正多面體：歐幾里得時代的繪圖與計算

女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

我們能否計算那些我們無法繪制的東西？我們又該如何繪圖，才能產(chǎn)生可測量的表征，或是可視的表征？本研究探討數(shù)學(xué)與具象表征之間的關(guān)系，更確切地說，是探討繪圖與計算之間的關(guān)系。本文所研究的科學(xué)圖像是5種柏拉圖立體的表征，討論了從古典時代到現(xiàn)代的各種表征技術(shù)，以及它們在幫助計算尺寸和比例關(guān)系方面的功效。建筑繪圖史領(lǐng)域的學(xué)者們，往往將其觀察局限于古典時代留存下來的極少數(shù)平面圖和正投影圖，而未將他們的研究擴展到其他同樣依賴?yán)L圖作為研究工具和溝通手段的科學(xué)領(lǐng)域。在這些其他領(lǐng)域中，數(shù)學(xué)研究便占有一席之地，尤其是立體幾何，它所處理的對象和實體具有形狀，而這些形狀需要以某種方式以三維形式繪制出來，才能被研究。

序言

歐幾里得《幾何原本》早期手稿中所載的五種正多面體圖示，印證了在那個尚未確立任何繪圖規(guī)范的時代，繪制三維物體這一課題所引發(fā)的諸多困難。

現(xiàn)代繪圖方法論，即當(dāng)今標(biāo)準(zhǔn)且目前向建筑系學(xué)生傳授的用于表現(xiàn)三維空間與體積的技術(shù)，就是軸測投影法和透視圖法。這兩種技術(shù)各有優(yōu)劣。透視圖是對人類自然視覺的模擬：它們能產(chǎn)生即刻可識別的圖像，但因其并非按比例繪制的圖紙，所以不可測量。另一方面，軸測圖是可測量的（當(dāng)提供比例縮尺時），但它們往往會生硬地扭曲所展示的物體。在歐幾里得《幾何原本》早期手稿中，用于闡明正多面體研究的圖示，并未系統(tǒng)應(yīng)用這兩種技術(shù)中的任何一種。

本研究聚焦于考察歐幾里得時代理論研究與幾何繪圖之間的關(guān)系。當(dāng)然，這樣的研究只能通過仔細(xì)審閱那些被保存下來且目前仍可在圖書館中獲取的手稿來進(jìn)行。科學(xué)界現(xiàn)已公認(rèn)，現(xiàn)存最古老的《幾何原本》抄本，是藏于梵蒂岡圖書館的一冊希臘文手稿，其年代可追溯至公元9世紀(jì)，即歐幾里得去世后約11個世紀(jì)（據(jù)歐幾里得，9世紀(jì)，梵蒂岡）。

我們或許會好奇這些手稿的抄寫員是何許人也——正是這些人傳遞了這一古代知識，并使其傳播成為可能。我們有證據(jù)表明，這些手稿大多分兩步制作完成。首先，抄寫文本。文本抄寫員通常在頁面版式上留出一些空白區(qū)域，以便為插圖預(yù)留空間。待文本完成后，再由另一位抄寫員繪制插圖。這些空白區(qū)域往往過于狹小，導(dǎo)致圖畫顯得偏小、有些局促，有時甚至?xí)由斓巾撨吙瞻字狻２赜趥惗卮笥D書館的希臘文手稿BL Arundel MS 548，其年代可追溯至16世紀(jì)前25年，便是一個未完成的歐幾里得《幾何原本》抄本實例，其中預(yù)設(shè)用于插圖的空白區(qū)域至今仍空著，圖畫始終未繪制（據(jù)歐幾里得，16世紀(jì)，大英圖書館，Arundel藏本）（圖1）。

圖1 藏于大英圖書館的BL Arundel MS 548手稿內(nèi)頁，展示了缺失的插圖。

這些抄寫員是接受過數(shù)學(xué)訓(xùn)練，還是僅接受過書法和繪圖訓(xùn)練？因此，他們是否負(fù)責(zé)科學(xué)知識與科學(xué)圖像的傳播呢？

