奇異膨脹

擠壓過(guò)程存在一個(gè)逆向操作，我們稱之為奇異膨脹。此處"奇異膨脹"的表述特指對(duì)奇點(diǎn)進(jìn)行膨脹操作。

定義：奇異膨脹（記作Ik→p）是指將k維部位轉(zhuǎn)化為p維部位（k

若該過(guò)程驟然發(fā)生，此處可稱之為爆破。

膨脹部位與其奇異生成部位通過(guò)若干特性相關(guān)聯(lián)，其中一個(gè)基本而顯著的特性是：通過(guò)對(duì)膨脹部位進(jìn)行連續(xù)形變，且保持各階段形變部位的拓?fù)涮匦圆蛔?，即可還原出奇異生成部位——這些拓?fù)涮匦詫?duì)奇異部位具有特殊意義。

注記：擠壓過(guò)程將維度n的某個(gè)部分壓縮為更低維度k的部分。通常可能存在多個(gè)可接受的更低維度部分，即使我們將k限制為n-1時(shí)也是如此。當(dāng)然，附加約束條件可以減少可能性的數(shù)量。

關(guān)于奇異膨脹也可作類似論斷：例如，一個(gè)點(diǎn)可膨脹為線段、圓、球體、二維圓盤(pán)、三維球體等。膨脹對(duì)象的一般操作過(guò)程自然是逐步推進(jìn)，逐維提升（圖11）。

圖11 單點(diǎn)向不同尺寸圓形的奇異膨脹過(guò)程

例4：在這兩個(gè)標(biāo)記為I0→1的示例中，一個(gè)奇點(diǎn)爆破膨脹成圓形或與圓具有相同拓?fù)湫再|(zhì)的形態(tài)（圖12與圖13）。

圖12 奇點(diǎn)膨脹為圓形

圖13 奇點(diǎn)膨脹為圓形

例5：需注意在前述兩種情況中，奇點(diǎn)甚至可爆破膨脹為二維的圓盤(pán)，而該圓盤(pán)又可呈現(xiàn)平坦、凹陷、外凸或混合形態(tài)（圖14）。

奇異膨脹形成外凸圓盤(pán)，產(chǎn)生穹頂結(jié)構(gòu)

奇異膨脹形成凹陷圓盤(pán)，產(chǎn)生坑狀結(jié)構(gòu)

圖14 示例4中奇異點(diǎn)或圓形向二維圓盤(pán)的若干奇異膨脹形態(tài)

值得注意的是，當(dāng)二維圓盤(pán)非平坦時(shí)，可變形為單側(cè)開(kāi)口的管狀結(jié)構(gòu)，其軸線可為任意非閉合曲線。這些曲線的分類可借助紐結(jié)理論實(shí)現(xiàn)。

藝術(shù)家會(huì)樂(lè)于描繪這樣的管狀結(jié)構(gòu)——它從曲面及其生成的圓形區(qū)域蜿蜒而出，優(yōu)雅地盤(pán)繞在表面。從這種管體中，時(shí)而會(huì)生長(zhǎng)出或消隱著奇異的犄角，投射出幻妙的光束，照亮意想不到的舞蹈編排。

這種管體可能僅呈現(xiàn)波動(dòng)形態(tài)，當(dāng)觀者視線遠(yuǎn)離初始奇點(diǎn)時(shí)，波動(dòng)便逐漸消失（圖15）：

圖15 圖14左側(cè)的穹頂結(jié)構(gòu)可變形為這些拓?fù)涞葍r(jià)的管狀形態(tài)

例6：在前例中，奇點(diǎn)爆破膨脹為單個(gè)二維圓盤(pán)。但我們也可考慮該點(diǎn)爆破膨脹為多個(gè)具有相同圓形邊界的圓盤(pán)的可能性。此類情形存在若干特例。我們將選取最簡(jiǎn)單的情況——當(dāng)數(shù)量為二時(shí)，一個(gè)圓盤(pán)呈凹陷狀，另一個(gè)呈外凸?fàn)睿河纱宋覀兊玫揭粋€(gè)二維球面S2，因?yàn)槎S球面可通過(guò)粘合兩個(gè)圓盤(pán)的邊界圓周構(gòu)建而成。

