AI推翻87年數(shù)學(xué)難題？困擾數(shù)學(xué)界雅可比猜想可能被三行公式證偽了

懸而未決 87 年的經(jīng)典數(shù)學(xué)難題——雅可比猜想（Jacobian Conjecture），可能被一個(gè)只有三行公式的反例推翻了。

7 月 20 日，數(shù)學(xué)家、Anthropic 研究人員 Levent Alp?ge 在社交平臺(tái) X 公布了一個(gè)三元多項(xiàng)式映射。它滿(mǎn)足了雅可比猜想要求的前提條件，卻違背了猜想的結(jié)論，因此構(gòu)成了一個(gè)可能推翻整個(gè)猜想的反例。

更引人關(guān)注的是，Alp?ge 在帖子中將這一反例歸功于 Anthropic 最新發(fā)布的 AI 模型 Claude Fable 5。他還表示，是朋友 Akhil 首先向模型提出這一問(wèn)題，而 Fable 5 則在他們觀看世界杯決賽期間持續(xù)搜索，最終找到了這一反例構(gòu)造。

（來(lái)源：X）

消息發(fā)布后，數(shù)學(xué)界迅速展開(kāi)核驗(yàn)。斯坦福大學(xué)數(shù)學(xué)系助理教授 Jared Duker Lichtman 轉(zhuǎn)發(fā)稱(chēng)這一結(jié)果“相當(dāng)驚人”；MathOverflow 很快收錄了相關(guān)討論，不少研究者還利用 Wolfram Alpha、SymPy 等工具進(jìn)行了獨(dú)立計(jì)算。目前，最關(guān)鍵的兩項(xiàng)驗(yàn)證：雅可比行列式是否恒為 ?2，以及三個(gè)不同點(diǎn)是否確實(shí)映射到同一點(diǎn)，均已通過(guò)公開(kāi)計(jì)算驗(yàn)證。

如果后續(xù)沒(méi)有發(fā)現(xiàn)新的漏洞，這將意味著：1939 年提出的雅可比猜想在三維情形下不成立，并可進(jìn)一步推出其在所有三維及以上維數(shù)下均不成立；而二維情形仍然保持開(kāi)放。

被稱(chēng)為“民科墳場(chǎng)”的雅可比猜想

雅可比猜想由德國(guó)數(shù)學(xué)家?jiàn)W特－海因里?！P勒（Ott-Heinrich Keller）于1939 年提出，討論的是一個(gè)看似簡(jiǎn)單、卻困擾數(shù)學(xué)界近九十年的問(wèn)題：什么時(shí)候，一個(gè)多項(xiàng)式映射一定能夠"倒推"回原來(lái)的函數(shù)？

圖｜海因里?！P勒（左）（來(lái)源：Wikipedia）

理解這個(gè)猜想，可以先想象一張橡膠膜。如果局部看，每一小塊都沒(méi)有被撕裂或壓扁，人們很自然會(huì)問(wèn)：整張膜會(huì)不會(huì)在別的地方折疊起來(lái)，讓兩個(gè)不同的位置重合？

數(shù)學(xué)里的情況與此類(lèi)似。對(duì)于多變量多項(xiàng)式映射，如果它在每一個(gè)局部都滿(mǎn)足一種“沒(méi)有折疊”的條件，也就是雅可比行列式始終等于同一個(gè)非零常數(shù)。那么它是否一定在整體上也是一一對(duì)應(yīng)的？它的逆映射又是否仍然是一個(gè)多項(xiàng)式？

這就是雅可比猜想。它的陳述只有短短幾句話(huà)，卻異常難以證明。不少數(shù)學(xué)研究者戲稱(chēng)它為“crank graveyard”——“民科墳場(chǎng)”。許多人被它吸引，最終卻陷入漫長(zhǎng)而徒勞的推導(dǎo)之中。

著名華人數(shù)學(xué)家張益唐，就曾把整個(gè)博士階段投入到這個(gè)問(wèn)題。1991 年，他在普渡大學(xué)完成博士論文《雅可比猜想與域擴(kuò)張的次數(shù)》，導(dǎo)師莫宗堅(jiān)是國(guó)際上研究雅可比猜想最重要的學(xué)者之一。張益唐的工作推進(jìn)了這一研究方向，卻并沒(méi)有解決猜想本身。后來(lái)，他離開(kāi)代數(shù)幾何，轉(zhuǎn)向解析數(shù)論，并最終因證明有界素?cái)?shù)間隔而聞名世界；雅可比猜想，則依然留在開(kāi)放問(wèn)題名單中。

1998 年，菲爾茲獎(jiǎng)得主 Stephen Smale 將其列入著名的《下一個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)問(wèn)題》（Mathematical Problems for the Next Century）第 16 題，認(rèn)為它的解決將對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生重要影響。

過(guò)去近 90 年里，一維情形早已證明成立，二維至今仍未解決，而三維及更高維也始終沒(méi)有答案。由于這一猜想要求所有維數(shù)都成立，因此，只要在任意一個(gè)維數(shù)找到反例，整個(gè)猜想就會(huì)被推翻。

三個(gè)點(diǎn)，擊穿一個(gè)猜想

而此次，Alp?ge 公布的是一個(gè)從三維復(fù)空間到三維復(fù)空間的多項(xiàng)式映射：

直接計(jì)算可知，這個(gè)映射的雅可比行列式恒等于 ?2。由于 ?2 是一個(gè)非零常數(shù)，因此它完全滿(mǎn)足雅可比猜想的前提條件。

然而，當(dāng)把三個(gè)不同的點(diǎn)