我們不打算討論各手稿文本的質(zhì)量，也不打算探討產(chǎn)生眾多現(xiàn)存抄本的翻譯歷史脈絡(luò)。這是一個已被許多學(xué)者、編輯、評注者和數(shù)學(xué)史家深入研究過的課題。另一方面，圖像迄今為止受到的關(guān)注遠(yuǎn)不如文字，仿佛它們不如文字論述重要，只是書籍中一個次要的方面。弗朗索瓦·佩拉爾承認(rèn)（巴黎帕特里斯出版社于1819年出版的梵蒂岡希臘文手稿Vat.Gr.190.pt法文譯本的譯者兼編輯），當(dāng)他對手稿Vat.Gr.190.pt中的圖像不滿意時，便從其他版本中選取了圖像（佩拉爾，1819年）。

然而，在以幾何問題為核心的數(shù)學(xué)證明中，文本與圖像是密不可分的。更進(jìn)一步說——而這正是我們所關(guān)心的——解決問題的科學(xué)方法，也塑造了支撐理論并便于學(xué)習(xí)的圖像。當(dāng)涉及立體幾何時，所研究的物體和體積既可以以視覺方式呈現(xiàn)，也可以用圖解方式表達(dá)，或者借助多面視圖的聯(lián)屏圖版加以說明。表征方式有許多可能的選擇，這取決于真正涉及的問題是什么、解決方案是如何得出的，以及當(dāng)時可用的幾何繪圖技術(shù)有哪些。

歐幾里得幾何與《幾何原本》的結(jié)構(gòu)

亞歷山大城的歐幾里得所著論著，成書于公元前4世紀(jì)之交，匯集了當(dāng)時可得的絕大部分?jǐn)?shù)學(xué)知識，共十三卷。各卷均分為若干“命題”，每個命題提出一個具體問題并予以妥善解答。最短的一卷——第二卷——僅有14個命題，而最長的一卷——第十卷——則多達(dá)117個命題。每個命題均配有一幅圖示，用以描繪問題及其解法。每卷開頭設(shè)有一系列“定義”，這些定義所斷言的一些真理既未經(jīng)證明，亦無法證明。

《幾何原本》涉及算術(shù)和幾何兩方面的問題。前九卷探討數(shù)的理論、比例概念及平面幾何。第十卷觸及當(dāng)時數(shù)學(xué)科學(xué)的核心：無理性和不可公度性問題。最后三卷（第十一至第十三卷）有時被稱為“立體卷”，因為它們專門研究立體幾何，并特別關(guān)注對五種正多面體的探討。文藝復(fù)興時期的大多數(shù)版本還包含另外兩卷（第十四卷和第十五卷），它們算是第十三卷的某種延續(xù)，盡管并非歐幾里得所作。第十四卷歸功于許普西克勒斯（公元前2世紀(jì)），而第十五卷據(jù)推測寫于公元6世紀(jì)。

我們在《幾何原本》中讀到的數(shù)學(xué)證明的展開，所采用的思想程序和計算方法，已不再為我們所熟悉。歐幾里得處理的是“量”，這些“量”既可以是算術(shù)實體，也可以是幾何實體：即數(shù)或形狀（平面的或立體的）。然而，數(shù)可以具有形狀，而形狀也可以通過數(shù)來表達(dá)。這些“量”通過圖形呈現(xiàn)在紙上。研究希臘數(shù)學(xué)的學(xué)者們會提及“有形之?dāng)?shù)”或“圖形化的量”。因此，算術(shù)運算可以通過繪圖來完成。當(dāng)數(shù)表現(xiàn)為線段時，加法意味著延長初始線段；兩個數(shù)相乘意味著畫一個矩形，三個數(shù)相乘則產(chǎn)生一個立體。因此，一個數(shù)自乘便產(chǎn)生正方形，再乘一次則產(chǎn)生立方體。事實上，我們今天仍然稱“平方”數(shù)和“立方”數(shù)、“平方根”和“立方根”。

在古希臘數(shù)學(xué)的關(guān)注中，無理性和不可公度性的概念占據(jù)重要地位。無理性的概念指的是一個量自身的性質(zhì)。不可公度性的概念則指的是兩個量之間比值的性質(zhì)。如果兩個量之間存在簡單的關(guān)系，例如它們的比值等于兩個自然整數(shù)之間的比值，則稱它們是可公度的。在第十卷中，歐幾里得闡述了十三種不同的無理性與不可公度性。例如，量可以是“長度上可公度”的，也可以是“按其邊上的正方形”可公度的。長度上可公度的量是指那些具有共同公度量的量（該公度量可能是有理的，也可能是無理的）。平方上可公度的量是指它們的平方均為某一共同量的倍數(shù)的量，例如正方形的邊和對角線，其平方之比為1比2。一種關(guān)系并不絕對排斥另一種關(guān)系：同一個量可能在長度上和平方上都是可公度的。這幾種無理量根據(jù)其獲得方式（通過不同量的加法或減法）而被賦予名稱——例如中項線、二項線、余線等。

