雙穩態、多穩態和逃逸問題丨隨機動力學讀書會第九期

導語

隨機性是復雜系統自組織的重要基石，串聯起微觀漲落與宏觀演化的跨尺度信息。本期為隨機動力學讀書會第九期，賓夕法尼亞大學博士生尚玥將聚焦雙穩態與多穩態系統，圍繞隨機動力學及穩態逃逸問題展開專題分享，剖析弱噪聲驅動穩態躍遷的內在機理，從經典著作理論出發解答多穩態系統的躍遷路徑、時空規律等核心疑問。

集智俱樂部聯合北京工業大學諸葛昌靖老師和北京化工大學王利老師共同發起。采用“一主一輔”的閱讀模式，帶領大家系統研讀隨機過程領域的兩部經典著作，主讀文獻《Handbook of Stochastic Methods for Physics, Chemistry and the Natural Sciences》 ，輔助文獻《Stochastic Processes in Physics and Chemistry》，通過物理直覺啟發與數學理論推導的交織，助力參與者構建完整的隨機動力學邏輯結構和知識體系。

報告簡介

本次分享聚焦雙穩態、多穩態系統的隨機動力學與逃逸問題，這類系統廣泛存在于物理、化學、生物等領域（如化學反應的多重平衡態、生物開關、相變過程等），核心特征是系統存在多個穩定狀態，隨機漲落可能驅動系統從一個穩態 “逃逸” 至另一個穩態。分享內容來源于《Handbook of Stochastic Methods for Physics, Chemistry and the Natural Sciences》的第九章，將重點討論“一個本應永遠停留在穩定態附近的系統，為何會在微弱噪聲作用下突然發生躍遷？”以及“什么決定了躍遷發生的位置、路徑和時間尺度？”。

分享大綱

本次分享將圍繞隨機動力學中的經典逃逸問題展開，從一維雙阱勢模型出發，逐步介紹 Kramers 理論及其多維推廣，主要內容包括:

• 雙阱勢中的擴散過程與雙穩態現象

• 小噪聲極限下的亞穩態動力學

• 首次逃逸時間（Mean First Passage Time）

• 分裂概率（Splitting Probability）與逃逸路徑選擇

• Kramers 理論及指數型逃逸時間公式

• 多維系統中的吸引域與分界面（Separatrix）

• 逃逸點分布（Exit Point Distribution）

• 平均逃逸時間的漸近分析

• 多維 Kramers 方法及其基本假設

核心概念

1. 雙穩態（Bistability）系統存在兩個穩定狀態。在沒有擾動時，系統最終會停留在其中一個穩定態附近，例如雙阱勢中的兩個勢阱。

2. 亞穩態（Metastability）在存在微弱噪聲時，系統會長時間停留在某個穩定態附近，看起來已經達到平衡，但經過足夠長時間后仍可能發生躍遷。

3. 逃逸問題（Escape Problem）研究系統如何離開當前吸引域，以及逃逸需要多長時間、從哪里逃逸、沿什么路徑逃逸。

4. 首次逃逸時間（First Exit Time）系統第一次離開指定區域所需的時間，是刻畫亞穩態壽命的重要量。

5. 分裂概率（Splitting Probability）當系統面臨多個可能去向時，最終到達各個目標區域的概率。

6. Kramers理論（Kramers Theory）描述小噪聲條件下穩定態之間稀有躍遷的經典理論，揭示平均逃逸時間通常呈指數增長：$$\tau \sim e^{\Delta U/D}$$

7. 吸引域（Basin of Attraction）在確定性動力學下，所有最終收斂到同一穩定態的初始條件所構成的區域。

8. 分界面（Separatrix）不同吸引域之間的邊界。系統一旦跨越該邊界，后續動力學通常會流向另一個穩定態。

9. 逃逸點分布（Exit Point Distribution）系統穿越邊界時的位置分布。在小噪聲極限下，逃逸通常集中發生在少數“最容易穿越”的區域附近。

10. 最可能逃逸路徑（Most Probable Escape Path）在所有可能的隨機軌跡中，發生概率最高、對逃逸貢獻最大的路徑。

11. 準勢（Quasi-potential）多維非平衡系統中勢能概念的推廣，用于衡量不同狀態之間躍遷的難易程度。

12. Freidlin–Wentzell大偏差理論小噪聲隨機動力學的基礎理論，指出稀有事件的發生概率通常滿足 P ～ e-S/D 其中 (S) 為作用量（action），決定了最可能的躍遷路徑和指數級時間尺度。

主講人介紹

主講人：尚玥，賓夕法尼亞大學博士生，研究方向為軟物質、生物物理。

時間信息

2026年6月4日（周四）晚19:30-21:30，騰訊會議線上進行，感興趣的朋友掃碼報名加入隨機動力學讀書會后，可進入學員群進行交流。

報名讀書會：「隨機動力學」

本次讀書會由諸葛昌靖、王利兩位老師共同發起，采用“一主一輔”的閱讀模式，帶領大家系統研讀隨機過程領域的兩部經典著作，通過物理直覺與嚴謹理論的交織，助力參與者構建完整的隨機動力學知識體系。讀書會將于2026年4月9日起每周四晚上（創建讀書會暫定時間為19:30-21:30）線上開展，持續約10周，包含主講分享與討論交流，并提供會后視頻回放，誠邀相關領域研究者及跨學科興趣者參與。

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