優雅的設計：數學與特德姜的科幻小說

女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

科幻作家特德姜（Ted Chiang）巧妙地將高層次的數學概念編織到他的科幻小說敘事的結構中：例如實數軸的壓縮、集合的線性排序、公鑰加密和費馬最小時間原理等概念在他的故事中發揮著深刻的作用——不過并不總是明確的。他獨特而引人入勝的敘事具有廣泛的情感吸引力：改編自他的小說《你一生的故事》的電影《降臨》（2016）在首映周末票房排名第三。除此之外，特德姜的故事還具有啟發性：他的讀者會發現自己在不經意間學習到了數學知識，以及語言學、物理學、計算機科學和巴比倫宇宙學。本章將討論特德姜如何利用數學來闡明非數學概念；如何利用非數學概念來傳達數學思想；以及如何將兩者聯系起來，為科幻讀者（尤其是那些有一定數學背景或傾向的讀者）提供文學上的"啊哈時刻"。

導言

在二十一世紀之交，數學在大眾文化中變得越來越引人注目。人們不再認為數學是一門深奧的學科，是白胡子哲學家、奇人和瘋子的專利，現在，電視劇和電影讓觀眾知道了一個秘密：他們也可以掌握數學的秘密。2005-2010 年電視節目《NUMB3RS》的標語是："我們每天都在使用數學；預測天氣、計算時間、處理金錢。數學是......用你的頭腦來解決我們所知的最大謎團"——這表明，數學實踐既具有深遠的意義，又是大眾的事情。《心靈捕手》（1997 年）、《證據》（2005 年）、《模仿游戲》（2014 年）和《隱藏人物》（2016 年）等電影中的數學家都是藍領、女性、同性戀和黑人。

然而，盡管這些對數學家的不同描述令人耳目一新，但在流行媒體中，數學本身往往或多或少地被用作道具（在白板上看起來很酷的東西）或情節設置——它能破案、讓外星人與人交流，或在賭場上為大學生贏錢。不過，有些作品，如特德姜的科幻小說，則深受數學的影響。在小說《除以零》的注釋中，特德姜寫道："我們在小說中最欣賞的東西之一，就是出人意料卻又不可避免的結局。這也是優雅設計的特點：巧妙的發明卻又顯得完全自然"。也許這種優雅最常見的表現形式就是情節的轉折，比如雪莉·杰克遜的《彩票》（1948 年）的結尾。但它還有另一種更微妙的表現形式，即在作品的暗線中出現第二種敘述，或者更準確地說，是對所說內容的第二種解釋，即潛臺詞。在這種情況下，兩種敘事互為支撐，當第二種敘事最終浮出水面時，細心的讀者、觀眾或聽眾就能加深理解，甚至頓悟。這種優雅不僅體現在詩歌中，因為詩歌中的隱喻和類比經常占據中心位置，而且也體現在電影和散文中；尤其是在特德姜的作品中，我們可以發現這種優雅——帶有數學的傾向。在他的《你一生的故事》中，特德姜用數學來闡明非數學概念；用非數學概念來傳達數學思想；用兩者之間的聯系來為他的讀者——尤其是那些有一定數學背景或傾向的讀者——提供文學上的 "啊哈時刻"。在本章中，我們將探討這一點如何在這本小說集的四個故事中得到體現。

方向

特德姜的小說集以《巴比倫塔》(Tower of Babylon)開篇，這是一部類似圣經的旅行敘事小說，主人公赫拉魯穆不是在地球上旅行，而是向上旅行。赫拉魯穆是一名礦工，他被召喚爬上仍在建造中的巴比倫塔巴別塔塔頂，任務是“'挖通天穹'"。故事中充斥著測量數據："如果把塔放倒在希拉平原上，從這端到那端，將要走上整整兩天時間。當塔矗立著朝向天空時，從地面爬上頂端,將花去一個半月時間"；"當一塊磚從塔頂掉下來時，塔頂上砌磚的人們慟哭不已，還使勁抓扯自己的頭發，因為要過四個月才能補充它。"；建塔的工作人員每四天爬一次塔；“塔的底座有兩個平臺。第一個平臺是巨大的正方形，大約二百腕尺長,四十腕尺高。”特德姜較少關注塔的建造目的，而更多關注其建造所需的工程細節，然而在背景中，塔存在的理由卻若隱若現：巴比倫人狂妄自大，試圖建造 "一根支撐天宇的巨柱,一道通往天堂的樓梯,人們可以爬上去瞻仰耶和華的杰作,耶和華也可以下到地面來看看人間的創造。"

當然，《圣經》中關于巴比倫塔的故事暗示了建造這座塔的另一個動機：建造者們試圖鞏固他們作為一個民族的團結。他們說："來吧，我們要建造一座城和一座塔，塔頂通天，為要傳揚我們的名，免得我們分散在全地上。"（《創世紀》11：4）。耶和華對人類獲取知識的行為十分警惕，因此對這種行為不屑一顧：

耶和華說：“看哪，他們同是一個民族，有一樣的語言，他們一開始就作這事，以后他們所要作的一切，就沒有可以攔阻他們的了。

來，我們下去，在那里混亂他們的語言，使他們聽不懂對方的話。”（《創世紀》11：6–7）

現在，我們不妨來個跳躍，喚起電影《接觸》中流行的、由學者沃勒和弗洛德（2016 年）論證的命題——數學是一種通用語言：也許人們對建筑的集體工程對上帝的威脅，就像他們的 "一種語言 "和高塔對天堂的侵犯一樣。一想到要闖入蒼穹，赫拉魯穆就很不舒服，他試圖壓抑自己的擔憂。他努力學習建筑的細節，和同事們一起思考天體幾何和降雨科學；他試圖忽略自己對天堂的字面理解，即使他獲得的知識讓他更接近上帝。他上升到月亮、太陽和星星的最高處，最后到達了巴比倫宇宙模型中的天穹，那里阻擋著天堂之水。他深感不安：