在第13卷中，歐幾里得表明，正四面體、正八面體和正方體的棱，與其外接球直徑在平方上是可公度的；而正二十面體的棱則是被稱為“極小線”的無理量，正十二面體的棱則是被稱為“余線”的無理量。

研究正多面體

關(guān)于正多面體的最早的歷史描述，見于柏拉圖題為《蒂邁歐篇》（約公元前360年）的對話錄中，其關(guān)注點在于每個立體的面的幾何形狀以及它們是如何組合在一起的。柏拉圖將正多面體定義為平面幾何對象（即各個面）依據(jù)特定的“立體角”組合而成的集合。從單個面的平面角出發(fā)，數(shù)學(xué)問題便在于確定最終多面體的“立體角”。因此，構(gòu)建體積的重復(fù)元素既可以看作是面本身，也可以看作是立體角。正四面體、正八面體和正二十面體雖然都具有相同的三角形面，但它們的立體角卻各不相同。這三個多面體分別由在每個頂點處匯聚三條、四條或五條等邊三角形面組合而成（圖2）。

圖2 柏拉圖時代所構(gòu)想的正四面體、正八面體和正二十面體的立體角。

相反，正方體是由其頂點來定義的，在每個頂點處有三個正方形面交匯；而正十二面體的立體角則由三個五邊形面的連接所構(gòu)成。

自柏拉圖時代以來，與其他數(shù)學(xué)對象和概念一樣，這五種正多面體一直被視為美的典范。它們等角且等邊。它們展現(xiàn)出多種鏡像對稱性：既有過其中心的切割平面對稱，也有繞其軸線或中心對稱。要確定它們的大小，只需一個數(shù)值參數(shù)即可：即其棱的長度。對正多面體構(gòu)造的探索，本質(zhì)上就是對形式美與完美性的追求。

因為我們不會承認(rèn)，在任何地方還能看到比這些更美的立體，它們各自在其種類中都是獨一無二的。（柏拉圖 & 伯里，1966年，《蒂邁歐篇》，53e）

繼這些描述之后，稍晚時期提出并在歐幾里得《幾何原本》（約公元前300年）中得到回響的下一個問題，是對內(nèi)接于同一給定直徑球體的五種正多面體棱長的量化。第十三卷完全致力于解決這一問題。那么，伴隨這五個計算問題正文的是何種圖像呢？直至文藝復(fù)興時期，手稿中出現(xiàn)的傳統(tǒng)圖像表明，在歐幾里得時代，繪制三維立體并無標(biāo)準(zhǔn)可循。這五種多面體并非依據(jù)同一種幾何投影法繪制。其形狀因面數(shù)增加而日益復(fù)雜，這一特點是通過不同類型的圖畫來描繪的。

計算正多面體

我們能否計算那些我們無法繪制的東西？繪圖本身是否就是一種成功的研究方法？還是說，繪圖僅僅是為學(xué)習(xí)者提供視覺輔助的必要圖形圖像？閱讀古代手稿和《幾何原本》印刷版本中的所有圖像時，必須始終牢記其背后的計算問題。這些插圖都服務(wù)于同一個目標(biāo)：找出內(nèi)接于給定球體的五種立體棱長的比例關(guān)系。

自古典時代以來，對多面體的研究便始于三維模型的構(gòu)建與測量。柏拉圖本人就曾解釋道，數(shù)學(xué)家們習(xí)慣于為自己制作模型：

“……他們塑造和繪制的那些東西本身有自己的影子，在水中有自己的影像……但他們真正尋求的，是去看見那些只能被心靈看到的實在。”（柏拉圖 & 肖里，1969年，《理想國》，第六卷，510e）

