自然 · 通訊：網絡不只是“小世界”，社群結構讓最短路徑變得“選擇困難”

導語

復雜拓撲結構的網絡可用于描述大量自然系統與社會系統。近期關于路徑多重性的研究表明，真實世界網絡中節點對之間的最短路徑數量存在顯著異質性，但其生成機制仍不清楚。該研究指出，社群結構是影響路徑多重性的關鍵因素。為此，研究引入相對路徑多重性指標，并發現社群結構與路徑多重性的相關性顯著強于其他網絡指標。通過邊重連實驗，研究驗證了二者之間的緊密聯系，并將其機制解釋為界面驅動效應，即社群邊界結構會顯著增加等長最短路徑數量。在此基礎上，研究提出基于部落結構的網絡模型，能夠較好復現真實網絡中的路徑多重性特征，并為網絡設計與優化提供參考。

關鍵詞：復雜網絡；路徑多重性；最短路徑；社群結構；糾結世界（hesitant-world）；相對路徑多重性指數（relative path multiplicity index, RPMI）；目標導向邊重連（target-oriented edge rewiring）；部落無標度模型

彭晨丨作者

論文題目：Community structure unveils the path multiplicity in complex networks 發表時間：2026年3月6日 論文地址：https://www.nature.com/articles/s41467-026-70369-4 論文期刊：Nature Communications

從“小世界”到“糾結世界”：

網絡中的路徑不止一條

復雜網絡是理解自然、社會與技術系統的重要語言。無論是社交關系、生物系統、交通網絡，還是通信網絡，它們都可以被抽象為由節點和邊組成的結構。在過去幾十年里，網絡科學最經典的發現之一是“小世界效應”：即便網絡規模很大，任意兩個節點之間通常也只需要很少幾步即可相互到達。另一個重要概念是無標度結構，它強調少數高度連接的節點在網絡中扮演樞紐角色。

然而，這篇文章提出了一個容易被忽視的問題：當兩個節點之間存在最短連接時，這條“最短路”是否只有一條？傳統研究往往關注最短路徑有多長，也就是從一個節點到另一個節點需要經過多少步；或者關注哪些節點、哪些邊在最短路徑中更為頻繁地出現，從而得到介數中心性（betweenness centrality）等指標。但研究者指出，除了“路徑長度”之外，另一個同樣重要的維度是“路徑數量”：在兩個節點之間，是否存在多條同樣短的路徑？這就是路徑多重性的核心含義。

更具體地說，路徑多重性指的是一對節點之間等長最短路徑的數量。近期研究已經發現，在許多真實世界網絡中，路徑多重性呈現出強烈異質性：大多數節點對之間可能只有少數最短路徑，但少數節點對之間卻可能擁有大量等長最短路徑。文章舉例指出，在一個只有242個節點的獼猴腦網絡中，某些節點對之間的最短路徑數量最高可達到649條，平均值也達到11.07。這意味著，我們生活的網絡世界不只是“小世界”，還可能是一個“糾結世界”（hesitant-world）：到達目標并不難，難的是有太多同樣短的選擇。

這種“糾結”并不是一個比喻，而是具有功能結果的結構特征。多條等長最短路徑可能增強網絡的魯棒性，因為當一條路徑失效時，信息、資源或交通仍可沿其他路徑傳播。但與此同時，它也可能造成流量集中在某些橋接節點或公共通道上，形成擁堵或脆弱點。在傳播過程中，多條并行路徑可能加快信息或疾病擴散；在導航和決策過程中，過多“最優選擇”也可能帶來類似心理學中“選擇過載”（choice overload）的效應，使代理、算法或個體在路徑選擇上變得更加復雜。

路徑多重性：

如何衡量網絡中的“選擇數量”

為了系統研究這一問題，研究者首先定義了幾個關鍵指標。對于一個簡單無向圖，任意兩個節點之間的最短路徑長度可以被記為兩者之間的最短距離；而連接這兩個節點的最短路徑數量，則被定義為路徑多重性數量（path multiplicity amount, PMA）。如果把所有節點對之間的PMA組織成矩陣，就得到路徑多重性矩陣（path multiplicity matrix, PMM）。

