這批數學古籍，“學術價值和版本價值”為何彌足珍貴？

撰文：

劉潔民 北京師范大學數學科學學院

丁小浩 大灣區大學人文社科中心

2025年6月，大灣區大學圖書館入藏了一批珍貴的數學古籍，包括清初歷算大家梅文鼎的《梅定九書》（清康熙年間刊本，含梅文鼎著作8種，李光地著作1種，共9冊），清道光年間數學家羅士琳研究元代數學家朱世杰數學名著《四元玉鑒》的著作《四元玉鑒細草》（道光十九年（1839）刊本，10冊），清代后期數學家李善蘭與英國傳教士偉烈亞力（Alexander Wylie）合譯的《代微積拾級》（咸豐己未（1859）上海墨海書館原刻本，3冊），以及梅文鼎《勿庵歷算全書》（雍正年間兼濟堂刻本）14冊。

這批數學古籍是何書元先生捐贈給大灣區大學的。何先生1984年及1992年在北京大學分別獲得碩士學位和博士學位，并先后擔任北京大學數學學院教授和首都師范大學數學學院教授。這批珍貴圖書是他多年前的私人收藏。有感于“紙壽千年，古籍脆弱”和私人收藏之局限，何先生希望借助專業機構的技術手段為古籍“續命”，也可以使更多讀者特別是專業研究者有機會閱讀和研究，發揮更大的作用，遂毅然將它們捐贈給由北大同窗田剛院士擔任創校校長的大灣區大學。

我們有幸較早接觸到這批數學古籍，經過初步了解，認定它們作為古代數學著作的學術價值和版本價值都彌足珍貴，隨后通過文本研讀、版本考據、研究現狀調查等工作對它們做了初步研究。在這些工作的基礎上，本文對《代微積拾級》、《梅定九書》和《四元玉鑒細草》三部數學古籍的背景、內容、學術地位和版本價值作簡要介紹。

01 李善蘭譯《代微積拾級》

1. 李善蘭的科學業績

李善蘭（1811～1882）字壬叔，號秋紉，浙江海寧人。

李善蘭是19世紀中后期中國最優秀的數學家。他在所著《方圓闡幽》（1845）中創立尖錐術，將點視為構成線、面、體的最小實體，并指出“西人所謂點、線、面皆不能無體”，借助于疊線成面、疊面成體以及點、線、面可以互變的樸素思想，給出了空間p乘尖錐的概念進而求出了p乘尖錐的體積，其核心結果相當于求出了冪函數的定積分，其理論基礎是中國傳統數學中的垛積術和極限思想。運用尖錐術，他在《對數探源》（1845）中討論了對數函數的冪級數展開問題，在《弧矢啟秘》（1845）中討論了三角函數和反三角函數的冪級數展開問題。這些工作，是在知道西方微積分早期某些結果卻不知其方法的情況下，以中國傳統數學的概念和方法為基礎并用他創立的尖錐術加以解決的，大體上相當于微積分創立之前歐洲17世紀早期推求曲邊形面積、曲面體體積的同類工作，是通往微積分的重要一步。他的《垛積比類》（成書于1859～1867年間）集中國傳統數學中的垛積術之大成，在最基本的三角垛之外還給出了六類垛積求和公式，不僅是高階等差數列求和方面的重要結果，而且用組合符號改寫之后，可以得到組合數學中一個重要的恒等式，即李善蘭恒等式。他的《考數根法》（發表于1872年）給出了判別一個正整數是否為素數的充要條件，其中指出費爾馬小定理的正確性并指出其逆命題不真。

李善蘭還是19世紀中后期中國最重要的科學翻譯家之一，他與英國傳教士偉烈亞力（Alexander Wylie，1815～1887）、艾約瑟（Joseph Edkins，1823～1905）等合譯西方數學及科學著作，系統引入西方科學，包括：（1）數學：《幾何原本》（后九卷），《代微積拾級》，《代數學》（德摩根《初等代數》）；（2）自然科學：《談天》（侯失勒Herschel Outline of Astronomy），《重學》（W.Whewell，Mechanics），《奈端數理》（牛頓《原理》部分，四卷未刊），《植物學》等。這些工作為將西方近代數學和科學引入中國作出了重要貢獻。