實(shí)際上，奇點(diǎn)可爆破膨脹為二維球面，反之，該球面也能連續(xù)收縮為一點(diǎn)。需再次注意，從拓?fù)湟暯强?，該球面可被任何具有相同拓?fù)湫再|(zhì)的形態(tài)所替代（圖16）。

圖16 奇異點(diǎn)的二重奇異膨脹：左側(cè)為兩個(gè)凹陷型膨脹，右側(cè)為一凹一凸型膨脹

若出現(xiàn)連續(xù)無(wú)限個(gè)此類雙重膨脹的特殊情況，這些球體可能完全填滿一個(gè)碗狀區(qū)域，此處用符號(hào)D3表示。

例7：以一個(gè)橙子作為此類碗狀區(qū)域的物理模型，其邊界即二維球面S2。我們可以將該邊界視作碗狀區(qū)域的奇異部分。

膨脹二維球面主要有兩種方式：向內(nèi)朝向碗狀區(qū)域的中心，或向外擴(kuò)張。此類奇異膨脹可以是部分的，也可以是完整的。二維球面的完整向內(nèi)膨脹形成三維球體D3。完整向外膨脹則填滿常規(guī)三維空間，留下一個(gè)可由前述三維球體填補(bǔ)的空洞。部分膨脹產(chǎn)生的物體形似內(nèi)部存在空腔的三維球體（圖17）。

圖17 常規(guī)二維球面邊界的幾種不同膨脹形式

這種部分膨脹也被稱為加厚。我們更傾向于稱其為標(biāo)準(zhǔn)加厚。它通常被描述為笛卡爾積：設(shè)B為邊界，I為區(qū)間，標(biāo)準(zhǔn)加厚可表述為乘積B×I。

例如，若T是一個(gè)空心圓柱體或無(wú)厚度的管體，T×I將表示局部厚度為I的管體；若D3是以半徑為1的常規(guī)球面為邊界的常規(guī)三維球體，則D3的標(biāo)準(zhǔn)加厚將是半徑為1加上區(qū)間I長(zhǎng)度的三維球體。

更廣義地說(shuō)，設(shè)C為任意其他物體：笛卡爾積B×C可理解為以C為加厚方式對(duì)B進(jìn)行的加厚操作。

2.2.2 正則膨脹與收縮

這類變換可以是全局的，也可以是局部的。視錯(cuò)覺(jué)和變形畫(huà)通過(guò)長(zhǎng)度與扭曲實(shí)現(xiàn)局部尺寸的增減。透視理論已將部分不改變形態(tài)拓?fù)涮匦缘某叽缱儞Q規(guī)范化。膨脹是視覺(jué)傳達(dá)中表達(dá)力量、意志與希望的重要元素。

折疊常被用作開(kāi)展變換過(guò)程的第一步。

2.3 折疊

定義：折疊是指作用于物體某一部分，改變?cè)摬糠指鼽c(diǎn)處的局部曲率，并可能改變?cè)摬糠殖叽绲牟僮鳌?/p>

折疊可分為兩類：連續(xù)折疊（如折紙藝術(shù)中的技法）和奇異折疊。當(dāng)沿區(qū)域內(nèi)任意橫截線的切線或切面的垂直方向連續(xù)變化時(shí)，該區(qū)域的折疊是連續(xù)的；若方向變化在某處出現(xiàn)不連續(xù)性，則該折疊是局部奇異的（圖18）。

圖18 兩類折疊的簡(jiǎn)單幾何示意圖

例8：在二維平面上作畫(huà)時(shí)，線條的折疊不僅可以改變其長(zhǎng)度，還可結(jié)合旋轉(zhuǎn)。在三維空間中，線條的折疊需運(yùn)用長(zhǎng)度變化與扭轉(zhuǎn)——即在兩個(gè)非平行平面內(nèi)同時(shí)進(jìn)行的旋轉(zhuǎn)組合。需注意扭轉(zhuǎn)在語(yǔ)義與藝術(shù)表現(xiàn)上的重要性，它同時(shí)傳達(dá)著力量與運(yùn)動(dòng)，正如米開(kāi)朗基羅與埃爾·格列柯創(chuàng)作的《拉奧孔》所展現(xiàn)的那樣。