赫拉魯穆的所有感官都被拱頂的景象迷惑了。有時，當他看著拱頂時，他覺得世界好像在不知不覺中翻轉了過來，如果他站不穩，就會掉到拱頂上去……

還有的時候，......一瞬間，似乎沒有上，也沒有下，他的身體不知道自己被牽引到了哪個方向。

盡管憂心忡忡，赫拉魯穆還是和他的同伴們在花崗巖中挖了好幾年隧道，直到——似乎不可避免地——挖通了一個水庫，隧道被洪水淹沒。赫拉魯穆被大水淹沒，在洪水中迷失方向，差點淹死。最后，他被噴到一個洞穴里，爬出一條通道，來到離塔基不遠的地面上。

這就是數學家的小激動：赫拉魯穆遇到了亞歷山德羅夫的實數軸單點緊致化。有興趣的讀者可以在James Munkres的《拓撲學》等書中了解拓撲空間和緊致性，但我們可以非正式地將這種緊致性描述如下：取實數軸并將其縮小，比如說，縮小到開放區間（-1，1）。然后把這個區間彎曲成一個缺一點的圓。最后，將區間的“兩端”連接在標有"∞"的點上。(這種描述忽略了這種緊致化的許多數學細微差別，包括區間“兩端”的不存在，但有助于闡明這一概念）。赫拉魯穆從 0 點（塔基）出發，向著無窮遠的方向（方向任選）繞了一圈，到達并穿過了無窮遠（即天堂），基本上完成了繞圓一周的旋轉，回到了與出發點相近的位置（見圖 1）。考慮到他已經到達并穿過了無窮遠，他在接近拱頂時的迷失方向是可以理解的。完成革命后，赫拉魯穆有了兩次頓悟：一次是數學上的，一次是精神上的。首先，他問自己，天與地這樣遙遠的地方怎么會相接，并推導出一個數學模型：

他覺得自己一下子就明白過來了。一個圓滾筒，他想，人們用一個雕刻有符號的滾筒滾過一塊柔軟的泥板，滾筒就在泥板上形成了一幅圖畫印。符號可能出現在泥板相反的兩端，但它們在滾筒上卻是肩并肩的排列。人們把天堂和地獄看成一張泥板相反的兩頭，中間就是天空和星星。然后，世界以某種奇異的方式卷起來了，天堂與地球就成了滾筒上兩個并列的符號。

圖1：亞歷山德羅夫的實數軸單點緊致化

圖2：實射影平面的基本多邊形。要形成這個投影面，需要將垂直邊緣和水平邊緣 "粘 "在一起，并標出箭頭。請注意，這個平面無法嵌入三維空間

圖1中的圓是這個圓柱體的橫截面。喜歡數學的讀者甚至可以考慮赫拉魯穆在真實的投影面中旅行的可能性（見圖 2）。這個流形是一個不可定向的曲面，這可能是赫拉魯穆在接近穹頂和被洪水吞噬時極度迷失方向的原因："四周全是令人窒息的黑暗，壓力強大的水流，吸附、推動著他。他連上下左右都分不清了"。接下來，他意識到塔的建造本身就是一種崇拜：

如此一來，就知道上帝為什么沒有毀掉那塔了，為什么沒有因為人們努力越出為他們設定的界限而懲罰他們，因為再長的旅程也僅僅只能讓他們回到原來出發的地方。他們幾個世紀的辛勤勞作不會揭示出比他們所知道的更多的創造，他們最后所看到的只是上帝無比杰出的藝術才能。通過這種才能，上帝的存在才被指明，而又被隱藏起來。而人們就知道了他們應該呆在應該呆的地方。

赫拉魯穆走近無限之塔，迷失方向地穿過它，然后返回去傳播福音："他會向塔上的人傳話。告訴他們他所知道的世界的模樣。"赫拉魯穆的洞察力既是虔誠的，也是拓撲學的：就像埃德溫·艾勃特（Edwin·A.·Abbott）的長篇小說《平面國》（Flatland，1884 年）中的正方形一樣，他被一個球體帶出了他的平面宇宙，進入了神奇的三維世界。伽利略被迫放棄了他的科學發現，正方形也因為提出第三維度——甚至第四維度——的存在而入獄！人們不禁要問，赫拉魯穆和他的天方夜譚般的拓撲學證詞會變成什么樣子。

解密

中篇小說《七十二個字母》（72 Letters）是特德姜最令人困惑的故事之一，故事發生在另一個維多利亞時代的英國。在那里，獨角獸的角與駝鹿的鹿角一起被陳列在博物館里，自動裝置通過使用euonyms（由72個希伯來字母組成的字符串）來制作動畫，這使得“（名稱和對象）的潛在能力得以實現”。真正的維多利亞時代是科學家與靈性主義者合作與對決的熔爐；特德姜改變了那個時代的科學和精神運動，并在這部杰作中將它們與卡巴拉主義傳統結合起來。這部杰作涵蓋了從熱力學到階級政治再到自我復制機器概念的方方面面。

讀者見到故事主人公羅伯特時，他還是個小男孩，正在試驗玩具的自動化：他的泥娃娃和瓷馬和羅伯特世界里的其他物品一樣，都是通過刻在羊皮紙碎片上的"euonyms"來實現自動化的。工業和個人保護都依賴于euonyms：

很久以來，名字一直被分為兩類：一類用于激活對象，另一類的功能相當于護身符。健康護身符保護人們免遭傷害和疾病，其他護身符則可以防火或者保護海船不致沉沒等等。

工業自動機在礦井中推動礦石手推車，充當信使，并啟動制造驅動輪。因此，技術的進步以及人類生命的保存都依賴于對euonyms的發現和分析。

在羅伯特時代之前，對euonyms的研究歷來是神秘主義者和卡巴拉學者的領域。事實上，每個euonyms 都是一個神的名字（其中一個版本包含 72 個字母），用來復活一個假人。在猶太民間傳說中，假人是一種無生命的生物，通常由粘土或泥土制成，像特德姜的自動機一樣，通過在其身體上或插入其中的紙片上銘刻神的名字來激活它。特德姜直接將他的自動機與假人聯系在一起，他指出"[自動機的特定組件]最早出現在圣經時代。據說，約瑟夫的兄弟們造了一個有生命的女性假人，這樣他們就可以和她做愛而不違反禁令。"