李善蘭又是當時中國最重要的數學教育家。他自1868年起任北京同文館天文算學總教習，直至去世，為中國培養了最早一批科技人才。

2.《代微積拾級》

《代微積拾級》是傳入中國的第一部解析幾何與微積分教科書，原作是美國數學家羅密士（Elias Loomis）的《解析幾何與微積分初步》（Elements of Analytical Geometry and of the Differential and Integral Calculus, 1852），由李善蘭與偉烈亞力合譯，1859 年在上海墨海書館出版。

全書十八卷，內容通俗易懂，便于初學：第一至九卷為代數幾何，即解析幾何，只有平面部分；第十至十六卷為微分學；第十七、十八卷為積分學。

《代微積拾級》的翻譯由偉烈亞力口述 、李善蘭筆受，李善蘭主導了術語厘定與文本審定，創制了原點、圓錐曲線、漸近線、曲率、函數、極限、微分、積分等約 320個譯名，多沿用至今并傳入日本，對后世產生了深遠的影響。

為便于中國人接受，《代微積拾級》將原著使用的印度-阿拉伯數碼換為中文數字，將通用數學符號均更換為重新創制的中式符號，例如，將表示未知數的字母x、y、z、w更換為中國古代四元術使用的天、地、人、物，但表示函數關系時則用“天”表示自變量，用“戌”表示因變量，用甲、乙、丙、丁表示常數；加減號分別為丄、丅，用“微”“積”二字的偏旁“彳”、“禾”作為微分和積分符號。

書中：

直線：地==甲天丄乙，現代：y = ax + b

圓：地==√￣味二T天二，現代：y==√￣(r2?x2)

函數：如戌==甲地丄乙天，作戌==函（天地）

即：z = ay+bx, 可一般地說z是x和y的函數，記作z = f (x, y)

彳天二 == 二天彳天，現代：dx2= 2xdx

微分一例

書中：

今有 天地二人，試求其微分。

答式 地二人彳天丄天地人彳地丄天地二彳人。

即：

d(xy2z) = y2zdx + 2xyzdy + xy2zdz

積分一例

卷十七積分一，總論部分，論各微分之積分

第一款 凡微分求積分之式設有常數，可列于積號之外，如式

禾甲乙天二彳天 == 甲乙禾天二彳天

即：

∫abx2dx = ab∫x2dx

從上述案例可以看出，李善蘭創制的數學名詞術語和符號確實可以有效地表達對應的數學內容，但這些數學符號和表達式存在兩個重要缺陷，第一，為了照顧中國讀者的閱讀習慣和心理，將國際通用數學符號徹底改造成中國化的符號系統，一方面，相對于便捷的國際通用符號系統，改造后的系統十分繁瑣，增加了學習者的困難；另一方面，改造后的系統徹底喪失了國際通用性，學習者在適應了這個系統之后，既無法進一步直接閱讀西方數學文獻，也難以與國際數學界進行可能的學術交流。第二，傳統的中文書寫和排版每行自上而下，各行從右至左，為遷就這一書寫和排版習慣，譯本中的數學表達式被強行植入自上而下的每一行中，這些表達式只能用很小的字號刻印，加之中式符號繁瑣，為辨識這些表達式帶來了相當大的困難。極端情況下，雖然整頁只排版一行，表達式中的符號仍然小到難以辨認。

但無論如何，《代微積拾級》中譯本的創始之功仍然是巨大的，為中國人學習高等數學開辟了道路。該書出版后迅速產生了重要影響，例如，當時一位年輕的中國數學家夏鸞翔（1825～1864）在1860年即開始研習《代微積拾級》，迅速完成了研究解析幾何的專著《致曲》（分為《致曲術》和《致曲圖解》兩部分），以及研究微積分的專著《萬象一原》，后者研究了二次曲線、立方拋物線和半立方拋物線以及多種超越曲線，包括弧長、面積、旋轉體的表面積和體積，得到了橢圓弧長和雙曲線弧長的級數表達式。全書給出130多個公式，其中80余個是夏氏自創的“新術”。晚清另一位數學家華蘅芳（1833～1902）也是通過《代微積拾級》開始學習西方高等數學，并成為又一位西方數學與科學的重要翻譯家的。