分別代入這一映射時(shí)，得到的結(jié)果卻都是同一個(gè)點(diǎn)：

這足以構(gòu)成反例。原因很簡(jiǎn)單：如果多個(gè)不同的輸入對(duì)應(yīng)同一個(gè)輸出，那么映射就不是單射。換句話(huà)說(shuō)，當(dāng)已知輸出時(shí)，無(wú)法唯一確定原來(lái)的輸入，因此它不可能擁有逆映射，更不可能擁有由多項(xiàng)式組成的逆映射。這與雅可比猜想的結(jié)論正面沖突。

這個(gè)反例還具有極強(qiáng)的可核查性。許多重大數(shù)學(xué)成果往往需要專(zhuān)家花費(fèi)數(shù)月甚至數(shù)年時(shí)間，逐頁(yè)檢查上百頁(yè)證明；而這個(gè)結(jié)果的核心，僅涉及兩項(xiàng)有限的代數(shù)計(jì)算：一是驗(yàn)證雅可比行列式恒等于非零常數(shù)，二是驗(yàn)證三個(gè)不同的點(diǎn)確實(shí)映射到了同一個(gè)點(diǎn)。

截至目前，這兩項(xiàng)計(jì)算均已得到公開(kāi)復(fù)核。研究者 Zihan Zhang 給出了獨(dú)立的 SymPy 驗(yàn)證腳本，并指出，只需將其中一個(gè)輸出坐標(biāo)乘以 ?1/2，就可以把雅可比行列式規(guī)范化為猜想中更常采用的常數(shù) 1，而這不會(huì)改變反例的本質(zhì)。

如果這一反例最終成立，它不僅推翻三維情形，也意味著所有更高維情形都不再成立。因?yàn)橹恍柙谌S反例后增加若干保持不變的坐標(biāo)，就可以直接構(gòu)造出任意更高維的反例。不過(guò)，二維雅可比猜想仍然是一個(gè)獨(dú)立的開(kāi)放問(wèn)題

值得補(bǔ)充的是，Levent Alp?ge 并不是從 AI 領(lǐng)域半路進(jìn)入數(shù)學(xué)，而是一位長(zhǎng)期從事數(shù)論與算術(shù)幾何研究的職業(yè)數(shù)學(xué)家。近年來(lái)，他才加入 Anthropic，從事人工智能研究。

他本科畢業(yè)于哈佛大學(xué)，主修數(shù)學(xué)，并獲得物理學(xué)碩士學(xué)位；隨后在劍橋大學(xué)完成數(shù)學(xué)高級(jí)研究課程。2020 年，他在普林斯頓大學(xué)獲得數(shù)學(xué)博士學(xué)位，導(dǎo)師是菲爾茲獎(jiǎng)得主 Manjul Bhargava。

圖｜Levent Alp?ge（來(lái)源：Quanta Magazine）

大型語(yǔ)言模型興起后，Alp?ge 開(kāi)始轉(zhuǎn)向人工智能。他曾在個(gè)人主頁(yè)寫(xiě)道，GPT-4 讓他認(rèn)為人工智能是“人類(lèi)創(chuàng)造過(guò)的最有意思的東西”，因此重新回到計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域，希望增加這場(chǎng)變化產(chǎn)生積極結(jié)果的可能性。

根據(jù)目前公開(kāi)的信息，這次發(fā)現(xiàn)的大致過(guò)程是：Akhil 提出問(wèn)題，Alp?ge 將其交給 Claude Fable 5 進(jìn)行探索，模型最終給出了具體的反例構(gòu)造；隨后，Alp?ge 公開(kāi)了這一構(gòu)造，數(shù)學(xué)界再通過(guò)人工推導(dǎo)以及 Wolfram Alpha、SymPy 等工具進(jìn)行了獨(dú)立驗(yàn)證。

這一過(guò)程與 AI 替數(shù)學(xué)家寫(xiě)出一份傳統(tǒng)意義上的數(shù)學(xué)證明有所不同。對(duì)于否定一個(gè)猜想而言，并不需要解釋所有可能情況，只需要找到一個(gè)滿(mǎn)足前提、卻違反結(jié)論的反例即可。這樣的任務(wù)天然適合計(jì)算探索：模型可以不斷嘗試構(gòu)造候選映射、調(diào)整參數(shù)、檢查雅可比條件，再尋找是否會(huì)出現(xiàn)不同點(diǎn)映射到同一點(diǎn)的情況。

如果這一反例最終得到確認(rèn)，它帶來(lái)的意義將十分重大。因?yàn)樗故玖艘环N此前極少出現(xiàn)的研究模式：不是 AI 幫助數(shù)學(xué)家驗(yàn)證已經(jīng)存在的思路，而是AI參與尋找一個(gè)人類(lèi) 87 年來(lái)始終沒(méi)有找到的數(shù)學(xué)對(duì)象。

從 AlphaGeometry 解決競(jìng)賽題，到 GPT、Gemini 參與證明具體命題，再到這一次可能找到推翻經(jīng)典猜想的反例，大模型參與數(shù)學(xué)研究的角色正在發(fā)生變化。它開(kāi)始探索的，不再只是“答案”，而是過(guò)去只有數(shù)學(xué)家才會(huì)進(jìn)入的未知搜索空間。

1.https://x.com/leventalpoge

2.https://mathoverflow.net/questions/513387/galois-structure-of-the-new-counterexample-to-the-jacobian-conjecture-an-explic

3.https://www.leventalpoge.com/

4.https://dataspace.princeton.edu/

5.https://www.ams.org/prizes-awards/ams-morgan-prize

運(yùn)營(yíng)/排版：何晨龍

注：封面由 AI 輔助生成