進一步地，研究者用路徑多重性指數（path multiplicity index, PMI）衡量整個網絡的平均路徑多重性。直觀理解，PMI越高，說明網絡中任意兩點之間平均存在更多條同樣短的路徑，網絡也就越具有“糾結世界”的特征。

圖 1. 影響路徑多重性的潛在因素。a. 散點圖展示了140個真實世界網絡中，路徑多重性與經典網絡指標之間的相關關系。b. 示例簡單網絡最初是一個鏈式網絡，初始 PMI 值為1。隨著邊密度增加，網絡逐漸變為完全連接網絡，相應的 PMI 值最終又回到1。c. 圖中展示了三類經典網絡模型中，PMI 隨邊密度 p 變化的情況。

不過，PMI本身會受到網絡規模和邊密度影響。一個網絡節點更多、邊更多，可能天然就會產生更多最短路徑。因此，如果直接比較不同真實網絡的PMI，很容易把規模和密度的影響誤認為網絡內部結構的影響。為了解決這個問題，研究者提出了相對路徑多重性指數（relative path multiplicity index, RPMI）。其核心思想是：將真實網絡的PMI與一個具有相同節點規模和邊密度的Erd?s–Rényi隨機網絡（ER random network）的PMI相比。這樣，RPMI就像一個“校準后的指標”，用于衡量真實網絡相對于隨機基線多出了多少路徑多重性。

這個設計把問題從“哪個網絡最短路徑更多”推進到“在排除規模和密度之后，什么結構因素讓某些網絡擁有異常多的最短路徑”。也正是在這個基礎上，研究者開始尋找路徑多重性的結構來源。

140個真實網絡：

社群數量最能解釋路徑多重性

研究者分析了140個真實世界網絡，并將RPMI與多個經典網絡指標進行比較。這些指標包括社群數量（community number）、平均度（average degree）、平均最短路徑長度（average shortest path length）、全局效率（global efficiency）、網絡直徑（diameter）、同配性系數（assortativity coefficient）、聚類系數（clustering coefficient）和k-shell指數（k-shell index）。

為了避免單一相關指標帶來的偏差，研究者采用了三種互補的相關分析方法：皮爾遜相關用于評估線性關系，斯皮爾曼相關用于評估秩次上的單調關系，象限計數比（quadrant count ratio, QCR）則通過中位數劃分來觀察變量是否在高—高或低—低象限中共同出現。這樣的組合能夠從線性、單調和粗粒度一致性三個層面檢驗關系是否穩健。

圖 2. 140個真實世界網絡中，相對路徑多重性與經典網絡指標之間的相關關系。

結果非常明確：在所有指標中，社群數量與RPMI的關系最突出。研究報告，社群數量與RPMI的斯皮爾曼相關達到0.8497，QCR達到0.9857，說明大多數網絡都呈現出一種高度一致的趨勢：社群數量多的網絡，往往具有更高的相對路徑多重性。相比之下，其他指標雖然也有一定關系，例如平均最短路徑長度、網絡直徑和全局效率與RPMI存在較高的秩相關，但它們在QCR和分布重疊上都不如社群數量穩定。

這一結果可以從圖1和圖2中直觀看出。圖1顯示，原始PMI與多個經典網絡指標的散點關系較為分散，沒有明顯趨勢；而圖2在使用RPMI之后，社群數量與路徑多重性之間出現了非常清晰的對應關系。研究者還通過小提琴圖展示不同RPMI水平下各網絡指標的分布，如果兩個分布重疊越少，說明該指標越能區分高RPMI與低RPMI網絡。結果顯示，社群數量對應的分布重疊最窄，進一步支持社群結構在路徑多重性形成中的關鍵作用。

為了讓這一結論更具可視化說服力，研究者展示了16個真實網絡。其中8個具有較高RPMI，另外8個具有較低RPMI。高RPMI網絡往往呈現出明顯的模塊化結構，擁有較多社群；低RPMI網絡則社群數量較少，結構更緊密或更少分裂。這說明，路徑多重性并不簡單由網絡大小決定，而與網絡如何被組織成多個社群密切相關。