3. 大灣區大學獲捐的《代微積拾級》

灣大獲捐的這套《代微積拾級》是1859 年（咸豐己未）上海墨海書館原刻本，全書共三冊，每冊尺寸為長265mm，寬175mm。第一冊包括兩位譯者分別為該書寫的序，凡例，目錄，以及第一卷至第八卷，內容是代數幾何（即解析幾何）；第二冊包括第九卷至第十六卷，內容是代數幾何與微分學，第三冊包括第十七和第十八卷，內容是積分學。全書刻印質量高，存世稀少且保存完好，目前所知主要藏家有中國科學院自然科學史研究所、復旦大學圖書館、浙江省圖書館、寧波天一閣博物館、美國哥倫比亞大學圖書館，哈佛大學燕京圖書館，均將其列為重要典藏。

部分書影

02 梅文鼎及其《梅定九書》

1. 《梅定九書》的由來和內容

梅文鼎（1633～1721），字定九，號勿庵，安徽宣城人，清初著名天文學家和數學家。

梅文鼎27歲開始研讀《大統歷算》等天文歷法著作，30歲時完成歷算專著《歷學駢枝》，此后在天文歷法和數學方面完成大量著作，一方面闡發自明末以來傳入的西方天文和數學，一方面考據、復原和闡發瀕臨失傳的中國古代數學，在此基礎上會通中西，有很多創見，被譽為清初天算第一名家。1689年，他赴北京參與《明史·歷志》的纂修工作，此行另一個目的是與當時欽天監負責人、比利時傳教士南懷仁（Ferdinand verbiest，1623～1688）切磋西學。然而南懷仁已于1688年1月去世，梅文鼎未能如愿。但他得以與另一位在康熙身邊講授西方科學的比利時傳教士安多（Antoine Thomas）晤談歷算，獲益良多。在京期間，梅文鼎認識了曾任翰林院掌院學士、時任兵部右侍郎的李光地（1642～1718），此后在京4年，經常住在李光地家中，陸續完成多部數學和天文學著作。1690年梅文鼎應李光地之邀，開始以問答體撰寫《歷學疑問》，由李作序版并出資刊印。1702年李將此書進程康熙帝，獲得贊賞，并于1705年南巡時連續三日召見梅文鼎，奠定了他在清初歷算家中的重要地位。

1703年，梅文鼎應時任直隸巡撫的李光地之邀北上保定，入住李氏官署。在李光地資助下，梅文鼎一邊為幾位青年學子（包括其孫梅瑴成、李光地之子李鐘倫等）講學，一邊著書，所成之書分別由李光地和金鐵山（金世揚，時任直隸布政使司參議）資助于保定刊刻。大灣區大學獲贈的《梅定九書》就是這一批刻本，是梅文鼎著作最早的結集刻本，時間不晚于1706年。這批書刻印精良，共九冊，包括九部天算著作：天文歷法著作四部，其中有梅文鼎的三部著作《歷學疑問》、《交食蒙求訂補》和《歷學駢枝》，以及李光地的著作《歷象本要》；梅文鼎數學著作五部，分別是《筆算》、《三角法舉要》、《弧三角舉要》、《塹堵測量》和《環中黍尺》。各書內容如下：

《歷學疑問》三卷，成書于康熙三十二年（1693年），是梅文鼎應李光地建議而撰寫的歷法入門著作，以問答形式講述天文歷法基礎知識，內容包括：歷法古疏今密：論述歷法發展的歷史規律，說明后世歷法優于前代的原因；中西歷法異同：系統比較中國傳統歷法與西方歷法的名實異同，找出會通的理由；歷法基本原理：以學習心得體會的方式，講解天文歷算的核心概念。1702年，李光地將此書呈送康熙帝并獲得贊賞。

