埃舍爾與達芬奇之間的超時空碰撞：不是密鋪，而是網格變換

女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

M.C 埃舍爾的平面規則分割繪畫被認為是他藝術作品的重要組成部分。他繪制了大約 150 幅平面規則分割繪畫，其中一些后來被用于他的版畫創作。在幾乎所有這些圖畫中，起主導作用的都是拼塊。不過，也有少數例外。埃舍爾在《平面規則分割（Regelmatige vlakverdeling）》[1, 第 94 頁]一書中給出了他自己對平面規則分割的定義，他說拼塊應該四面緊密貼合，拼塊之間沒有空隙。換句話說，接縫、灌漿，即砌磚工人用來將每塊石材與相鄰石材粘合在一起的砂漿層，在實踐中將它們分隔開來，但在理論上可以化整為零。數學家將這些接縫稱為拼塊的"邊"；邊從來不被認為有任何寬度。

我們可以說，這是數學的觀點。從藝術的角度來看，拼塊之間的分界線始終存在，我們不能忽視它們。我們可以給予這些分界線更多的關注，甚至可以省略拼塊。這樣，我們得到的只是一個以某種規則方式連接起來的接縫網格，或者說是一個格子：一個有許多精心勾勒的孔洞的平面。中國的窗戶和屏風經常采用這種格子結構；參考文獻 [3] 收集了大量此類設計。

在埃舍爾的一些草圖中，這些分隔拼塊的線條似乎確實占據了主導地位。例如，在他的《抽象圖案筆記本》[5, p. 87]中的第 11 號常規分割圖（Baam '42）和第 133 號常規分割圖（Baam '67）[5, p. 226]中都可以看到這一點。乍看之下，這種對拼塊之間空間的關注似乎只是注意力的輕微轉移，但它卻為埃舍爾可能沒有時間研究的藝術可能性開辟了廣闊的領域。如果用埃舍爾自己的比喻來說，在他美麗的平面規則分割的花園中漫步，就像是發現了通往毗鄰的另一個花園的大門。就像真正的花園一樣，任何描述都無法替代親眼目睹花開的過程；這些探索主要是通過圖片來分享的。

密鋪格子

當我們從一個由大大小小的正方形拼塊組成的簡單貼面開始（圖 I），我們只需將拼塊移開，就可以構造出灰漿連接的格子。我們稱其為"密鋪"。要讓拼塊清晰可見，第一步就是加厚接縫（圖2）。然后我們注意到，除了研究拼塊的整體之外，我們還可以對其進行一些基本的新配置。首先，可以將網格視為一組輪廓線（圖 3）。例如，我們可以利用這組輪廓線，通過延伸每條輪廓線，甚至交織某些輪廓線來進行構造。我們可以在埃舍爾的作品中找到這樣的例子：他的版畫《蛇》（第 76 頁）中的纏繞圓環。另一種方法是將網格分解成等長的條形，其中每條條形都是由一組連接點組成的直線段。這樣得到的條形網格可以用于條形重疊的三維結構（圖 4）。達芬奇顯然對這種條形結構很感興趣。在他的作品中，可以發現了三種不同的規則條形網格圖 [2, 第 154-155 頁]，圖 4 就是其中之一。我們將在下文中詳細討論這些以及其他可能的網格結構。

使用密鋪網格的首次構造

由于密鋪網格是去掉拼塊后剩下的網，因此現在的孔洞代替了拼塊。這意味著我們可以重疊和交織密鋪網格。例如，在圖 5 中，兩份圖 2 中的網格被交織在一起。我們已經注意到，通過繪制輪廓（如圖 3），也可以通過擴展輪廓來進行連接構造。