柏拉圖給予我們的這一基本信息，是解讀歐幾里得圖形的關(guān)鍵。事實上，仔細(xì)審視《幾何原本》各版本中出現(xiàn)的正四面體、正八面體和正方體的圖像，便會發(fā)現(xiàn)它們所描繪的是這些立體的木質(zhì)模型。而這些模型所展示的，并不僅僅是柏拉圖所描述的完美“美的立體”本身，更揭示了歐幾里得幾何學(xué)竭力解決的計算問題。實際上，一個純粹的、完美的正四面體應(yīng)由六根等長的木棍組裝成一個三棱錐。但由于該立體的棱需要與外接球的直徑進(jìn)行比較，研究模型便額外包含了一根更長的木棍：即球體本身的直徑。正四面體是唯一一個未能完全包納球體直徑的多面體：這根長木棍從一個頂點懸垂而下，穿過對邊的底面，并延伸至棱錐體之外。模型的制作者還需在“被穿透的”三角形底面上添加三根額外的短木棍，它們除了固定直徑木棍以使其保持在正確位置外別無他用；否則，這根木棍很快便會散落。而正是這一模型的圖像，被代代相傳，出現(xiàn)在《幾何原本》的每一個版本中（圖3）。

圖3 正四面體、正八面體和正方體的木質(zhì)模型，與現(xiàn)存最古老的希臘文手稿Vat.Gr.190.pt（藏于梵蒂岡圖書館，年代為公元9世紀(jì)）中所示同一立體的傳統(tǒng)描繪之比較。模型中彩色木棍即為外接球直徑。右側(cè)圖像來源：Vat.Gr.190.pt，約9世紀(jì)。

正方體和正八面體的情況類似。手稿中抄繪的圖形是三維模型的二維圖畫：它們是對先前再現(xiàn)的再現(xiàn)，除了幾何對象本身之外，還展示了數(shù)學(xué)問題（不可公度長度的計算）。正八面體的模型同樣包含了球體的直徑，其位置由正方形中截面的對角線固定，對角線的交點即為該立體的中心。正方體的模型則在其六個正方形面之一上包含了一根對角木棍，這讓人回想起量之間不可公度性的第一個基本問題，確切地說，就是正方形邊與對角線之間的不可公度性——即眾所周知的“柏拉圖定理”。模型中可見的正方體對角線，除了是外接球的直徑外，還關(guān)聯(lián)到古代數(shù)學(xué)的三大經(jīng)典問題之一：立方倍積問題。正方形對角線（即面對角線）與正方體對角線之間的不可公度性，在此得到了展示。

這些圖像總是將多面體描繪為透明的立體。它們所有的棱都清晰可見，沒有任何繪畫效果來強調(diào)體積的縱深感。所有線條的粗細(xì)一致；未使用任何顏色，甚至連灰度深淺都沒有，來區(qū)分正面與背面、遠(yuǎn)處與近處。

在源自希臘傳統(tǒng)的手稿中，正二十面體的描繪視圖是一種特殊的透視法，其假定的視軸對應(yīng)于球體的一條直徑。其結(jié)果讓人聯(lián)想到當(dāng)代的極地地圖投影，其中屬于同一球體的兩個相等的平行圓，繪制出的尺寸卻不相同。所產(chǎn)生的圖像是歐幾里得圖像中“可見之物”與“可理解之物”之間關(guān)系的一個絕佳例證。盡管正二十面體并未真正地以視覺方式呈現(xiàn)出來，但其構(gòu)造過程中的所有步驟都得到了充分的圖示表達(dá)（默多克，1984年）。附隨的文本引導(dǎo)學(xué)者理解到，這些徑向線條實際上應(yīng)當(dāng)被“看作”是相對于水平面的正五邊形和平行圓而言確實垂直的線條。立體的所有頂點均為可見，沒有一個是隱藏的，除了兩個對齊的極點。對圖像的解讀是一種心智過程，而非視覺審視。這幅繪圖是描述性的，而非視覺性的，且遠(yuǎn)非能夠一目了然、不言自明（圖4）。

圖4 左：希臘文手稿Vat.Gr.190.pt（公元9世紀(jì)）中所示的正二十面體。右：極地地圖投影原理，這是與現(xiàn)代技術(shù)最接近的、能與古代草圖相匹配的繪圖方式。