《交食蒙求訂補》二卷，是梅文鼎為訂補明末《崇禎歷書》中《交食蒙求》的缺漏而撰寫的天文歷法著作。主要工作包括：恢復并完善明末已佚的交食推算方法，詳論日食食限、食分、時刻及方位的推算，其中體現了他會通中西的風格。

《歷學駢枝》四卷，是梅文鼎的第一部歷學專著，最初二卷，后增訂為四卷。康熙元年（1662年），梅文鼎向同里倪正（號竹冠道士）學習《大統歷法》，推日月交食，“為之訂誤補遺”，“稍發明其所以立法之故”，撰成此書。康熙四十四年（1705）由時任直隸布政使司參議的金世揚資助刊印于保定，共四卷，內容包括：卷一“氣朔用數，步氣朔法”：闡述《大統歷》推算節氣、朔望的基本常數和方法；卷二“交食用數，日食通軌”：詳論日食推算原理與步驟；卷三“月食通軌”：專述月食推算方法；卷四“太陽盈縮立成，太陰遲疾立成，日出入晨昏半晝立成”：收錄各類天文數表（立成）。

李光地《歷象本要》一卷，在梅文鼎指導下于康熙三十一年（1692年）完成，主要內容是西方天文學知識，包括地圓說、九重天說、宗動天說等，又在《理氣》篇中引述朱熹有關宇宙結構的言論，認為朱熹的天文學思想與西方天文學有關宇宙結構的知識相一致。

《筆算》五卷，成書于康熙三十二年（1693年），系統介紹了西方筆算方法，并結合中國傳統計算習慣進行了改進，目的是會通中西算學，內容包括整數四則運算、比例算法及其應用、分數和小數的四則運算、開平方、開帶從平方、開立方等。

《三角法舉要》五卷，是中國第一部平面三角學教科書，內容包括：點線面體、三角八線（正弦、余弦等）、比例等基本定義；勾股形、銳角三角形、鈍角三角形的各項性質；三角形求積、內容方邊、內容圓徑、外切圓徑求法；利用勾股定理證明正弦定理、半角定理、正切定理；測高、測遠、測斜坡、測深等各類三角測量方法。

《三角法舉要》中的割圓八線

《弧三角舉要》五卷，是中國第一部球面三角學教科書，內容包括：球面三角形基本性質及其分類；解球面直角三角形，論述正弦定理；將一般球面三角形化為球面直角三角形求解的方法；利用球面三角形邊角對稱、互余、互補構造新三角形來求解；三角八線比例關系，排列出四類二十一組成比例的三角公式。

《塹堵測量》二卷，以中國傳統立體幾何模型會通球面三角學。梅文鼎從球面三角形及其所在球體中分離出兩個立體幾何模型：（1）立三角儀（又名勾股錐形）：即《九章算術》中的鱉臑（四面皆為勾股形的直角四面體）；（2）方直儀（又名勾股方錐形）：即《九章算術》中的陽馬，底為長方形，四側面全為勾股形。二者合成塹堵（兩底面為直角三角形、三個側面為矩形的正柱體），這正是書名的來歷。該書旨在說明兩個要點：第一，球面三角形可通過幾何模型來研究；第二，西方的球面三角學與中國傳統的勾股理論相通。

《環中黍尺》五卷，成書于康熙三十九年（1700年），與《弧三角舉要》《塹堵測量》共同構成梅文鼎球面三角學三部曲。梅文鼎將球面三角形投影到平面上進行研究，總結出三個關鍵性質：大圓上的點皆可為球極投影；緯線的實長等于以緯線投影為直徑的半圓周；經線的實長等于大圓的半圓周。書名中的“環”與“中”分別指球面與投影平面，“黍尺”源于中國古代以黍粒排列作為度量標準，寓意在投影圖上可用直尺直接量出所求弧、角的正弦或正矢，如用黍尺度量般精確便捷。