有趣的是，我們可以從第一種結構過渡到第二種結構。在圖 6 中，我們可以看到 M.C. 埃舍爾最初繪制的一個交織密鋪網格。如果將兩個不同顏色的六邊形密鋪格的網狀結構中的每一條粗線一分為二，并將由此產生的雙線重新編織，我們就可以得到圖 7 所示的相連輪廓圖。擴展這些輪廓線并重新編織，我們就得到了圖 8 和色板 27a。(請注意，圖 8 需要五種顏色才能分辨出相互連接的股線）。在圖 9 和圖 10 中，我們看到了三層交織的網格結構。將圖 6 轉化為圖 7 的相同步驟也用于將圖 10 中的密鋪網格轉化為圖 II 中的連接輪廓。彩板 27b 顯示的是四層交織結構。

三維構造

一些密鋪網格或連接輪廓的圖紙可以很容易地轉換成真實的三維結構。在伊斯蘭裝飾中經常出現的一些拼塊就是這一練習的豐富素材。以交織密鋪網格的形式出現的情況并不少見。圖 12 中交織的六邊形環可以看作是立方元素的投影。圖 13、14、15 和彩板 27c 展示了不同的例子，說明如何將圖 12 中的結構圖案加工成由全等聯的三維形式組成的三維網狀結構，其邊緣可追溯到立方體的六個邊緣。

我們也可以從一個二維的密鋪格開始，將它變成一個不可能的三維結構。在圖 16 中，我們對一個密鋪網格進行了陰影處理，使其看起來是三維的，并形成了一個不可能的結構：彭羅斯三角。我們甚至可以做出交織的不可能結構：圖 17 和圖 18 顯示了其中的兩個。從圖 12 中相同的二維交織網格開始，通過不同的陰影，我們也可以制作出彭羅斯三角的不可能交織網格，如圖 19 和彩板 27d。雖然圖 20 看起來很不一樣，但它的起點與圖 19 是相同的密鋪網格。將圖 21 中的不可能三維網格與 [1，第 155 頁] 中的伊斯蘭設計進行比較是很有趣的。

更多層次，不同層次

交織密鋪網格可以通過幾種方式構建。層數是我們可以改變的一個因素。帶有大方孔和小方孔的密鋪網格（圖 2）可以交織出不同數量的副本：圖 5 交織了兩層，而圖 22 則交織了四層。圖 23 和圖 24 是以平面密鋪格為基礎繪制的，圖 16 也是以平面密鋪格為基礎繪制的，但圖 23 有三層，圖 24 有七層。

另一種方法是使用相同的密鋪點陣副本，其中一些副本的比例不同，稍后我們將看到更多實例。在圖 25 中，我們熟悉的由正方形和八邊形組成的阿基米德密鋪有四層全等的密鋪網格。在圖 26 中，使用了三層相同的密鋪網格，但灰色層的比例較小。

最有趣的交織密鋪格是由一種以上的密鋪格組合而成的。例如，圖 27 是同一網格的右轉版和左轉版的組合（見圖 2）。在圖 28 中，圖 2 中的密鋪格與八角方形密鋪格結合在一起。在圖 29 和圖 30 中，您可以看到埃舍爾的黑白六邊形密鋪網格（圖 6）與帶方孔和八角孔的網格相結合。

埃舍爾平面規則分割圖的變換

將不同類型的密鋪網格結合起來的一個意想不到的結果是，我們可以使用其中的一些方法將埃舍爾的一個密鋪圖轉換成他的圖集中的另一個。在第一個例子中（圖 31），我們從埃舍爾的日本武士（第 4 號正則表達式圖畫，[5, 第 118 頁]）開始。我們按照埃舍爾另一幅作品（圖 32）的密鋪網格，將這套由三塊相互交錯的拼塊組成的密鋪圖小心翼翼地分割成三塊相等的碎片。現在，將這些碎片拉開（圖 33）并翻轉（圖 34）后，我們可以將它們重新組合在一起，看，三個日本武士變成了三只蜥蜴（圖 35），完全符合埃舍爾的第 25 號平面規則分割圖（圖 36）（見第 427 頁）。

當你想進行這種轉換時，你首先要仔細選擇兩種密鋪。日本武士的拼塊有三種不同的三折旋轉點:三個頭交匯處、三只左手交匯處和三只右手交匯處。蜥蜴密鋪也有三種不同的三重旋轉點。當我們想要組合兩個密鋪時（為了將一個變成另一個），在疊加密鋪時，這些對稱點精確匹配是很重要的。這可以通過六種不同的方式實現，其中一種如圖37所示。