繞道而行：數學與假人

特德姜的《七十二個字母》并不是唯一一部將數學與假人傳說聯系在一起的作品。在《數字中的真理：Laurie A. Finke 和 Martin B. Shichtman 在《數字的真相：達倫·阿羅諾夫斯基的π中的神秘主義與瘋狂》一文中討論了《π》中卡巴拉、用"神圣詞匯"創造出的假人與股票市場行為預測之間的聯系。在《π》中，主人公馬克斯（肖恩·古萊特 Sean Gullette 飾）試圖揭開數學的秘密；在《七十二個字母》中，羅伯特試圖揭開語言的秘密。但從根本上說，兩人都試圖通過哲學家雅克·德里達（Jacques Derrida）所說的符號來理解現象。畢竟，數學研究又何嘗不是如此呢？

繞道結束

然而，時代正在發生變化：命名學，即對這些euonyms的研究，正越來越多地由世俗研究者進行——羅伯特和他的童年好友購買了一本《命名法少兒指南》，"上面的說法和學校里教的很不一樣。書上說命名師再也不根據上帝或者神的名字來給對象定名了。流行的看法是,同時存在著詞的世界和物理的世界。"

“羅伯特·斯特雷頓在劍橋三一學院的時候仍然在繼續研讀命名法。他研究了幾個世紀以前猶太教神秘哲學的一些文本。那時候，命名師被稱作“美名大師”，自動機被叫做‘有生命的假人’。接下來，他鉆研以更加廣闊的哲學和數學領域為背景分析字母排列技術的論文。”特德姜詳細闡述了羅伯特的euonymic 研究，這當然是語言學研究，但其核心也是數學研究。甚至特德姜使用的語言也具有數學性質：

“他了解到，每一個名字都是由幾個種名綜合而成的，每個種名具體描述了對象所具備的一種特定的特征或能力。為了得到描述某種特征的種名，必須對形容這種特征的全部語詞進行綜合匯編：同源詞或詞源，正在使用的語言，已經滅絕的語言，等等。將所有這些字詞進行篩選、替代和重新排列，從中提取出最本質的東西，那就是種名。種名還可以作為引申定義的基礎：有些特征在任何語言中都沒有適當的描述詞，這種情況下，使用引申定義的技術，人們就可能推導出描述這些特征的種名。語詞匯編的整個過程既要依賴規則，也要依靠命名師的直覺。選擇最佳字母排列的能力是一種無法言傳的高超技巧。

他還研究了現代的名字組合及分解技術。組合技術是把一系列種名——既簡練，又能激活對象的潛能，這是對種名的要求——融合在一起，組成一串似乎是隨意排列的字母，這些字母構成了對象的名字。分解技術就是把一個名字分解成各個種名。并不是每一個形成整體的名字都只能分解成固定的種名：一個威力強大的名字完全可能有多種拆分方法，可以被再次分解成好幾套迥然不同的種名。有些名字極難分解，命名師必須費盡心機，開發出新的拆分方法，以揭示這個名字的奧秘。”

雖然這些強調的詞語當然出現在非數學語境中，但它們共同為這段文字注入了代數學和數論的韻味。故事的其他部分也包含數學語言：例如，羅伯特的研究重點是"排列和組合的細節"——這顯然是對組合學詞匯的暗示——有一次羅伯特意識到，卡巴拉優尼卡研究者的成就就像一個巧妙的證明一樣，是 "優雅的"。此外，對優美詞法研究的描述，例如下面的描述，很容易就會變成對數學研究的描述：

羅伯特與小組中的其他命名者合作，在他們之間，他們瓜分了巨大的命名可能性之樹，分配樹枝進行研究，修剪掉那些被證明沒有結果的樹枝，栽培那些似乎最有結果的樹枝。

事實上，羅伯特從事的是解密和加密研究，其工作類似于現代密碼學家的工作。(特別是，我們可以將命名者的工作與數學家和計算機科學家的工作聯系起來，他們試圖淘汰公鑰加密——一種常用的信息加密系統，只有目標接收者才能解密。

數學探索

公鑰加密涉及使用兩把"鑰匙"，一把公鑰和一把私鑰。例如，假設羅伯塔的朋友利昂娜想用RSA（Rivest-Shamir-Adleman）加密法為羅伯塔加密一條秘密信息。首先，請回顧以下內容：

? 整數是實數1、2、3、…、它們的負數和0。正整數是1，2，3，...。

? 如果存在使n=km的整數k，則整數m是整數n的因子。

? 素數是p>1的整數，其唯一正因子是1及其本身。

? 如果沒有大于 1 的整數同時是 a 和 b 的因數，則稱整數 a 相對于整數 b 是互質數。

? 給定一個正整數n，如果n是a-b的一個因子，則稱兩個整數a和b是模n的同余整數。如果a和b是模n的同余整數，我們可以寫為a ≡n b。

? 給定一個正整數n，φ（n）表示小于n且與n互質的正整數的數量。

在 RSA 密碼術的一種實現中，信息加密和解密過程如下。(有關 RSA 密碼學的更詳細描述，請參閱《Judson 2018》第 7.2 節）。

1. 羅伯塔選擇兩個不同的大質數 p 和 q，讓 n 作為它們的乘積：即 n = pq。

2. 由于 p 和 q 都是大質數，因此存在某個整數 e，且 1 < e < φ(n)，使得 e 和 φ(n) 為互質數。

這對數字 (n,e) 是密碼系統的公開密鑰；該密鑰用于加密，并與利昂娜共享。請注意，利昂娜只知道 n 和 e：她不知道 p、q 或 φ(n)。

3. 由于 e 和 φ(n) 是相對素數，因此根據貝祖特特性（見 Judson 2018 中的定理 2.10），存在一個使ed ≡φ(n) 1 的正整數 d。數字 d 是密碼系統的私人密鑰，用于解密。只有羅伯塔知道這個私人密鑰。

4. 為了給羅伯塔發送信息，利昂娜使用一種與羅伯塔達成一致的可逆方法，將明文信息轉換成一個相對于 n 的質數的正整數 m

5.為了將c解密成原始消息m，羅伯塔計算唯一的正整數m‘，使得m’

注意，由于 ed ≡φ(n) 1，存在一個整數 k，使得 ed -1 = kφ(n)，即 ed = kφ(n) + 1。因為 c ≡n m^e，所以 c^d ≡n (m^e)^d（參見尼文等人 1991 年的定理 2.1）。因此