2. 大灣區大學獲捐的《梅定九書》

按目前所知，這套書僅有兩套完整本存世，其中之一現存美國國會圖書館，按照該館官方網站的記載，1869年同治皇帝向美國國會圖書館贈送了10種共933冊中文圖書，曾任該館亞洲部主任的李華偉在《美國國會圖書館中文館藏與漢學資源》一文中指出：“1867年美國國會通過了國際書籍交換法案，1868年美國政府贈書予中國清政府，1869年同治皇帝回贈包括《本草綱目》和《梅氏叢書》等十種共九百三十三冊中文古籍，成為美國國會圖書館最早的中文收藏。”另一套就是灣大獲捐的這套，共9冊，每冊尺寸為長274mm，寬180mm，刻印精良，保存完好。每冊卷首都有“安樂堂藏書記”印章，這是康熙第十三子第一代怡親王胤祥的藏書章，其中一冊還印有“明善堂覽書畫印記”印章，這是胤祥之子、第二代怡親王弘曉的鑒藏印，這些因素決定了這套書是極為珍貴的善本圖書。

《梅定九書》書影

03 朱世杰與《四元玉鑒》

1. 《四元玉鑒》的主要內容

朱世杰，字漢卿，號松庭，燕山（今北京附近）人，元代數學家和數學教育家，著《算學啟蒙》（1299）、《四元玉鑒》（1303）。

《四元玉鑒》3卷、24門、288問，包含四元術、垛積術、招差術三方面內容，不僅是宋元數學的巔峰之作，在世界數學史上也具有重要地位，美國科學史家薩頓（George Sarton）稱其為“中世紀最杰出的數學著作之一”。

四元術源于天元術，是未知數可達四個的多元高次方程組的建立、表示和求解的一整套理論和方法，代表了中國古代代數學的最高水平。天元術是通過設立未知數（立天元一）、尋求等量關系、建立代數方程并求解的一套代數學方法，由北方數學家創始于12世紀，目前所見的代表作為金元之際數學家李冶的《測圓海鏡》（1248）。天元術創立后，陸續被擴展到二元、三元（未知數可以有兩個至三個），而朱世杰則將其發展到四元術。《四元玉鑒》中有 50 余題討論高次方程組解法，包括二元的 36 題，三元的 13 題，四元的 7題。他用“天”、“地”、“人”、“物”四字分別表示四種未知數，根據題意，可以列出未知數最多可達四個的高次方程組。四元術的精華在于它的消元法，其主要方法有“剔而消之”、“互隱通分相消”和“內外相乘相消”三種，使四元方程逐步化為三元、二元直至一元高次方程，然后用“正負開方術”求解。他的消元法是中國數學的一項杰出成就，早于西方的同類工作 300余年。

為了表示四個未知數的高次方程，朱世杰把平面分為四部分，常數項居中，四個未知數各居一方。正如莫若《四元玉鑒序》所說：“其法以元氣居中，立天元于下，地元于左，人元于右，物元于上”。其中所說“元氣”即常數項，朱世杰一般在其旁注“太”字。對于未知數，只寫各項系數，而不寫元。由“太”開始向外遞推，其第一層是元的一次項，第二層是二次項，余仿此；而兩元相乘的項則寫在相應的交叉處。對處于相對位置的兩元相乘的項以及三元以上相乘的項是寫在兩層之間的空隙處，其具體含義因題而異，臨時規定。《四元玉鑒》中的“四元自乘演段之圖”就是這種表示法的基本圖示。

《四元玉鑒》四元自乘演段之圖

四元術的表示方法把中國古代數學的位置表示法發揮到了極致。換言之，四元術既是中國古代代數學的最高成就，也凸顯出這種位置表示法的局限性。四元術用平面上的不同方向表示不同的未知數，各個未知數由低至高的各項系數沿相應方向延伸。如果未知數的個數多于4，由于平面上難以提供5個以上的方向，從而這樣的多元高次方程不能有效表示。即使只有四個未知數，由于每個未知數由低至高的各項沿某個特定的方向延伸，相鄰兩個未知數的對應項相乘用相應的交叉點來表示，我們很容易就會發現，大量的交叉項因位置不足而難以表示，更不用說四元式的運算了。