將兩幅對稱圖的底層三角形網格重疊，使不同的三重旋轉中心相吻合

下一步是選擇一個由三個日本武士組成的、在三重旋轉點上相交的群組，然后看看我們是否可以使用蜥蜴圖的輪廓作為從三重中心點到群組邊界的切割線，從而使切割后的碎片數量很少。在六種可能的疊加密鋪圖中，每一種都有三種不同的方法來選擇這樣一個由三個日本武士組成的圖形群組，然而只有圖 32 中的圖形群組可以利用蜥蜴的輪廓線切割成不超過三塊的圖形。

在埃舍爾的作品集中，有許多密鋪圖都可以用來進行這種變換，而且在某些情況下，成功疊加和切割的可能性還不止一種。從埃舍爾的魚密鋪圖（正分割圖第 20 號（彩板 2））中，我們可以以一個 4 重旋轉點為中心，將四條魚組成的魚群分割成四塊全等的碎片，從而將埃舍爾的正分割圖第 23 號[5，第 133 頁]中的魚轉化成四只鳥（見圖 38--43）。但是，如圖 43-50 所示，這四只鳥也可以切成四塊，這樣我們就可以用它們做成八條魚（來自同一幅埃舍爾圖 20）！這里的訣竅在于使用不同比例的密鋪網格組合。我們在圖 26 中已經看到過這一點。

這里的基本網格只是一個正方形網格。當我們想把兩個不同比例的正方形網格組合起來時，可以進行哪些比例的組合呢？要回答這個問題，請在正方形網格上畫一個大正方形，使大正方形的角點位于網格點上，如圖 51 所示。現在用小正方形單位來測量大正方形的面積。根據勾股定理，這個面積是 a^2 + b^2。這意味著我們可以把任何這樣的大正方形分成 a^2 + b^2 個小正方形，其中 a 和 b 都是非負整數。這就得出了一系列大正方形的面積：1、2、4、5、8、9、10......如表 1 所示。

表1：表中條目為 a^2 + b^2

在我們將四只鳥變成八條魚的例子中，我們首先通過連接兩次和四次旋轉的中心行在每個密鋪上制作一個正方形網格（參見圖38和43）。請注意，這些網格中的每個正方形的面積正好等于一個主題（一只鳥或一條魚），因此每個正方形可以代表一個主題。將魚的正方形網格視為圖51中的小正方形，然后放大鳥密鋪的比例，以使以4倍旋轉點為中心的四只鳥的群集（四只鳥正方形）符合圖51中所示的大正方形，其中a = b = 2。那么大的正方形包含四只鳥和2^2 + 2^2 = 8條魚。另請注意，兩個密鋪的四重中心是重疊的。

四只鳥可以變成八條魚，因為建立在2×2直角三角形斜邊上的大正方形具有這樣的性質:大網格的四重中心疊加在小網格的四重中心上。從表1中選擇的允許這種疊加的任意一對數m，n可以用于4重旋轉的密鋪，以將m個圖案變成n個圖案。

那么，在三重旋轉系統中擴展如何，就像日本武士和蜥蜴:我們能從三個日本武士中制造出六只蜥蜴嗎？首先，請記住，我們需要在兩層的對稱點之間建立某種良好的規則連接。圖52中兩個不同比例的六邊形格子的組合似乎給出了一個解決方案，但精確計算表明紅色六邊形和黑色六邊形的面積比例為4比7。

一般來說，使用等邊三角形的等距網格并遵循正方形網格的推理，我們看到任何等邊三角形都可以分成a^2 + b^2 + ab小等邊三角形（見圖53），因此我們只能使用（面積）系列1，3，4，7，9，12，13，16，19，21的數字組合。如表2所示。

