PRL：如何試圖從信息論重建量子動力學

導語

在量子理論中，這一統(tǒng)一由哈密頓量實現(xiàn)，但其根源并不顯然。已有信息論重建工作從操作性原則出發(fā)重建了量子態(tài)與測量結(jié)構(gòu)，卻較少解釋動力學及能量角色的來源。本文所述研究在操作概率理論（OPTs）框架下，從信息交換驅(qū)動的碰撞圖景出發(fā)，引入信息論與對稱性原則，統(tǒng)一推導出可逆動力學的生成機制、能量作為生成元的出現(xiàn)方式，以及量子演化速度極限，從而將“能量—動力學—信息結(jié)構(gòu)”的關系納入同一信息論基礎之中。

關鍵詞：量子理論、信息論重建、碰撞模型、能量觀測量、生成元（generator）、可逆動力學、操作概率理論（operational probabilistic theories, OPTs）、廣義概率理論（generalized probabilistic theories, GPTs）、曼德爾施塔姆—塔姆界（Mandelstam-Tamm bound）

彭晨丨作者

趙思怡丨審校

論文題目：Information-Theoretic Derivation of Energy, Speed Bounds, and Quantum Theory 發(fā)表時間：2026年2月10日 論文地址：https://journals.aps.org/prl/pdf/10.1103/z8wn-bkvv 論文期刊：Physical Review Letters

為什么“能量”既能被測量，又能推動演化？

在量子理論中，“能量”由哈密頓量表征：作為可觀測量時，其本征值對應實驗可測的能級；作為動力學生成元時，同一個哈密頓量通過薛定諤方程決定量子態(tài)的時間演化。因此，哈密頓量同時承擔能量觀測量與時間演化生成機制的雙重角色，這種“觀測量—生成元”的統(tǒng)一構(gòu)成了量子動力學的基本結(jié)構(gòu)之一。對于熟悉量子力學形式主義的人而言，這一結(jié)構(gòu)幾乎是默認成立的，但其更深層的問題在于：這種統(tǒng)一究竟只是數(shù)學形式中的自然結(jié)果，還是源自更基本物理或信息論原則的必然涌現(xiàn)？

過去二十多年里，一種重要的研究路線嘗試用信息論公理重建量子理論。其核心思想是：量子力學的形式結(jié)構(gòu)，未必源自某種既定的微觀實在，而可能源于對“信息如何被一致地表示與操作”的基本約束。然而，這類重建工作雖然已經(jīng)很好地解釋了“量子態(tài)和測量規(guī)則是什么”，但它們很少解釋系統(tǒng)為什么會按照某種動力學演化，更沒有解釋為什么“能量”會同時扮演可觀測量和演化驅(qū)動者的角色。

這項研究的核心價值在于，它不再將量子動力學視為額外假設的演化規(guī)則，而是嘗試從一個信息交換的基本圖景出發(fā)，并結(jié)合若干自然的信息論與對稱性原則，統(tǒng)一推導出量子動力學結(jié)構(gòu)、能量作為生成元的概念，以及量子演化的速度極限等結(jié)果。

從“碰撞”出發(fā)：

把動力學理解為信息失衡的結(jié)果

這項研究的最開始，研究者提出：任意一個目標系統(tǒng)的連續(xù)可逆演化，都可以等效地理解為它與一系列環(huán)境子系統(tǒng)不斷發(fā)生快速、微弱相互作用的結(jié)果。這些環(huán)境系統(tǒng)彼此獨立，并且都被制備在同一個參考態(tài)中。每一次短暫“碰撞”都會使目標系統(tǒng)的狀態(tài)發(fā)生微小變化；而當單次相互作用足夠短、碰撞頻率足夠高時，大量離散碰撞的累積效應便在連續(xù)極限下形成平滑的時間演化。