圖 3. 基于 RPMI 值的真實網絡可視化。a. 八個具有較高 RPMI 值的真實世界網絡。b. 八個具有較低 RPMI 值的真實世界網絡。

值得注意的是，社群檢測算法本身可能影響社群數量，因此研究者進一步測試了多種經典社群檢測算法，包括Leading Eigenvector、Walktrap、Leiden、Label Propagation、Infomap和Louvain方法。盡管不同算法得到的社群數量并不完全相同，但RPMI與社群數量之間的斯皮爾曼相關始終高于0.8，QCR也都高于0.9。也就是說，這一結論并不依賴某一種特定社群檢測算法，而具有較強穩健性。

目標導向邊重連：

社群結構不是偶然相關，而可能具有因果作用

僅有相關性還不足以說明社群結構真的塑造了路徑多重性。因此，研究者進一步設計了目標導向邊重連實驗（target-oriented edge rewiring）。這一方法的基本思想是，在保持網絡節點數和邊密度不變的前提下，有意識地改變網絡的邊連接方式，并觀察目標指標與相關指標如何共同變化。這樣可以更接近“因果檢驗”：如果我們主動增加路徑多重性，社群數量是否也會上升？反過來，如果我們主動增加社群數量，路徑多重性是否也會上升？

研究者在三類經典模型網絡上進行了實驗：ER隨機網絡、Newman-Watts小世界網絡（NW small-world network）和Barabási-Albert無標度網絡（BA scale-free network），每類網絡均設定為1000個節點。首先，研究者通過貪婪原則重連邊，使網絡的PMI逐步增加，同時觀察社群數量變化。結果顯示，當PMI上升時，社群數量也整體呈上升趨勢。例如在ER隨機網絡中，PMI從3.90增加到21.65，而檢測到的社群數量從4個增加到14個。

圖4. 三類模型網絡中的目標導向邊重連。a. 通過目標導向邊重連逐步優化 PMI 時，社群數量 n?c? 的變化。隨著 PMI 增加，被檢測到的社群數量 n?c? 總體上也趨于增加。b. 通過目標導向邊重連逐步優化社群數量 n?c? 時，PMI 值的變化。在這一情境下，邊重連的目標是增加 n?c?，結果表現出 PMI 值上升的趨勢。

隨后，研究者反向操作：以增加社群數量為目標進行邊重連，再觀察PMI變化。結果同樣顯示，隨著社群數量增加，PMI也顯著上升。圖4展示了這一過程：無論是在ER、NW還是BA模型網絡中，只要通過邊重連增強社群結構，路徑多重性就隨之增加；反過來，優化路徑多重性也會推動社群數量增加。

界面驅動效應：

為什么社群會放大最短路徑數量

那么，為什么社群結構會制造出大量等長最短路徑？研究者提出，這一現象可以由界面驅動效應（interface-driven effect）加以解釋。

在一個具有多個社群的網絡中，社群內部通常連接較密，而社群之間依賴少量跨社群邊連接。這些跨社群邊及其端點節點構成了社群之間的連接“界面”，即不同模塊之間進行路徑銜接的關鍵通道。當一個節點要到達另一個社群中的節點時，路徑往往需要穿過這些接口。如果網絡中存在多個功能相近、長度相等的邊界節點和橋接邊，那么從源節點到目標節點的最短路徑就可能通過不同組合實現。

這種組合效應會迅速放大最短路徑數量。簡單說，如果從社群A內部到邊界有幾種同樣短的走法，從社群A到社群B有幾條同樣短的跨社群連接，而從社群B邊界到目標節點又有幾種同樣短的走法，那么這些局部選擇會彼此相乘，最終產生大量全局等長最短路徑。因此，社群結構并不是簡單地把網絡分成若干塊，而是在模塊邊界處創造了大量可以組合的最短路徑方案。

這一機制也解釋了為什么路徑多重性并不等同于聚類系數或平均度。一個網絡可以有很高的局部聚類，但如果缺少多個社群之間的邊界組合，它未必會產生大量跨模塊等長最短路徑。相反，一個由多個社群構成、并通過有限但多樣的界面連接在一起的網絡，更容易表現出“糾結世界”特征。

部落無標度模型：

讓模型網絡也擁有真實網絡的“糾結”