表2：表中條目為 a^2 + b^2 + ab

所以蜥蜴的數量不可能翻倍。（注意：我們只允許在變換中使用密鋪的分隔線作為切割線。)

條形網格

在埃舍爾的作品中還有一個很好的例子，他用接合點代替了拼塊。這就引出了處理密鋪格的第三種方法：我們可以將密鋪格分割成一組全等的條格，其中每個條格都由一組相連的接點組成。出于多種原因，我將這組網格分為兩類：a) 有交叉條的網格；b) 無交叉條的網格。

埃舍爾的版畫《觀景樓》（第 135 頁）就是第一類中的一個例子。如果仔細觀察建筑物的下部窗戶，就會發現鐵窗欞是用鐵條構成的：水平鐵條穿過垂直鐵條上的孔，反之亦然（圖 54 展示了一扇窗戶的特寫）。在埃舍爾生活過幾年的羅馬，你可以找到很多這種鐵窗的例子。你可能會覺得這沒什么特別的。但我在羅馬看到的所有鐵窗都可以很容易地拆卸，只需將鐵條相互滑動即可。圖 55 中的照片展示了一種不同的系統。拆卸的方法是繞著中間部分，從四個方向分別松開柵欄，直到窗網完全散開。然而，當我們看到埃舍爾的設計（圖 56 中的細節圖）時，就會發現這種網總是保持在一個整體中。埃舍爾對這一主題做出了自己的"不可能"變體。

達芬奇

現在我們來看第二類條形網格：無交叉條形網格。圖 4 展示了這種條形網格的一個例子。請注意，在這個例子中，所有的條形網格都可以看作是三個接合點（網格的三個連續邊緣）的組合。這似乎是一個理想的數字。有了這個額外的限制，我們就可以定義一個構造系統如下：三橫條網格是由單位長度為 3 的橫條構成的，因此我們可以在橫條上定義四個連接點：兩個端點和兩個中間點。條形只能以一種方式連接：一根條形的端點連接另一根條形的中間點。每根橫杠上的每個點都應與另一個點相連。

根據這一定義，可以設計出許多不同的規則網格（圖 57-60 只是其中的幾個例子）。在使用這一系統幾個月之后（它被證明是穹頂、球體、柱子等的完美建筑系統），我發現了達芬奇的圖紙[2]，在圖紙中可以看到這些條形網格的三個例子（圖 61），可能是用于屋頂建筑的！

列奧納多的條形網格系統手稿

利用有限條形網格系統（其中的條形必須是彎曲的，這樣它們才能按照規則連接起來），我們可以構造出一些正多面體和半正多面體，這也是埃舍爾和達芬奇最喜歡的主題。每個頂點都有三個面相交的多面體可以用達芬奇的非交叉型條形網格來構建。圖 62 是一個四面體，圖 63 是一個十二面體，圖 64 是一個截頂八面體。每個頂點都有四個面相交的多面體可以用埃舍爾的交叉型條形網格來構造。在一些示例圖中，突出顯示的是一個條形的單個閉合環。圖 65 顯示的是一個八面體，圖 66 顯示的是一個長方體，圖 67 顯示的是一個菱形長方體，彩板 27e 和 f 顯示的是一個截頂十二面體和一個菱形十二面體。

雖然這里顯示的數字是計算機生成的，但我已經成功地用木材、丙烯酸和其他材料構建了數字模型。它們不需要膠水或緊固件——單個“桿”僅通過交織結構固定在一起。

1.M·C·埃舍爾，阿特拉尼景觀，繪畫，1931年5月25日

這幅畫是對訪問“M·C·埃舍爾，1898-1998:1998年6月24日至28日在羅馬拉韋洛舉行的國際會議”網站的人的問候盡管埃舍爾在60年前記錄了這個地點，但它幾乎沒有變化。與J.A.F. De Rijk拍攝于1973年的封面照片相比