圖 1. 可逆動力學的碰撞模型。 一個處于初始狀態(tài) ρ 的目標系統(tǒng)，會依次與一系列環(huán)境子系統(tǒng)發(fā)生短暫相互作用。這些環(huán)境系統(tǒng)彼此獨立，并且都被制備在同一個參考態(tài) σ 中。每一次“碰撞”只會引起目標系統(tǒng)狀態(tài)的微小變化；而在單次相互作用趨于瞬時、碰撞頻率趨于無限高的連續(xù)極限下，這些離散相互作用共同生成連續(xù)的可逆動力學。論文進一步要求：系統(tǒng)的任意一種可逆演化，都能夠通過選擇不同的參考態(tài) σ 來實現(xiàn)。

這個想法并不只是一個技術性的碰撞模型，其背后對應著一種更深的物理直覺：動力學本身源于系統(tǒng)與環(huán)境之間的信息非平衡。當目標系統(tǒng)的狀態(tài)與不斷與之相互作用的環(huán)境系統(tǒng)狀態(tài)存在差異時，這種信息上的不對稱便會驅(qū)動系統(tǒng)發(fā)生演化；相反，如果系統(tǒng)與環(huán)境已經(jīng)處于相同狀態(tài)，則相互作用不應再引起凈變化，系統(tǒng)將保持動態(tài)平衡。

這正是論文第一條核心原則：信息非平衡產(chǎn)生動力學（dynamics from informational nonequilibrium, DIN）的核心思想。研究者要求碰撞模型同時滿足兩個條件：其一，當目標系統(tǒng)與環(huán)境處于相同狀態(tài)時，相互作用不應引起任何凈變化，即“平衡時靜止”；其二，通過改變環(huán)境的參考態(tài) σ 與作用時間，該模型應能夠生成任意可逆動力學，即具有“普適性”。這一看似簡單的要求，實際上賦予了動力學明確的信息論含義：系統(tǒng)的時間演化不再被視為預設的抽象規(guī)律，而被理解為系統(tǒng)與環(huán)境之間信息非平衡的結(jié)果。

在廣義概率理論中搭建統(tǒng)一舞臺

為了避免在推導中預設量子力學結(jié)構(gòu)所帶來的循環(huán)論證問題，研究者采用了更一般的操作概率理論（operational probabilistic theories, OPTs）框架。在該框架中，物理理論僅以“制備—變換—測量”等可操作的實驗過程作為基本語言，而不預先引入希爾伯特空間或算符結(jié)構(gòu)。其關鍵優(yōu)勢在于，它將量子理論從前提中“釋放”出來，使其不再被當作已知結(jié)構(gòu)，而是允許在一個更廣泛的理論空間中，由一般的信息論與操作性原則篩選得到。由此，最終出現(xiàn)的量子結(jié)構(gòu)被解釋為約束下的涌現(xiàn)結(jié)果，而非人為設定的起點，從而顯著增強了重建的解釋力與普適性。

在這一框架下，系統(tǒng)、狀態(tài)、效應與變換均以操作性方式刻畫，即分別對應實驗中的制備方式、動力學過程與測量結(jié)果，而非先驗的數(shù)學對象。

其中碰撞模型被嚴格刻畫為：目標系統(tǒng)與一系列輔助系統(tǒng)發(fā)生可逆聯(lián)合演化，隨后將輔助系統(tǒng)丟棄。通過令單次相互作用時間趨于零、碰撞次數(shù)趨于無窮而總演化時間保持有限，可以得到連續(xù)時間動力學的有效極限。

研究者進一步證明，在這一極限下，由參考態(tài)所確定的碰撞過程必然形成一個李群的一參數(shù)子群，從而自然對應某個動力學生成元——即刻畫系統(tǒng)無窮小時間演化方式的算符。換言之，連續(xù)可逆動力學并非外加假設，而是由離散信息交換過程在連續(xù)極限中涌現(xiàn)而出。

這一結(jié)果的關鍵意義在于：生成元不再是預先設定的結(jié)構(gòu)，而是由信息交換機制本身所決定。更進一步，參考態(tài)與生成元之間建立起一一對應關系，即不同的環(huán)境參考態(tài)對應不同的動力學生成方式，從而直接決定系統(tǒng)的時間演化形式。