由于 m 和 n 都是相對素數，歐拉定理（Judson 2018 中的定理 6.18）得出 m^φ(n) ≡n 1。所以

因此，cd ≡n m。因此，m'≡n m，所以 m'= m。

6. 羅伯塔已成功計算出 m'= m，現在她只需將 m 轉換成利昂娜的原始明文信息即可。

公鑰加密之所以相對安全，歸根結底在于：如果不知道系統的私人密鑰 d，就無法解密加密信息，而要找到 d，就必須知道 e 和 φ(n)。雖然 n 和 e 這兩個數字是公開共享的，但如果不知道 p 和 q，就無法合理地計算 φ(n)，而當 p 和 q 非常大時，這些素數就幾乎不可能被識別出來，因為目前還沒有已知的有效算法可以可靠地對極大的數字進行因式分解，也就是找到它們的因數。因此，只有持有系統私人密鑰的人才能解密加密信息。

旅行結束

如果研究人員發現了超大型數字因式分解的有效方法，政府機構和其他組織就能解密加密信息。就像把兩個大素數相乘很容易，但要把它們的乘積因式分解，即使不是不可能，也很有挑戰性一樣，在特德姜的世界里：

“并非每種euonym整合方法都有匹配的分解技術. . . 有些名稱拒絕分解，命名者努力開發新的技術來破解它們的秘密。”

在我們的世界中，數字理論家尋求數字因式分解算法來破譯加密信息，而在特德姜的世界中，命名者則尋求將 euonyms 分解，以便將他們的機器賦予生命。

就像在我們的世界中，有一些人強烈認為個人隱私必須得到尊重，因此害怕公鑰加密遭到破壞一樣，在特德姜的世界中，也有人反對euonymic研究。自動機的人類雕刻師擔心，如果命名者能夠賦予自動機創造同類的能力，他們就會失去工作；此外，在特德姜的英國，人類在未來幾百年內將變得不能生育。研究人員希望能找到讓"'人類通過命名來延續自身'"的euonyms。至少從人類中心主義的角度來看，這似乎是一個崇高的目標，但倫敦精英們計劃，一旦發現這些euonyms，就限制它們的使用，以促進政府和貴族的優生議程。euonyms研究的贊助人菲爾德赫斯特勛爵宣稱"......一旦我們控制了人類生產，我們就有辦法防止窮人擁有如此龐大的家庭……'‘通過在選擇誰可以生育或不生育時做出一些判斷，我們的政府可以保護國家的種族血統'"。

在每一種情況下，破解密碼都是對公民自由的威脅。但矛盾的是，在《七十二個字母》的結尾，正是對公民自由的極端侵犯——即謀殺一名卡巴拉學者——導致了羅伯特維護工人階級生育權的新方法：他將尋找一種可以讓生物不育的人類自我復制的euonym，就像數學家約翰·馮·諾依曼理論中的自動機一樣。數學，自始至終都潛伏在幕后。

除法

今后，也許會有人證明數學其實并不具備人們一直相信它具備的一致性，所謂數學的美只是虛幻。在我看來，世間再沒有比這種事更煞風景的了。

——特德姜《除以零》

與《巴比倫塔》中的赫拉魯穆一樣，特德姜的故事《除以零》中的反主人公蕾妮也經歷了一次數學頓悟：然而，她的發現卻讓她陷入了虛無主義的絕望之中。故事共分九節，由兩個平行的非線性敘事組成，前面是解釋數學史和數學概念的章節介紹。在以字母 "A "標注的小節中，蕾妮是一位昔日的數學天才，如今已步入中年，她發展出一種革命性的形式主義——一種句法語言——使她能夠證明任意兩個實數彼此相等。正如特德姜在故事第六節導言中指出的，庫爾特·哥德爾證明了

“作為一種形式系統的算術無法保證不會得出１=２這樣的結果。這樣的矛盾也許永遠不會遇到，但卻無法證明絕對不會遇到。”

然而，通過在正規算術體系之外開展工作，蕾妮證明了一些在正規算術體系內永遠無法證明的東西：這一結果使數學變得毫無意義。她的丈夫卡爾認為："數學仍然有效。科學界和經濟界并不會因為意識到這一點而突然崩潰"，""但蕾妮卻認為這種數學是一種"噱頭"。她從小就相信數學的基本正確性：現在她發現自己的直覺 "背叛了她"。她關于數學不一致的證明對她來說是有意義的：她 "以自己變態的方式感覺它是正確的。她理解它，知道它為什么是真的，相信它"。面對她一直"知道"是正確的一切被推翻，她失去了清晰的思維和專注力；她夢見自己證明了生與死是平等的。她意識到數學一直以來都是一個虛假的偶像，這讓她產生了自殺的念頭。她不再知道自己是誰：失去了信仰，她必須在荒野中流浪。她想起了一個"放棄學術，賣手工皮具"的熟人。

第二個故事——包含在標有字母 "B "的小節中——側重于卡爾，他在讀研究生期間曾試圖自殺，但從那以后再也沒有絕望過。蕾妮的敘述主要集中在她與數學的關系以及與數學相關的自我意識上，而卡爾的敘述則主要集中在他與蕾妮的關系上。書中討論了他們初次見面時是什么吸引了他，并詳細描述了當蕾妮開始表現出對工作的沮喪時，他試圖理解她心中所想：當她專注于“夾雜著俄語評論的象形文字方程式”時，他試圖“解讀（她的）目光”。即使蕾妮與他分享了她的災難性啟示，她仍然是一個密碼：從根本上說，他是一個實用主義者，他無法理解她悲傷的深度，并試圖用邏輯論證（無法與她自己的論證相提并論）和周末出游的建議來緩解她的生存痛苦。最終，蕾妮自殺未遂，當他發現她的遺書并穿過房子沖向她時，他頓悟了：他意識到 "因為他無法理解是什么讓她做出這樣的舉動，所以他對她沒有任何感覺"。

最后，兩個平行的故事情節交織在一起：在她出院后，卡爾決定離婚，她最后一次嘗試解釋自己的情感，但為時已晚。

“一直縈繞在我腦際的東西絲毫不像我所想像的一切。如果那是常見的抑郁，我知道你會理解的，而且我們可以對付……可是，情況是這樣的，我幾乎像一個在證明并不存在上帝的神學家。我并不只是存在這種擔心，而是知道這是事實。這聽起來很荒唐嗎？……這是一種我無法向你表達的情感。這曾經是我深信不疑的東西，但現在它卻不是真實的，而且還是我證明出來的。”

