四維空間中的透視與幻覺(jué)：埃舍爾《畫(huà)廊》中的德羅斯特效應(yīng)

女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

本文闡明了一種網(wǎng)格的存在——四維埃舍爾網(wǎng)格。這種網(wǎng)格使用四維空間中的透視來(lái)產(chǎn)生德羅斯特效應(yīng)，參考埃舍爾作品《畫(huà)廊》中固有的埃舍爾網(wǎng)格?？紤]到埃舍爾網(wǎng)格是二維的，推測(cè)為四維人產(chǎn)生德羅斯特效應(yīng)的網(wǎng)格本身可以在三維空間中產(chǎn)生。由于網(wǎng)格可以解釋為基于通過(guò)旋轉(zhuǎn)和擴(kuò)展埃舍爾網(wǎng)格的正方形而獲得的圖形，因此可以解釋為四維埃舍爾網(wǎng)格是通過(guò)旋轉(zhuǎn)和擴(kuò)展立方體而獲得的圖形。為了生成四維埃舍爾網(wǎng)格，首先提到了嵌套、透視和維度之間的關(guān)系，并且揭示了存在具有增加的消失點(diǎn)維度的“消失線”。埃舍爾網(wǎng)格中正方形的旋轉(zhuǎn)軸是畫(huà)的消失點(diǎn)，該點(diǎn)是二維平面上關(guān)于x和y對(duì)稱的點(diǎn)?？紤]到這一點(diǎn)，可以看出消失線，也就是四維埃舍爾網(wǎng)格的旋轉(zhuǎn)軸，是在三維空間中x、y、z方向上與立方體對(duì)稱的線，也就是立方體的體對(duì)角線。綜上所述，可以說(shuō)四維埃舍爾格子的底是一個(gè)立方體繞身體對(duì)角線軸旋轉(zhuǎn)展開(kāi)得到的圖形。

1導(dǎo)言

1.1德羅斯特效應(yīng)（Droste effect）

德羅斯特效應(yīng)是一種圖片遞歸出現(xiàn)在自身內(nèi)部的效果，出現(xiàn)在現(xiàn)實(shí)中預(yù)期會(huì)出現(xiàn)類似圖片的地方，是自參照系統(tǒng)令人眩暈的循環(huán)的視覺(jué)示例。圖像的大小隨著每次迭代以幾何方式減小，因此只要圖像分辨率允許，它就會(huì)繼續(xù)。圖像的大小隨著每次迭代以幾何方式減小，因此只要圖像分辨率允許，它就會(huì)繼續(xù)。

1.2 埃舍爾的作品

荷蘭版畫(huà)藝術(shù)家埃舍爾（M.C. Escher）也有一幅利用德羅斯特效應(yīng)的欺騙性繪畫(huà)作品（圖1）。畫(huà)廊里有一個(gè)正在看畫(huà)的年輕人。當(dāng)你觀察這個(gè)年輕人觀看的畫(huà)面時(shí)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)人本身就是畫(huà)面的一部分。

圖1：M.C.埃舍爾的《畫(huà)廊》，1956 年。

之所以會(huì)出現(xiàn)這樣的效果，是因?yàn)橛幸环N叫做“埃舍爾網(wǎng)格”的原始網(wǎng)格創(chuàng)造了德羅斯特效應(yīng)，這張圖就是基于它繪制的(圖2)。

圖2：埃舍爾網(wǎng)格

在每個(gè)方格之后，每個(gè)較小的方格都被轉(zhuǎn)移到相應(yīng)的放大方格中。通過(guò)這種方法，屏幕的放大可以自動(dòng)完成。具體來(lái)說(shuō)，圖3-a中的矩形 KLMN 被轉(zhuǎn)換成圖3-b中的 K'L'M'N'。

圖3：埃舍爾網(wǎng)格的具體例子，引自[1]

1.3推理

埃舍爾在一個(gè)二維網(wǎng)格上繪制了一個(gè)具有德羅斯特效應(yīng)的神秘三維空間。這意味著有可能在我們的空間中創(chuàng)建一個(gè)三維網(wǎng)格，使四維人產(chǎn)生德羅斯特效應(yīng)。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，將埃舍爾網(wǎng)格曲線近似為一條直線。實(shí)際上，埃舍爾最初試圖使用直線，但最終憑直覺(jué)決定使用曲線。使用這種方法，原始正方形可以更忠實(shí)地保留其原始形狀（圖4）。