從“狀態(tài)—生成元”到“觀測量—生成元”的跨越

如果說前一步確立了動力學的來源，那么這一階段則進一步揭示了“能量”的出現(xiàn)機制。論文證明，在滿足DIN 原則且系統(tǒng)具有唯一不變態(tài)（unique invariant state, UIS）的條件下，參考態(tài)與動力學生成元之間存在一一對應關系，即系統(tǒng)的狀態(tài)結(jié)構(gòu)內(nèi)部已經(jīng)編碼了決定可逆演化的全部生成信息。

然而，研究并未止步于此。關鍵推進來自強自對偶性（strong self-duality）的引入，它將這一“狀態(tài)—生成元”的對應關系進一步提升為“觀測量—生成元”的對應關系。也就是說，生成元不僅可以由某些狀態(tài)結(jié)構(gòu)表征，還可以對應到具體的可測量物理量，從而使其不再只是抽象的動力學算子，而成為一個可觀測量。論文將這一觀測量識別為能量觀測量（energy observable）。

更進一步，該觀測量在相應動力學下保持守恒，從而同時具備兩種關鍵屬性：既作為時間演化的生成元，又作為隨演化不變的守恒量。至此，量子理論中“能量既是觀測量又是動力學生成元”的雙重角色，不再是形式主義中的人為設定，而被解釋為信息論約束與幾何結(jié)構(gòu)共同決定的必然結(jié)果。

四條額外原則，把理論收束到標準量子力學

DIN 原則雖然提供了一種動力學的統(tǒng)一生成機制，但其主要約束在于動力學如何由信息非平衡驅(qū)動產(chǎn)生，而未進一步限定狀態(tài)空間與觀測結(jié)構(gòu)的幾何與對稱性質(zhì)。因此，在該原則之下仍然存在多種在動力學層面可實現(xiàn)但并非量子理論的廣義概率理論（generalized probabilistic theories, GPTs）。也正因如此，僅有 DIN 原則仍不足以唯一確定量子理論。

為此，研究者引入量子重建文獻中常見的四條信息論與結(jié)構(gòu)性原則：因果性（causality）、經(jīng)典可分解性（classical decomposability）、純態(tài)保持（purity preservation）以及強對稱性（strong symmetry）。這些原則本質(zhì)上刻畫了信息處理中的一致性與可逆性約束。

因果性保證操作具有明確的時間方向性，即未來的選擇不會影響當前統(tǒng)計結(jié)果，從而確立操作序列的獨立性。經(jīng)典可分解性要求任意狀態(tài)可以表示為一組可完美區(qū)分純態(tài)的概率混合，從而為信息賦予清晰的經(jīng)典概率語義基礎。純態(tài)保持要求純態(tài)在允許的變換下仍映射為純態(tài)，從而避免理論結(jié)構(gòu)中引入非物理的統(tǒng)計混合。強對稱性則要求，只要兩組純態(tài)具有相同的信息容量，它們之間必然可以通過可逆變換相互連接。

研究表明，這四條原則共同作用，會將一般狀態(tài)空間強約束為不可約歐幾里得若爾當代數(shù)（irreducible Euclidean Jordan algebra）的結(jié)構(gòu)形式；再結(jié)合前文建立的“觀測量—生成元”對偶關系，即可調(diào)用既有重建結(jié)果，唯一恢復出有限維復量子理論（finite-dimensional complex quantum theory）。

換言之，該框架并非在量子理論內(nèi)部重新推導能量或動力學結(jié)構(gòu)，而是從更一般的操作與信息論原則出發(fā)，將“信息非平衡—碰撞動力學—生成元—能量—量子理論”這一完整鏈條統(tǒng)一納入同一推導路徑之中。

實希爾伯特空間的失效

研究中還有一個值得注意的結(jié)論。在復希爾伯特空間框架下，標準量子理論滿足DIN 原則，并且可以顯式構(gòu)造出同時滿足對稱性、靜止性與普適性的碰撞模型；而在實希爾伯特空間情形下，這一結(jié)構(gòu)不再成立。具體而言，對于實希爾伯特空間，即使施加“平衡時靜止”的約束，其對應的碰撞模型在連續(xù)極限下也只能生成平凡動力學，即恒等變換，從而無法實現(xiàn)對一般可逆演化的普適刻畫。