伴隨正十二面體研究的圖像，其可視性甚至比正二十面體的圖像還要低。該立體并非與其外接球進(jìn)行比較，而是與其所內(nèi)包的正方體進(jìn)行比較。無論是正十二面體還是正方體，都沒有被完整地繪制出來。大多數(shù)情況下，我們只能看到正方體的兩個面和正十二面體的一個面。其余部分必須依據(jù)學(xué)者的理解力在頭腦中構(gòu)建。盡管如此，該圖像仍展示了問題及其解法：即正方體棱與正十二面體棱之間的不可公度性——后者是前者的“余線”（圖5）。

圖5 左：希臘文手稿Vat.Gr.190.pt（公元9世紀(jì)）中所示的正十二面體。右：現(xiàn)代數(shù)字重建與模型，展示了正十二面體內(nèi)部嵌套的正方體和正四面體。

除正十二面體（它不與外接球進(jìn)行比較）外，前四個立體（正四面體、正八面體、正方體和正二十面體）的圖形總是配有一個平面圖解，其中給出了計算問題的結(jié)果。該圖解僅顯示一個封閉的半圓，它代表球體及其直徑的圖像，其中包含一條線段，其長度即為所研究的正多面體的棱長。這個圖解是按比例繪制的，旨在使其可測量，因為這兩個長度（球體直徑和立體棱長）以相同的比例尺呈現(xiàn)。針對每個問題的這兩種圖形的組合，構(gòu)成了雙聯(lián)圖像，這些圖像在各手稿中反復(fù)出現(xiàn)（迪韋爾努瓦，2023年）（圖6）。

圖6 斯蒂芬·克拉克所作手稿MS D'Orville 301（公元9世紀(jì)）中展示的五種正多面體。

繪制正多面體

快速審視幾份手稿便會發(fā)現(xiàn)，圖形和繪圖中出現(xiàn)錯誤與不準(zhǔn)確之處是屢見不鮮的（默多克，1984年）。這讓我們又回到了那個問題：圖像抄寫員是什么樣的人？顯然，他們并非都受過幾何學(xué)訓(xùn)練，甚至并非都完全清楚自己所畫的是什么。例如，正八面體就以多種不同的方式呈現(xiàn)。有時視圖被拉長，有時被壓扁。然而，這些不同的變形，會讓人聯(lián)想到多面體在平坦表面上所投下的陰影可能呈現(xiàn)出的多種形態(tài)。柏拉圖關(guān)于古代科學(xué)研究方法論的論述“……他們塑造和繪制的那些東西本身有自己的影子，在水中有自己的影像……”（柏拉圖，《理想國》第六卷，510e）再次回響在我們耳畔。臨摹研究模型投射的陰影，或許是繪制復(fù)雜立體二維視圖的一種簡便方法；而且，從幾何投影的角度來看，這樣做能產(chǎn)生精確的視圖，因為陰影繪圖屬于軸測投影的范疇，而軸測投影在當(dāng)今的建筑表現(xiàn)中被廣泛使用。從這個角度來看，正八面體視圖中，其中截面正方形變形為矩形、豎直軸看起來較短的那一幅，比中截面顯示為正方形（內(nèi)接于圓）、豎直軸被過度拉長的那一幅，更為真實，幾何上也更為準(zhǔn)確（圖7）。

圖7 繪制陰影。正八面體的各種插圖。圖片來源：左圖為斯蒂芬·克拉克所作手稿MS D'Orville 301（公元9世紀(jì)），牛津大學(xué)博德利圖書館（據(jù)歐幾里得，9世紀(jì)，博德利藏本）；中圖為大英圖書館MS 5266，抄自阿德拉德·巴斯的譯本，可追溯至14世紀(jì)（據(jù)歐幾里得，14世紀(jì)，大英圖書館）；右圖為拉特多爾特于1482年在威尼斯出版的《初版》。中間的圖像中，六個頂點落在一個圓（即球體）上，是最引人注目的一個。