圖4：埃舍爾網(wǎng)格的初始和演化類型

認(rèn)為圖像失真是因?yàn)樗倪呅蔚男螤钔ㄟ^(guò)將曲線近似為直線而失真，但是可以認(rèn)為德羅斯特效應(yīng)的本質(zhì)部分沒(méi)有丟失。然后，這個(gè)網(wǎng)格被解釋為通過(guò)圍繞消失點(diǎn)旋轉(zhuǎn)和擴(kuò)展一個(gè)正方形而獲得的網(wǎng)格(圖5)。

圖5：直型埃舍爾網(wǎng)格

此時(shí)，我們?nèi)S人可以感知網(wǎng)格本身，但無(wú)法感知像埃舍爾這樣的人在基于“四維埃舍爾網(wǎng)格”的四維空間中制造的三維空間，就像生活在平地上的二維人無(wú)法感知埃舍爾繪畫(huà)的幻覺(jué)一樣。作為一個(gè)三維人，我能做的就是畫(huà)這個(gè)格子，其中的樂(lè)趣只有四維人才知道。

2創(chuàng)建四維埃舍爾網(wǎng)格的方法

2.1嵌套、透視和維度之間的關(guān)系

作為生成四維埃舍爾網(wǎng)格的過(guò)程，必須首先描述嵌套、透視和尺寸之間的關(guān)系。從二維角度看，圖6看起來(lái)像一個(gè)正方形中的正方形，但是因?yàn)槲覀円灿腥S視角，所以看起來(lái)像是從上面看盒子。這是一個(gè)透視感知，一個(gè)消失點(diǎn)出現(xiàn)在盒子底部的中心。二維中的“內(nèi)部”在三維中變成了“背面”。這里重要的是你有能力在不同的維度上感知同一個(gè)圖形。

圖6：二維嵌套

然后，當(dāng)增加維度時(shí)，正方形中的正方形變成立方體中的立方體(圖7)。我們只能感覺(jué)到“里面”，但四維的人一定能感知到這是“后面”。此時(shí)，既然維度更高，那么“消失點(diǎn)(零維)”就應(yīng)該是“消失線(一維)”?？紤]到正方形中的消失點(diǎn)是在x和y方向上與正方形對(duì)稱的二維點(diǎn)，消失線是在x、y和z方向上與立方體對(duì)稱的三維線，并且正好是立方體的對(duì)角線。

圖7：三維嵌套

2.2四維埃舍爾網(wǎng)格的生成過(guò)程

四維埃舍爾網(wǎng)格是通過(guò)旋轉(zhuǎn)和放大立方體的對(duì)角線作為旋轉(zhuǎn)軸來(lái)近似描述的圖形（圖8）。放大和導(dǎo)出的數(shù)量是任意的，因?yàn)樗c埃舍爾網(wǎng)格繪制的細(xì)分程度相同，這是一個(gè)類似的數(shù)字。

圖8：旋轉(zhuǎn)和擴(kuò)展立方體的過(guò)程

圖9展示了離散描述立方體旋轉(zhuǎn)膨脹的結(jié)果。

圖9：旋轉(zhuǎn)和擴(kuò)展立方體的模型

考慮到通過(guò)增加圖5的維度來(lái)創(chuàng)建四維埃舍爾網(wǎng)格，精確的圖形是其中圖9中生成的每個(gè)立方體的每個(gè)邊都被延伸的圖形。這里，整體復(fù)雜且難以理解，一部分被放大顯示(圖10)。

圖10：四維渦流效應(yīng)模型的一部分

旋轉(zhuǎn)和展開(kāi)一個(gè)立方體是一個(gè)極其簡(jiǎn)單的過(guò)程，但是通過(guò)把它的旋轉(zhuǎn)軸設(shè)置為x，y，z三個(gè)參數(shù)的立方體對(duì)角線，就產(chǎn)生了一個(gè)不可想象的。這說(shuō)明我們還缺乏對(duì)三維空間的把握能力，而這個(gè)圖形與四維空間相連是非常有趣的。

參考文獻(xiàn)

1. Ernst, B., Toverspiegel, D., van Escher, M.C.: English translation by J.E. Brigham: The Magic Mirror of M.C. Escher. Ballantine Books, New York (1976)

2. Abbott, E.A.: Flatland: A Romance of Many Dimensions. Seeley & Co. (1884)

3 Ikko Yokoyama, Perspective and Illusion in Four-Dimension: Droste-Effect in Four-Dimension Based on Escher’s Work

青山不改，綠水長(zhǎng)流，在下告退。

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