為了更加直觀，本文借用現代符號分別給出對應于天元術、二元術、三元術、四元術（未知數分別為一個至四個）的示意圖：

天元術示意

二元術示意

三元術示意

四元術示意

《四元玉鑒》另外兩項成就分別是垛積術和招差術。

北宋沈括《夢溪筆談》中有隙積術，是推求形狀和大小均相同的物體（如酒壇、水果等）堆積個數的方法。設一長方臺垛積的頂層寬為 a個物體，長為 b物體；底層寬為 c個物體，長為 d個物體，共有 n層，沈括給出計算其總數的公式為：

S ＝(n/6)[(2b＋d)a＋(2d＋b)c]＋(n/6)(c－a)

這一工作構成了中國垛積術研究的開端。

在此基礎上，朱世杰系統地發展了垛積術，對高階等差數列求和問題作了系統的研究，用今天的組合符號可以將其主要結果歸納如下（參考李兆華《四元玉鑒校證》）：

（1）三角垛譜系：（以賈憲三角為基礎，可類推）

（2）四角垛譜系（平方系）

（3）嵐峰垛譜系（乘 k升階）

招差術

招差術即內插法。隋代劉焯、唐代僧一行先后創立等間距與不等間距二次內插法，元代王恂郭守敬在《授時歷》中使用了三次內插法。朱世杰以垛積術為基礎研究招差術。設自變量步長為1，分別記

初值：f0 ，一階差：Δ1 ，二階差：Δ2 ，三階差：Δ3 ，四階差：Δ4，

則朱世杰得到的四次招差公式為

牛頓四階前向插值公式：

朱世杰的結果與上述公式等價，只是下標平移、用三角垛數為基函數。

2. 大灣區大學獲捐的《四元玉鑒細草》

《四元玉鑒細草》是清代數學家羅士琳闡發朱世杰原著的專著，成書于道光十四年十二月（1835年1月），道光丙申仲冬（1836年底）連同弟子易之瀚所著《四元釋例》刊成初刊本。

灣大獲捐的這套書是羅士琳在初刊本基礎上加入《補增諸例》并改刊《細草》而成（改刊本），是羅士琳研究原著的最終定本，完成于道光十八年除日（1839年2月13日），時間雖晚，但價值更高。全套書共十冊，每冊尺寸為長292mm，寬184mm。民國萬有文庫本據此版縮小影印，流傳甚廣，但真正的完整原刻板存世十分稀少，而且有些是原版較晚的印刷本，字跡已經模糊。灣大獲捐版本字跡清晰，很可能是最早的印刷本之一。

值得注意的是，灣大獲捐的這套書上有大量批注，字跡工整，對朱世杰原著及羅士琳細草均有所闡發，既有一般論述，也有具體的數學論證推演，表現出足夠的數學專業素養。目前尚不能確定批注者身份，初步推測可能是19世紀前期青年數學家李錫蕃（1823～1850）。總之，這套《四元玉鑒細草》從內容、版本、刻印、收藏來看都頗為珍貴，其中的批注則為《四元玉鑒》研究史增添了新的內容。

書影（包括批注照片）

從最初對上述幾套數學古籍的考察到本文的寫作，我們多次咨詢了中國數學史領域著名學者、天津師范大學李兆華教授。李教授對朱世杰、梅文鼎和李善蘭的數學工作和著作版本都有深入研究，他應我們的請求對這些數學古籍的學術及版本價值發表了十分具體和重要的意見，在此我們謹向李兆華教授表示誠摯的感謝和敬意。

參考文獻：

• [1] 李迪、郭世榮，《梅文鼎評傳》，南京：南京大學出版社，2011
• [2] 李兆華，《古算今論》，天津：天津科技翻譯出版公司，2023
• [3] 李兆華，《四元玉鑒校證》，北京：科學出版社，2007
• [4] 吳文俊主編，《中國數學史大系》（第6卷，李迪主編），北京：北京師范大學出版社，1999
• [5] 吳文俊主編，《中國數學史大系》（第7卷，李迪主編），北京：北京師范大學出版社，1999
• [6] 吳文俊主編，《中國數學史大系》（第8卷，李兆華主編），北京：北京師范大學出版社，2000