他張開嘴想說他完全明白她的意思，他與她有同樣的感受。但他沒有說出來。因為這種感應將使他們分離，而不是凝聚在一起，所以他不能告訴她。

故事以這樣一個精致的悖論結尾：因為卡爾無法對她失去信仰（對數學、對作為數學家的自己）感同身受，所以他失去了信仰（對他們的婚姻、對他的移情能力），從而完全理解她所經歷的一切。這就是特德姜在他關于這個故事的注釋中討論的優雅設計的一個美麗范例（毫不奇怪）：結局"巧妙而又顯得完全自然"。特德姜寫道："當然，我們知道，出人意料卻又不可避免的結局并非真的不可避免；是人類的聰明才智讓它們暫時看起來如此"。事實上，特德姜從故事一開始就為這個結局做了鋪墊，故事的結構簡直就像一個數學證明。回想一下，也許是為了向哥德爾編號法——一種為形式語言的符號和公式分配數字的函數——致敬，特德姜將故事表面上分為 18 個敘事小節：表面上看，特德姜將故事分為 18 個敘事小節：9 個以蕾妮為中心，9 個以卡爾為中心。但事實上，正如亞歷克斯·卡斯曼（Alex Kasman）的網站《數學小說》（Mathematical Fiction）上的一篇匿名評論所指出的，故事只有一個：失去信仰的故事。蕾妮和卡爾的敘述在最后一個小節 "9A = 9B "中發生了碰撞。把這個等式的兩邊都除以 9（在數學是一致的宇宙中，這是一個有效的算術步驟，因為除數不是零），就得到了相等的 A = B：因此，1A = 1B，2A = 2B，等等。換句話說，蕾妮和卡爾的敘事弧線一直是相通的。最后，正如蕾妮必須或多或少地與數學決裂一樣，卡爾也必須與蕾妮決裂：具有諷刺意味的是，關于除法的兩個敘事一直都是連在一起的。

決心

我曾經以為這是你故事的開始……這就是結局……但現在我不太相信開始和結局了。

——露易絲·班克斯《降臨》

與《除以零》一樣，長篇小說《你一生的故事》——2016 年電影《降臨》就是改編自這個故事——交織著兩個相關的敘事：一個是與外星種族首次接觸的線性紀事，一個是對母女關系的非線性思考。每段敘述的敘述者都是語言學家露易絲·班克斯，這兩段敘述共同構成了一封寫給女兒的情書，從她決定懷上孩子的那一刻開始，也從她決定懷上孩子的那一刻結束（如果你相信有開始和結束的話）。

線性敘事的開頭非常簡單：外星人——人類稱之為七肢桶，因為每個外星人都有七條徑向對稱的肢體——在世界各地放置了112個雙向通信裝置，使人類和七肢桶能夠互相看到和聽到對方。露易絲和物理學家加里·唐納利是一個科學家小組的成員，他們被帶到其中一個望遠鏡前，負責與露易絲建立有意義的交流。

像七肢桶一樣寫作:非線性會意文字

露易絲最終確定，七肢桶的口頭語言和書面交流系統完全不同：她將它們分別稱為七肢桶A 和七肢桶B：

語言學家們在解碼口語語法方面取得了穩步進展......它并不像預想的那樣遵循人類語言的模式，但到目前為止還是可以理解的：詞序自由，甚至在條件語句中的分句沒有優先順序，這與人類語言的"普遍性"背道而馳。奇特，但并非不可理解。

作為一種口語，七肢桶A本身是線性的。事實上，給定一個七肢桶A 句子，我們就可以在它的詞集 S 上定義一個關系 ≤，即當且僅當 w1 在句子中先于 w2 說出時，w1 ≤ w2。用數學的術語來說，≤ 是 S 的線性排序。由于詞序在七肢桶A 中是自由的，等價句子可能對應于它們詞集的不同線性排序，但這并不改變每個句子的詞集都有唯一的線性排序這一事實，它是由說詞的順序引起的。

另一方面，七肢桶B 是非線性的：書寫一個七肢桶B 句子的過程中，并不會對其構成部分進行線性排序。事實上，這些部分與七肢桶A的單詞沒有任何關系。七肢桶B是一個復雜的半書寫系統：

術語semasiographic結合了希臘單詞semasia，意思是“意義”與“圖形”呈現風格…semasiographic的交流系統獨立于語言之外，在與口語相同的邏輯層面上傳達思想，而不是寄生于口語。它們可以在語言之外發揮作用. . . .在一種類型的符號學系統中，意義是通過任意編纂的符號的相互關系來表示的。數學符號……是這種傳統系統的一個例子，在這種系統中，數字、字母和大量的專門符號通常被理解為數字、事物和動作。

露易絲將七肢桶B句子的組成成分稱為語標。

看來，一個語標大致相當于人類語言中的一個書面單詞：它本身有意義，與其他語標組合在一起可以形成無窮無盡的語句。語言學家們無法給它下一個準確的定義，但也沒有人給人類語言中的"詞"下過令人滿意的定義。

但值得注意的是，在七肢桶B的句子中，語標沒有自然的線性排序。露易斯回憶起觀看七肢桶寫作的情景：

我把錄像帶倒到七肢桶按照上面翻譯的順序逐字書寫的地方。我放帶子，眼看著語標一個個成形，組成一團黑黑的蛛網。我反復放了好多次，最后，在第一筆寫完、第二筆還沒有開始的地方停住。現在，屏幕上只有彎彎曲曲的一條線。

我把這最初一筆與完成后的句子互相比對。我認識到，這一筆參與了這個句子的好幾個從句。開始時它是“氧”這個語標的一筆，明確有力，與其他筆畫截然不同；接著它向下一滑，成為描述兩顆衛星大小的比較詞的一個組成要素；最后這一筆向外一展，形成“海洋”這個語標拱起的脊梁。問題在于，這一筆是連續不間斷的一道線條，而且是弗萊帕落筆的第一畫。