這一對比表明，復數(shù)結(jié)構(gòu)并非單純的表示選擇，而是DIN框架下產(chǎn)生非平凡動力學的關鍵條件。換言之，只有在復希爾伯特空間中，信息非平衡驅(qū)動的碰撞機制才能在連續(xù)極限下生成豐富的可逆時間演化結(jié)構(gòu)；而在實數(shù)情形中，該機制會因結(jié)構(gòu)約束而退化。

因此，量子理論采用復數(shù)希爾伯特空間這一事實，可能不僅與態(tài)空間的數(shù)學表示有關，更深層地關聯(lián)于動力學能否由信息論原則一致地涌現(xiàn)這一結(jié)構(gòu)性問題。

從能量方差到速度極限：

信息論版本的曼德爾施塔姆—塔姆界

如果一篇量子基礎理論只能說明“能量這一概念可以被重建”，其意義已經(jīng)相當重要；而在此基礎上，本文進一步觸及量子動力學中的另一個核心問題——演化速度極限。

在該框架中，研究者首先在一般概率理論（OPT/GPT結(jié)構(gòu)）下定義“狀態(tài)演化速度”，并以狀態(tài)空間中的歐幾里得距離度量演化過程中的變化幅度。在此基礎上，他們證明：系統(tǒng)從初始狀態(tài)演化到終態(tài)所需的最短時間，其下界由兩類量共同決定——其一是初末狀態(tài)之間的幾何距離，其二是生成元對應觀測量的漲落強度，即能量標準差（energy variance）。

這一結(jié)果本質(zhì)上給出了曼德爾施塔姆—塔姆界（Mandelstam–Tamm bound）的信息論形式：它不再依賴希爾伯特空間中的哈密頓量與算符演化結(jié)構(gòu)，而是從碰撞模型、信息幾何以及操作性重建原則中直接導出。進一步地，研究者指出，當限制到兩個可完美區(qū)分的純態(tài)時，該界與標準量子力學中的曼德爾施塔姆—塔姆界僅相差一個與普朗克常數(shù)相關的比例因子。

這一對應關系表明，“能量漲落限制演化速度”并非量子理論中的偶然技術結(jié)果，而可能源于更一般的信息結(jié)構(gòu)約束。在這一意義下，能量不僅決定系統(tǒng)的演化方式，同時也從根本上約束了演化的最大速率。

這項研究真正推進了什么？

從學術意義上看，該工作的核心貢獻并不在于提出另一套量子重建公理，而在于將“量子動力學”本身納入信息論重建的中心議題之中。以往的重建研究多聚焦于靜態(tài)結(jié)構(gòu)，例如狀態(tài)空間結(jié)構(gòu)、測量規(guī)則以及純態(tài)與混態(tài)的刻畫；而本文則進一步追問：若量子理論確實源于信息論原則，那么時間演化、能量概念以及速度極限等動力學內(nèi)容，是否也可以由同一組信息論原理統(tǒng)一生成？

研究者給出的回答是肯定的，其推導路徑具有清晰的結(jié)構(gòu)鏈條：首先將動力學表示為系統(tǒng)與環(huán)境之間的快速碰撞過程，再將其驅(qū)動力歸結(jié)為信息非平衡；隨后在對稱性、自對偶性以及若爾當代數(shù)結(jié)構(gòu)的共同約束下，將動力學生成元提升為可觀測的能量算符，并進一步導出量子理論的標準結(jié)構(gòu)以及相應的速度極限。

該框架最關鍵的特點在于，它并未將“能量”作為預設的基本對象，而是將其作為信息論與幾何約束共同作用下的必然涌現(xiàn)結(jié)果，從而在同一結(jié)構(gòu)中統(tǒng)一了動力學生成、守恒量與速度限制之間的關系。

當然，該研究仍處于基礎理論層面，主要討論有限維情形下的操作概率結(jié)構(gòu)，尚未直接進入實驗可檢驗層面。但對于量子基礎研究、信息物理學以及后量子理論的結(jié)構(gòu)探索而言，這一工作提供了一種重要視角：動力學結(jié)構(gòu)本身，或許確實可以被理解為信息結(jié)構(gòu)的必然表達。

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