喬治·弗朗西斯[3]作品中幾何扭轉(zhuǎn)的示例如下（圖19）：

圖19 喬治·弗朗西斯繪制的三種紐結(jié)

2.4 切割與展開(kāi)

定義：切割是沿維度n（>k）物體的任意k維部分進(jìn)行的分離、斷開(kāi)操作。

任何曲面都可在其任意點(diǎn)處切口，并沿任意曲線切割。這將產(chǎn)生兩條微分同胚的曲線，稱為切割唇。它們屬于曲面的邊界，因而具有奇異部位的特性。

沿曲線切割曲面后，可能出現(xiàn)以下四種情況之一（圖20）：

孔洞形成于拉伸曲面后仍保持連通的狀態(tài)

2 個(gè)不連通部分

連通的狀態(tài)

2 個(gè)不連通部分，且其一存在孔洞

圖20 切割產(chǎn)生的四種不同效果

此類切割可能將曲面分離成不連通的碎片。當(dāng)曲線是曲面上一個(gè)或多個(gè)圓盤(pán)的邊界時(shí)，這種情況就會(huì)發(fā)生（案例2和案例4中，曲面本身具有邊界曲線，而切割曲線與該邊界相交于兩點(diǎn)，從而與邊界共同形成至少一個(gè)作為二維圓盤(pán)邊界的環(huán)）。

3 外部形變

切割過(guò)程可能導(dǎo)致物體分離成多個(gè)部分，這構(gòu)成了內(nèi)部形變與外部形變之間的過(guò)渡。如果通過(guò)切割實(shí)現(xiàn)了分離，那么反過(guò)來(lái)，將兩個(gè)原始分離部分重新連接起來(lái)的逆操作也應(yīng)當(dāng)是可行的。我們所需要的只是一劑優(yōu)質(zhì)的"粘合劑"。

粘合過(guò)程（亦稱附著過(guò)程）在此被視為從外部對(duì)粘合對(duì)象施加的改變。

此類附著操作沿附著域構(gòu)建：附著域可以是點(diǎn)、線段或曲面片。附加過(guò)程的前提是兩個(gè)將被粘合的對(duì)象擁有相似的區(qū)域，該區(qū)域?qū)⒆鳛楦街蚴褂谩?/p>

需注意，附著過(guò)程也可在內(nèi)部進(jìn)行。

一個(gè)簡(jiǎn)單的例子是用矩形制作籃子的過(guò)程，涉及切割、折疊與粘合。制作這種籃子有多種方法，以下為一例（圖21）：

圖21 唐老鴨造型

當(dāng)兩個(gè)附著域?qū)儆谕晃矬w時(shí)，該附著過(guò)程在此稱為等同化。

莫比烏斯帶是等同化過(guò)程的經(jīng)典產(chǎn)物。取一條矩形紙帶，將兩條短邊設(shè)定為相反方向，將紙帶扭轉(zhuǎn)奇數(shù)次，此時(shí)兩條短邊方向趨于一致，即可進(jìn)行粘合（等同化）（圖22）。

圖22 標(biāo)準(zhǔn)莫比烏斯帶

4 綜合

所有物體均可通過(guò)前文所述的操作構(gòu)建：擠壓、膨脹、折疊、切割、附著。

以下是一些可通過(guò)此類方式構(gòu)建的經(jīng)典數(shù)學(xué)對(duì)象。這些圖像由帕特里斯·耶內(nèi)爾提供，使用"surfer"軟件生成（圖23）。