2. M.C. 埃舍爾，對稱圖 20，1938 年 3 月。鉛筆、墨水、水彩

3. M.C. 埃舍爾，對稱圖 78，1950 年 10 月。鉛筆、墨水、水彩

4. M.C.埃舍爾，《圓極限3》，1959 年。木刻

5. M.C. 埃舍爾，《三個相交的平面》，1954 年。木刻

6.道格拉斯·德納姆。6色對稱的雙曲線圖案，基于埃舍爾圓形極限3和{10，3}密鋪的魚圖案

7.道格拉斯·德納姆。8色對稱雙曲圖案，基于埃舍爾70號對稱圖的蝴蝶圖案和{7，3}密鋪圖案

8. 瑪喬麗·賴斯，《芙蓉花》，1978 年。彩色鉛筆和墨水

9. 瑪喬麗·賴斯，《玫瑰》，1998 年。彩色鉛筆和墨水

10. Makoto Nakamura，《樹林中的詭計》，1991 年。水粉畫

11. Makoto Nakamura，《風與波》，1993 年。水粉畫

12. 伊娃·諾爾，《變化的拼塊》，1993 年。計算機生成

13. 伊娃·諾爾，《水生 S》，1993 年。印刷和手工上色

14. 伊娃·諾爾，系列 XIII，1992 年。丙烯酸畫布

15. Robert Fathauer，基于彭羅斯P1型的非周期性密鋪

16. Robert Fathauer，《分形蛇》，1994 年。絲網印刷

17.Victor Donnay。

a施瓦茨p曲面。

b測地線運動是混沌的球體。

c施瓦茨p曲面的四個副本。

d測地線運動為混沌的環面

18. 道格拉斯·鄧納姆制作的雙孔環面，用埃舍爾的密鋪裝飾

19.迪克·特梅斯，魚眼視圖，1995年。亞克力球體上的絲網印刷

20.迪克·特梅斯，巴黎圣母院，1995年。聚乙烯球形丙烯酸樹脂

21.喬斯·德·梅伊，一扇既能看到外面又能看到里面的窗戶，為Ars & Mathesis之友創作，1993-94。布面丙烯

22.喬斯·德·梅伊，廣闊溫暖沙漠中的擋風玻璃，1996年。布面丙烯

23.維克多·阿塞維多，《外質廚房》，1987年。計算機圖形

24.花邊制作者維克多·阿塞維多，1997年。計算機圖形

25.泰迦·克拉塞克。準晶世界。1996.布面丙烯

26.泰迦·克拉塞克。準立方體訴1997。布面丙烯

27. Rinus Roelofs.

a 五色六邊形編織圖。

b 四層交織的八角方形密鋪圖。

c 由立方體邊緣組成的環形網。

d 不可能的彭羅斯三維網格。

e 網格截頂十二面體。

f 網格菱形十二面體

參考文獻

[1] S.J. Abas and A.S. Salman, Symmetries of Islamic Geometrical Patterns, London, World Scientific, 1995.

[2] Leonardo da Vinci, Codex Atlanticus, f 328 v-a (1508-1510). Reproduced in Leonardo Architect, by Carlo Pedretti, Translated by Sue Brill, New York, Rizzoli International Publications, 1985.

[3] Daniel Sheets Dye, Chinese Lattice Designs, New York, Dover Publications, 1974. Reprint of A Grammar of Chinese Lattices, Harvard University Pr., 1937 and 1949.

[4] M.e. Escher, Regelmatige vlakverdeling (1958), translated into English and reproduced in M.e. Escher, His Life and Complete Graphic Work, EH. Bool et ai, eds., New York, Harry Abrams, 1982. Also (a different translation) in Escher on Escher: Exploring the Infinite, New York, Harry Abrams, 1989.

[5] B. Griinbaum and G.e. Shephard, Tilings and Patterns, New York, W.H. Freeman, 1987

[6] D. Schattschneider, Visions ()f Symmetry: Notebooks, Periodic Drawings, and Related Work of M.e. Escher, New York, W.H. Freeman, 1990.

[7] Rinus Roelofs, Not the Tiles, but the Joints: A little Bridge Between M.e. Escher and Leonardo da Vinci

青山不改，綠水長流，在下告退。

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