用七肢桶B 書寫的句子并不對應于其語標的線性排序，因為多個語標共享組成部分，因此許多語標的部分會同時被書寫。這與七肢桶A 中單詞順序的靈活性不同：雖然七肢桶A 中多個不同的單詞順序可能會產生等價的句子，但每個句子中的單詞都是以獨特的、可識別的順序說出的。另一方面，半形句并不是在不連續的時間段內作為不連續的單位書寫的。它們彼此不同，但它們的形式在空間上重疊，它們的產生是同時進行的。(感興趣的讀者可在 Wolfram Research GitHub 存儲庫的子目錄 https://github.com/ WolframResearch/Arrival-Movie-Live-Coding/tree/master/ScriptLogoJpegs中找到這些語標的圖片（電影《降臨》中的語標由藝術家Maxine Bertrand創作，大致呈圓形，突顯了七肢桶B的非線性性質）。

露易斯描述了七肢桶B書寫句子所面臨的挑戰：

這意味著，早在寫下第一筆之前，七肢桶便已經知道整個句子將如何布局。

這個句子的其它筆畫同樣貫穿了幾個從句，筆筆勾連交織。抽掉任何一筆，整個句子的結構將全然不同，只好重新組織。七肢桶并不是一次只寫下一個語標，寫完一個再寫第二個。任何一道筆畫都不只與一個語標關聯，而是涉及好幾個語標。字符與字符之間融合到這種程序，我以前只在書法作品中見過，尤其是以阿拉伯文字寫就的書法作品。但那些作品是出自書法家手筆，事先經過精心安排。沒有人能夠連說邊寫，以這么高的速度完成如此復雜的作品。至少，人類做不到。

但最終，人類可以。隨著時間的推移，露易絲學會了如何閱讀和書寫七肢桶B，她的感知也開始模仿異種對話伙伴的感知。在《降臨》中，露易絲（艾米·亞當斯 Amy Adams 飾）和影片中的加里（杰瑞米·雷納 Jeremy Renner 飾）——莫名其妙地被重新命名為伊恩——向觀眾講解薩皮爾·沃爾夫假說（Sapir-Whorf hypothesis），該假說在特德姜的小說中扮演著重要的角色（盡管未加說明）：

伊恩：我讀過一些關于這個觀點的書，如果你沉浸在一門外語中，你的大腦就會被重新連接起來。

露易絲:是的，薩皮爾·沃爾夫假說……這是一種理論，即你所說的語言決定了你的思維方式。

露易絲在學習七肢桶B的過程中，開始像七肢桶一樣思考問題，而七肢桶的思維方式與人類截然不同。《降臨》中的一段畫外音說：

與語言不同，語標沒有時間限制......。七肢桶的書面語言沒有前進或后退的方向。語言學家稱之為非線性拼寫體系，這就提出了一個問題：它們是這樣思考的嗎？

的確如此。

像七肢桶一樣思考：變分原理

當加里和他的科學界同行發現七肢桶似乎不理解簡單的代數、幾何或人類認為是基本的物理原理時，他們感到困惑。顯然，七肢桶在科學上要比人類先進得多，然而七肢桶對數學和物理的理解似乎是最少的。

原來，這是因為七肢桶的第一物理原理與我們的有很大不同。物理學家終于有了突破，他們向七肢桶提出了費馬最小時間原理。加里向露易絲介紹了這一概念：他解釋說，如果一束光線從空氣中的 A 點射向水中的 B 點，那么"光線會沿著直線傳播，直到射入水中；水的折射率不同，所以光線會改變方向"。他指出，光線在理論上有許多可能的路徑。(見圖 3）。

圖3：光從 A 處（空氣中）到達 B 處（水中）的四種可能路徑。光線沿著實線前進。更多詳情，請參閱 "斯涅耳定律"

雖然在三維空間中，兩點之間的最短路徑總是一條直線（如圖 3 中最右邊的虛線），但由于光在水中的傳播速度比在空氣中慢，這意味著沿著直線路徑并不是光從A點到達B點的最快方式。

光線走的不是這條路徑，這是一條理論上的線。它比光實際走的路線還短些。但是，你要記住，我們的這一束光穿越空氣，進入水中。光在水里的速度比在空氣中慢。請看這條理論線，它的距離雖然比實際線更短，但理論線在水中的部分比實際線要長一些。所以，光線如果走這條理論線，雖然它的距離短，但所費時間比實際路線更長。

這第二條理論線，與實際線相比，這條線在水中的部分更少，但它的總長度比實際線長得多。光如果走這條路線，花的時間也同樣比實際線長。

光如果走上任何一條理論線，它在旅途中所費的時間都比實際線更長。換句話說，一束光實際所取的路線永遠是最快的的一條。這就是費馬的最少時間律。

加里承認他對費馬原理的第一次解釋過于簡單，并補充說類似的原理存在于“物理學的所有分支”：

“‘最少’這個詞有點誤導性。你瞧，費爾馬定律的最少時間還不夠全面。在某種情況下，光循著一條耗時最多路線。其實這種說法更準確：光所取的路徑具有極端性——或者耗時最少，否則便取耗時最多的一條。最少，最多，這兩個概念具有數學意義上的共性，兩種情況可以套用一個數學公式。所以準確地說，費爾馬定律并不是最少律，只是一項變分原理。”

“物理學的每一個分支學科都有。幾乎每一項物理定律都可以稱作變分原理，區別僅僅是看某一屬性取的是最大值還是最小值。”他把手一擺，活像物理學的各個分支全擺在他面前的桌子上。“在光學領域，也就是費爾馬最少時間律的應用領域上，取極值（是最大值或最小值）的屬性是時間。如果換了力學領域，則取另一屬性。電磁學當然又會取其它屬性。但從數學角度來看，所有這些定理全都是相似的。”

數學之旅

一個方程可以同時找到最大值和最小值，這種想法類似于第一學期微分學中的一個概念。連續函數 f 從實數集到實數集的局部最小值和最大值，只能出現在 f 的導數為0的c值處。在微積分中，我們的目標是最小化或最大化一個函數，即從函數集到所有實數集的映射，而不是一個函數；我們不是要找出函數導數為0的實數，而是要找出函數導數為0的函數。函數導數的定義超出了本章的范圍，但讀者可以在開放大學的《2016年微積分導論》單元中了解更多有關變分的知識。