圖23 耶內(nèi)爾使用surfer軟件創(chuàng)作的圖形游戲

這些對(duì)象僅通過(guò)求解一個(gè)多項(xiàng)式方程（我們將其簡(jiǎn)寫(xiě)為 p(x^m, y^n, z^p) = 0）而創(chuàng)建。盡管對(duì)于單一多項(xiàng)式方程而言，奇點(diǎn)的不同類型是有限的，但由于整數(shù) m、n 和 p 的取值本身是無(wú)限的，因此可以預(yù)期形狀的數(shù)量是無(wú)窮的：人類的想象力無(wú)法先驗(yàn)地涵蓋這些數(shù)學(xué)形狀之間存在的所有變化與微妙差異，更何況我們?cè)诖藘H考慮一維多項(xiàng)式，而我們實(shí)際上可以考慮由多維空間中各類方程定義的物體在二維或三維空間上的投影。除極少數(shù)（如球體或圓柱體）外，目前這些數(shù)學(xué)對(duì)象中的大多數(shù)對(duì)我們而言并無(wú)特定意義：它們是陌生的，被視為人造的；由于缺乏意義，它們顯得冰冷而無(wú)生氣。但我們無(wú)法預(yù)知未來(lái)。人類在不斷演進(jìn)。主觀詮釋或許正讓位于更有效的理性思考。這些對(duì)象可能因其通過(guò)智力訓(xùn)練與我們的理性對(duì)話而獲得更大關(guān)注——這種訓(xùn)練教會(huì)我們?nèi)绾斡^察它們，如何理解它們的屬性與特質(zhì)。盡管通過(guò)增加內(nèi)部對(duì)稱性它們可能顯得更豐富，但每個(gè)單獨(dú)呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)對(duì)象都帶有某種程度的憂郁感，這部分源于它們的孤立性。

許多藝術(shù)作品并非僅呈現(xiàn)單一對(duì)象。當(dāng)然也存在例外：在這類情況下，對(duì)象本身具備足夠的表達(dá)力與內(nèi)在豐富性，有時(shí)甚至呈現(xiàn)為多個(gè)對(duì)象的組合體。雕塑藝術(shù)便是典型例證——材料的質(zhì)感在其中扮演著重要角色（圖24）。

圖24 澤維爾·邦內(nèi)-埃馬爾的兩件雕塑作品

藝術(shù)家更傾向于創(chuàng)作組合性作品。若干標(biāo)準(zhǔn)元素在這些創(chuàng)作中發(fā)揮著重要作用，例如光線、微妙的變形對(duì)稱、豐盈感（主要通過(guò)重復(fù)實(shí)現(xiàn)），以及透視（從經(jīng)典透視到反向或正面透視，如夏加爾諸多作品所示）（圖25）。所有這些元素都與物理學(xué)的基本原理和事實(shí)相關(guān)聯(lián)。

圖25 自然界中的重復(fù)性

或許孩童、青年與長(zhǎng)者（"赫拉克利特曾言兒童的游戲即成人的思想"）會(huì)樂(lè)于把玩我們先前探討的這類數(shù)學(xué)對(duì)象。他們將能構(gòu)建飾帶與獨(dú)立式物件，用新穎的創(chuàng)作充盈空間，裁切全新形態(tài)，培育并握持別樣的花朵，通過(guò)在新組合中嵌入多元物體與材質(zhì)，實(shí)現(xiàn)"夏加爾式"的全新聯(lián)結(jié)。如此，數(shù)學(xué)將一如既往地服務(wù)于藝術(shù)。

參考文獻(xiàn)

1. Bruter, C.P.: Deux Universaux de la De′coration http://math-art.eu/pdfs/ConferenceSaverne.pdf (2010). Accessed 10 April 2010

2. Faber, E., Hauser, H.: Today’s menu: Geometry and resolution of singular algebraic surfaces. Bull. Am. Math. Soc. 47(3), 373–417 (2010)

3. Francis, G.K.: A Topological Picturebook. Springer, New York (1987)

4 Claude Paul Bruter, An Introduction to the Construction of Some Mathematical Objects

最后照例放些跟張大少有關(guān)的圖書(shū)鏈接。

青山不改，綠水長(zhǎng)流，在下告退。

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