第一批接近自然視圖的正五面體正確視覺描繪，出自皮耶羅·德拉·弗朗切斯卡之手，并發(fā)表于他的《論五種正立體》（約寫于1480年至1492年間）一書中（威廉斯，2021年）。事實上，第一位繪制出正確透視圖的數(shù)學(xué)家，正是著名論著《繪畫透視學(xué)》（約1482年）的作者，同時也是一位才華橫溢的畫家，這并不令人意外。然而，皮耶羅的繪圖是為他自己的歐幾里得幾何問題著作所配，不應(yīng)被誤認(rèn)為是《幾何原本》的個人版本。與皮耶羅的繪圖不同，列奧納多·達(dá)·芬奇為盧卡·帕喬利的《神圣比例》（1509年）所作的正多面體與星形多面體的六十幅插圖，享譽全球。這些插圖標(biāo)志著多面體插圖史上的一個轉(zhuǎn)折點。列奧納多很可能是應(yīng)盧卡·帕喬利的請求而準(zhǔn)備這些插圖的。當(dāng)時，他們同住在米蘭的盧多維科·斯福爾扎宮廷，盧卡正在教列奧納多數(shù)學(xué)（迪韋爾努瓦，2008年）。列奧納多在此運用他的藝術(shù)才華，通過提供繪畫性的視覺輔助來支持?jǐn)?shù)學(xué)研究。他所描繪的多面體并非精確的透視構(gòu)造，而是懸掛在他面前的木質(zhì)模型的“肖像”（迪韋爾努瓦，2023年）。事實上，懸掛模型的絲帶甚至也在畫面中顯現(xiàn)出來。這再次印證了它們是對先前再現(xiàn)的再現(xiàn)：即模型的繪圖。立體的棱并非以線條呈現(xiàn)，而是以粗木棍的形式出現(xiàn)。深度效果被真實地渲染出來：后部的棱（木棍）部分地隱藏在前部棱之后，而著色的明暗變化則增強了體積感。列奧納多的目的并非論證任何數(shù)學(xué)性質(zhì)。這些立體已被“清除”了所有歐幾里得式的參照：外接球直徑不見了，正方體面的對角線不見了，正四面體底面的三角剖分線也不見了。這些圖像是不可測量的。這些繪圖的唯一目的，是展示多面體應(yīng)有的模樣，從而讓初學(xué)者能夠識別它們。它們是純粹的視覺圖像。盡管它們在數(shù)學(xué)家和其他學(xué)者中廣為人知，并且在當(dāng)今的網(wǎng)絡(luò)上隨處可見，但它們除了盧卡·帕喬利的《神圣比例》之外，從未在其他任何數(shù)學(xué)論著中發(fā)表過。

透視表現(xiàn)法最終還是悄然滲入了后期前現(xiàn)代的《幾何原本》版本中。在插圖中引入透視繪圖的第一位編輯者是意大利數(shù)學(xué)家費德里科·孔曼迪諾（1509–1575）（索爾奇，2006年）。孔曼迪諾編輯了兩個版本的《幾何原本》：第一個是拉丁文版（1572年），第二個是意大利文版（1575年），其影響及對后世《幾何原本》現(xiàn)代史的重要性不可估量（默多克，1971年）。孔曼迪諾的著作成為后來意大利文藝復(fù)興時期出版物的范例。例如，我們可以舉出阿爾-圖西（1201–1274）阿拉伯文版的1594年再版，該版由美第奇印刷所印制。該印刷所由托斯卡納大公費迪南多·德·美第奇（1549–1609）創(chuàng)辦，他啟動了一項雄心勃勃的出版計劃，但未能完全實現(xiàn)。阿爾-圖西的再版是19世紀(jì)之前唯一出版的阿拉伯文印刷版本，也是歐洲唯一印制的阿拉伯文版《幾何原本》。它依據(jù)的是兩份至今仍保存在意大利佛羅倫薩美第奇-洛倫佐圖書館的手稿（德·揚，2012年）。不可否認(rèn)，原始手稿中的圖畫質(zhì)量相當(dāng)?shù)土印６∷⒃侔鎰t包含了直接源自孔曼迪諾著作的圖像，為這部論著賦予了全新的現(xiàn)代面貌。我們甚至能注意到，一些傳統(tǒng)的立體模型描述性圖像是如何被取消，轉(zhuǎn)而采用視覺透視圖像的（迪韋爾努瓦，2023年）。