讓物理學家們感到驚訝的是，除了算術之外，費馬最小時間原理是他們向七肢桶提出的第一個數學概念，而后者似乎能夠理解。加里和露易絲進行了如下交流，首先是加里的觀察：

“一束光實際選擇的路線永遠是最快的一條。這就是費爾馬的最少時間律。”

“說實在的，費爾馬定律居然會成為咱們的第一個突破口，這可真奇怪。這條定律用語言解釋起來很容易，但要想對它作出數學描述，只有用微積分才行，而且還不是普微積分，得用上變微積分。我們早先還估計會首先從代數或幾何的一些簡單定理作出突破哩。”

“的確奇怪。你有沒有這種想法，什么容易什么困難，七肢桶的看法也許跟我們人類不一樣？”

"沒錯。如果對他們來說，微積分比代數更簡單，那就可以解釋為什么我們在談論物理學時遇到了這么多麻煩. "

旅行結束

后來，當他們在一家中餐館吃飯時，露易絲告訴加里，費馬原理的某些東西對她來說似乎很奇怪。加里立即找出了她智力焦慮的原因:

“你習慣于從因果關系的角度考慮光的折射：接觸水面是因，產生折射改變方向是果。你之所以覺得費爾馬定律古怪，原因在于它從目的、以及達成目的的手段這個角度來描述光。好像有誰向光下了一道圣旨：‘令爾等以最短或最長時間完成爾等使命。’……物理學的一般公理都是因果關系，為什么費爾馬定律這樣的變分原理卻是目的導向？比如這里的光，好像有自己的目的。這已經接近于目的論了。”

他們的交流還在繼續，首先是露易絲提出了一個問題：

“我們假定，一道光束的目的就是取一條耗時最少的路徑。這道光束怎么才能選出這條路？”

“這個……好吧，我們設想萬物皆有靈魂，采用擬人化的說法。這束光必須檢查所有可能采取的路徑，計算出每條路徑將花費的時間，從而選出耗時最少的一條。”他一筷子叼走盤子里最后一個鍋貼。

“要做到你說的這一點，那道光束必須知道它的目的地是哪里。如果目的地是甲點，最快路徑就與到乙點全然不同。”

加里又點點頭，“一點沒錯。如果沒有一個明確的目的地，‘最快路徑’這種說法就失去意義了。另外，給定一條路徑，要計算出這條路徑所費時間，還必須知道這條路上有什么，比如有沒有水之類。”

我定定地注視著餐巾紙上的簡圖，“就是說，這道光束事先必須什么都知道，早在它出發之前就知道。對不對？”

“我們這么說吧。”加里道，“這道光不可能貿然踏上旅途，走出一段之后再作調整。需要重作調整的路絕不會是耗時最少的路徑。這道光必須在出發之初便完成一切所需計算。”

我在心里自言自語，這道光束，在它選定路徑出發之前，它必得事先知道自己最終將在何處止步。這一點讓我想起了什么，我很清楚。我抬頭望著加里，“這就是我一直覺得古怪的地方。我很不安。”

前記憶：非線性拼寫體系和非線性時間

許多科幻小說家都讓他們筆下的人物體驗非線性時間，并探索這種實驗幾乎不可避免地產生的悖論。有些作家嚴肅認真地對待這一問題，而另一些作家，如電視連續劇《神秘博士》（Doctor Who），則異想天開地對待這一問題：

人們認為時間是因果關系的嚴格遞進，但實際上，從非線性、非主觀的角度來看，它更像是一個搖擺不定的大球。("Blink" 2007)

但在現實世界中，人類的時間概念可以說是局部線性的，因為他們可以記住過去發生的事情，卻記不住未來會發生的事情。而七肢桶的時間概念是非線性的。露易絲闡述道：

加里頭一次向我解釋費爾馬定律那天，他說過，幾乎每一條物理定律都可以闡釋為變分原理，但人類頭腦在思考這些原理時往往將它們簡化為表述因果關系的公式。這我能夠理解：人類憑借直觀手段發現的物理特性都是某一對象在某一給定時刻所表現出來的屬性，諸如運動、速度等等概念都是這樣。按先后順序、以因果關系的方式闡述這些事件最方便：一個事件引發另一事件，一個原因導致一個結果，由此引發連鎖反應，事物于是由過去的狀態發展到未來的狀態。

與人類相反，七肢桶直覺到，物理屬性本身是沒有意義的，只有經過一段時間之后這些屬性才有意義可言。比如“動能”或其他我們人類需要用積分公式描述定義的物性。這些屬性用目的論的形式加以解釋最便利：對事件作一段時間的觀察，之后便會發現，這些事件本身具有某種要求，某種目的，比如最長時間或最短時間。對于一個事件來說，只有當它事先便了解自己的初始和終極階段，才能達成它的目的。事先便知道“果”——先于“因”的啟動便知道。

七肢桶的書寫就像它們徑向對稱的身體一樣，沒有 "前進 "或 "后退 "的方向；事實證明，它們的記憶也是如此。它們經歷的時間并不是一連串向前行進的時刻，在它們的記憶中，后面的時刻可以進入，而前面的時刻卻無法進入；相反，它們既知道 "過去 "發生了什么，也知道 "未來 "會發生什么。有人可能會問，一個人怎么可能知道未來會發生什么，同時還能保持自由意志呢？

七肢桶的觀念既非我們所想像的自由，也不像某些人所想像的那樣受約束它們既不是怎么想就怎么做，也不是毫無能動性的機器人。七肢桶意識模式中最突出的一點不是它們的行動與未來事件相合，而在于它們的動機它們的動機、未來事件的目的，這兩者是統一的。它們行動，使既定的末來成為現實，也使事件有了先后順序。

自由并不是一種虛幻的假象，在先后順序模式的意識中，它的的確確是真實的存在。在同步并舉式的意識中，自由這種觀念卻沒有多大意義，但同時也不存在“被迫”。兩種意識不一樣，僅此而已。這就好像在哈哈鏡前，看不見照鏡子的人，只能看到鏡中形象。鏡中出現的也許是個絕代佳人，也許是個鼻子上長著大瘤子的小丑，下巴長到胸口。兩種形象都是合理的闡釋，沒有“對”“錯”可言。但是，鏡子中一次只有一個形象，你無法同時看到兩個。