在識別出社群結構的重要性之后，研究者進一步提出了一種新的生成模型：部落無標度模型（Tribal Scale-Free model, TSF）。這個模型的設計目標是再現真實網絡中的層級性、模塊性和路徑多重性。

TSF模型的生成過程可以概括為四個階段。首先，給定一個總網絡規模和社群數量，將所有節點隨機分配到不同“部落”（tribes）中。其次，在每個社群內部生成一個無標度子網絡，使每個社群內部具有類似真實網絡的度分布結構。再次，通過受控數量的跨社群邊將不同社群連接起來，保證整個網絡形成一個連通整體。最后，將社群內部邊和社群之間邊合并，得到完整的TSF網絡。

這個模型的關鍵在于，它不是把網絡看成均勻隨機連接的整體，而是先生成多個內部具有無標度特征的社群，再通過有限的跨社群連接將它們組織起來。這正好對應真實網絡中的“模塊內部復雜、模塊之間有限連接”的結構特征。

研究者將TSF模型與三類經典模型進行比較：ER隨機網絡、NW小世界網絡和BA無標度網絡。比較對象包括路徑多重性分布、最大PMA值和整體PMI值。結果顯示，TSF模型明顯優于其他模型，能夠更好再現真實網絡中的“糾結世界”特征。

圖5. 驗證所提出的 TSF 模型的有效性。a. 將真實網絡的 PMA 分布、最大 PMA 值和 PMI 值，與四類典型模型網絡的合成結果進行比較。b. 展示代表性真實世界網絡的 Φ(G) 與相應模型網絡 G?TSF?、G?ER?、G?NW? 和 G?BA? 的 Φ(G) 之間的散點圖。

上圖給出了典型案例。例如在Bio-SC-LC網絡中，真實網絡的PMI為21.50，最大PMA值為7189；對應的TSF模型PMI為21.46，最大PMA值為7201，幾乎高度接近真實網絡。相比之下，ER、NW和BA模型的PMI分別只有4.99、6.79和8.42，最大PMA值也明顯偏低。這說明，經典隨機網絡、小世界網絡和無標度網絡雖然能夠捕捉某些網絡性質，但難以充分解釋真實網絡中的路徑多重性；而引入社群組織的TSF模型更接近真實網絡結構。

結語：

網絡中的“選擇困難”，來自結構本身

這篇文章將我們對復雜網絡的理解從“多遠能到達”推進到“有多少種同樣短的方式可以到達”。它指出，真實世界網絡不僅具有小世界效應，也具有“糾結世界”特征：在許多情況下，最短路徑不是唯一的，而是大量并存的。

更重要的是，研究者發現這種現象并非偶然，也不是簡單由網絡規模、密度或平均度決定。真正關鍵的是社群結構。一個網絡被劃分為越多社群，并通過邊界節點和跨社群邊相互連接，就越可能產生大量組合式的等長最短路徑。通過RPMI、相關分析、目標導向邊重連和TSF生成模型，研究從統計觀察、模擬驗證到模型再現，逐步建立了社群結構與路徑多重性之間的邏輯鏈條。

如果說“小世界”告訴我們復雜網絡中節點之間距離很近，那么“糾結世界”則提醒我們：距離近并不意味著路徑簡單。真實網絡的復雜性不僅體現在它能把遠處連接起來，也體現在它為同一個目標提供了多少條看似同樣合理的路線。路徑多重性讓我們看到，網絡結構不僅決定可達性，也決定選擇、冗余、擁堵、傳播與魯棒性的深層邏輯。

論文作者：

復雜網絡動力學讀書會

集智俱樂部聯合合肥工業大學物理系教授李明、同濟大學副教授張毅超、北京師范大學特聘副研究員史貴元與在讀博士生邱仲普、張章共同發起 。本次讀書會將探討：同步相變的臨界性、如何普適地刻畫多穩態與臨界點、如何識別并預測臨界轉變、如何通過局部干預來調控系統保持或回到期望穩態、爆炸逾滲臨界行為的關鍵特征、不同類型的級聯過程對逾滲相變的影響有何異同、高階相互作用的影響能否等效為若干簡單機制的疊加、如何有效地促進人類個體間的合作等問題。讀書會已完結，現在報名可加入社群并解鎖回放視頻權限。

詳情請見：

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