結(jié)論

對多面體幾何的研究，是文藝復(fù)興時期藝術(shù)與科學(xué)互動的最佳例證之一，當(dāng)時透視表現(xiàn)法的進(jìn)步與正多面體及非正多面體的研究是并行發(fā)展的。一方面，立體的透視表現(xiàn)本身成為了一個完整的研究課題，并催生了許多藝術(shù)作品，包括大理石地板和細(xì)木鑲嵌木刻。在意大利及國外的透視教學(xué)中，多面體成為了一項經(jīng)典練習(xí)。在德國，16世紀(jì)60年代涌現(xiàn)了大量描繪多面體的出版物（威廉斯，2021年）。另一方面，對半正多面體的研究也正是由這一新的研究工具所推動的。

建筑繪圖史領(lǐng)域的學(xué)者們，往往將其觀察局限于古典時代留存下來的極少數(shù)平面圖和正投影圖，而未將他們的研究擴展到其他同樣依賴?yán)L圖作為研究工具和溝通手段的科學(xué)領(lǐng)域。古代數(shù)學(xué)論著的插圖，可以為我們提供一些關(guān)于當(dāng)時三維表現(xiàn)知識的線索。然而，對它們的解讀必須考慮到其形式的目的：某些變形可能具有與計算過程緊密相關(guān)的含義。此外，關(guān)于古代幾何繪圖技術(shù)水平的局部結(jié)論，必須僅限于書中呈現(xiàn)的內(nèi)容，而不應(yīng)涉及其缺失的部分。表現(xiàn)技術(shù)（軸測法/透視法/其他投影方式）的選擇，乃至其設(shè)計，都是依據(jù)其證明數(shù)學(xué)屬性的效力來決定的。

此外，關(guān)于藝術(shù)與科學(xué)關(guān)系的研究，往往側(cè)重于數(shù)學(xué)對藝術(shù)的影響和作用，但很少有人探討藝術(shù)對科學(xué)的影響。藝術(shù)能為數(shù)學(xué)做些什么呢？本研究揭示了幾何繪圖的進(jìn)步如何能夠支持科學(xué)圖像的生成，從而為讀者提供更大的便利。

參考文獻(xiàn)

after Euclid [c.9th century] Elements, Oxford, Bodleian Library, MS D’Orville 301

after Euclid. [c. 16th century]. Elements. London, British Library, BL Arundel MS 548

after Euclid. [1482] Elements. Venice. Radtold.

after Euclid. [c. 9th century]. Elements. Vatican, Vatican Library, Vat.Gr.190.Pt

after Euclid [c. 14th century] Elements, London, British Library, BL_MS 5266

De Young, Gregg. 2012. Further adventures of the Rome 1594 Arabic redaction of Euclid’s Elements. Arch. Hist. Exact Sci. 66: 265–294.

Duvernoy, Sylvie. 2008. Leonardo and Theoretical Mathematics. In Nexus Network Journal 10/1: 39–49. Cham: Birkh?user.

Duvernoy, Sylvie. 2023. Polyhedra Representation in Editions of Euclid’s Elements In Nexus Network Journal 25/1:S139-145. Cham: Birkh?user.

Murdoch, John E. 1971. Euclid: transmission of the Elements. In Dictionary of Scientific Biographies 4: 437–459. New York: Scribner’s sons.

Murdoch, John E. 1984. Album of Science - Antiquity and the Middle Ages. New York: Scribner’s Sons.

Peyrard, Fran?ois. 1819. Les ?uvres d’Euclide traduites littéralement. Paris: C.F. Patris.

Plato, Timaeus, 53e, 1966. trans. Rev. R.G. Bury. London: The Loeb Classical Library.

Plato, Republic, book VI, 510e, 1969. trans. P. Shorey. Cambridge-MA: Harvard University Press.

Sorci, Alessandra. 2006. I corredi iconografici degli Elementi di Euclide dai codici alle edizioni a stampa del 15. e 16. secolo. Florence: self-published Ph.D. thesis.

Williams, Kim. 2021. Daniele Barbaro and the Geometric Solids. In Williams, K. and C. Monteleone. Daniele Barbaro’s Perspective of 1568. Cham: Birkh?user.

Sylvie Duvernoy. The Regular Polyhedra: Drawing and Computing in Euclid’s day

最后照例放些跟張大少有關(guān)的圖書鏈接。

青山 不改，綠水長流，在下告退。

轉(zhuǎn)發(fā)隨意，轉(zhuǎn)載請聯(lián)系張大少本尊，聯(lián)系方式請見公眾號底部菜單欄。

掃一掃，關(guān)注微信公眾號“宇宙文明帶路黨”