當露易絲開始形成類似七肢桶的意識時，她就會 "記住"--或許用 "預記 "這個詞更好——將要發生的事情，就像她記住已經發生的事情一樣。就像光線知道必須從哪里入水，才能在最短的時間內從 A 處到達 B 處一樣，露易絲知道自己的一言一行都必須符合 "時間順序"。她覺得自己必須達到這些要求，但又不覺得這是強制性的。在購物時，她看到一個沙拉碗，她預感到碗會從柜臺上掉下來，砸到她尚未出世的女兒的頭部。但她注意到：

這個動作并不像是我被迫做的。相反，當碗掉在我女兒身上時，我急忙去接住碗，這似乎也是一種本能，我覺得這樣做是對的。

她的人生故事

雖然線性敘事構成了這部長篇小說的主要內容，但故事的情感核心在于露易絲交織在一起的關于她與女兒關系的小插曲，我們可以根據她在《降臨》中的角色稱她為"漢娜"（在特德姜的故事中她沒有名字）。故事從露易絲宣布漢娜未來的父親加里"即將向我提出問題"開始，以問題本身——"你想生個孩子嗎？"和露易絲回答"我想"的決定性時刻結束。以及露易絲回答 "是的 "這一決定性時刻。這些小故事都是露易絲寫給尚未出生的漢娜的前塵往事，展現了她們共同生活中的點點滴滴：十幾歲的漢娜與母親爭論用吸塵器吸地板；6歲的漢娜熱切期待夏威夷之旅；14歲的漢娜在寫學校報告；嬰兒漢娜尖叫；25歲的漢娜在一次致命的攀巖事故后被父母認出。這些小故事以非時間順序呈現：當加里問她是否想要一個孩子時，露易絲已經能流利地使用七肢桶B，因此在她回答之前就知道了她和漢娜的整個未來將如何發展——事實上，在問題提出之前她就已經知道了。

文字上分離的線性敘事和非線性敘事最終在主題上結合在一起，就像《除以零》中蕾妮和卡爾的故事一樣。特德姜在《你一生的故事》的注釋中寫道：

我對物理學中的變分原理的喜愛催生出了這個故事。從一開始接觸物理，我就覺得這些原理讓人著迷。但我一直不知道應該怎么把這些定律作為故事元素寫進小說里。有一天，我看了一出由一個演員表演的話劇，說的是他妻子跟癌癥的搏斗。我受到了啟發，覺得自己也許能夠用變分原理寫個故事，描寫一個人面對無法避免的結果時的態度。幾年以后，這個想法和另一個朋友所說的她新出生的嬰兒結合在一起，組成了這篇小說的核心。

對于那些喜愛物理學的讀者，我應該指出：這個故事中對費爾馬最少時間律的討論略去了它在量子力學方面的內容，因為該定律的經典解釋更符合小說的主旨。

特德姜的這部長篇小說提出了一個根本性的問題：在明知自己的選擇會導致悲傷的情況下，你會選擇去愛嗎？至少對露易絲來說，這個問題的先驗答案是肯定的。她的行為就像七肢桶一樣，"與歷史的事件相吻合"，她的 "動機與歷史的目的相吻合"。她的未來是注定的：不是因為她沒有自由意志，而是因為她的選擇恰恰決定了她知道會發生的未來——事實上，未來的發生正是因為她的選擇。就像光線從 A 點到 B 點的時間最小化一樣，露易絲選擇生一個她知道會早死的孩子，也是在優化她的經歷。但優化可以是最大化，也可以是最小化：對露易絲來說，到底是哪一種呢？連她自己都不知道：

從一開始我就知道結局，我選定了自己要走的路，也就是未來的必經之路。我循路而前，滿懷喜悅，也許是滿懷痛苦？我的未來，它究竟是最小化，還是最大化？

露易絲很有可能兩者兼得。

結論

特德姜當然不是唯一一個在作品中探討數學主題的作家。許多作品——從《平面國》，到羅伯特·海因萊茵和伊恩·麥克尤恩各自的故事《他建造了一座彎曲的房子》（1941年）和《立體幾何》（1975年），再到低成本加拿大恐怖電影《異次元殺陣2》（2002年）——都運用了數學上的時空概念。此外，破解密碼——無論是字面上的還是象征性的——吸引了無數作者、讀者和觀眾的興趣：《Sneakers》（1992 年）中的數學家被謀殺，因為他在大數因式分解方面取得了突破，這大概會使公鑰加密技術過時（RSA 密碼學中的 "A"--Len Adleman 是該片的顧問）；《The Bank and π》（1998 年）中的數學家發現了預測股票市場行為的方法。

盡管如此，特德姜在他的著作中對數學的運用還是比較獨特的。《除以零》和《你的人生故事》都有數學結構。他的工作對情感的影響既具有數學知識，又與眾不同。

特德姜的故事建立在深厚的人文主義基礎之上，因此最深奧的哲學猜想也能引起共鳴和情感共鳴。例如，在《除以零》中，我們之所以對主人公產生痛苦的同情和憐憫，只是因為我們理解了數學悖論給她的生活帶來的危機。

這是科學問題，不是有待解決的難題，而是本體論的災難，也是人類的災難。同樣，特德姜在他的筆記中描述了《你一生的故事》是如何"從對物理學變分原理的興趣中成長起來的"：也許令人驚訝的是，這個故事的溫情及其令人震驚的動人結局，并不是在科學推測的基礎上實現的，而是科學推測的直接作用。

在特德姜的世界里，人文主義與理性主義密不可分。人物和作家的理性主義非但沒有 "冷 "對情感的 "暖"，反而使他們變得感性和人性化。

在特德姜的故事中，數學并不只是一個道具，甚至也不是一個角色：相反，數學是故事的框架。與蕾妮的故事一樣，特德姜故事中的智力與情感生活密不可分：在他的作品中，數學與情感，就像蕾妮欣賞的大理石瓷磚一樣，在 "令人難以置信的細線 "上交匯——與蕾妮一樣，我們可能會 "為其精確度而顫抖"。

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青山不改，綠水長流，在下告退。

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