多位數(shù)學家談AI在數(shù)學領(lǐng)域的影響：數(shù)學的AI拐點已出現(xiàn)

編輯丨coisini

數(shù)學是一門推理嚴謹、邏輯縝密的學科，這與人工智能（AI）的「黑箱」特性看似背道而馳。然而，這一印象在 2025 年被徹底顛覆。

近日，發(fā)表于《Quanta Magazine》的一篇報道，歸納總結(jié)了多位數(shù)學家對 AI 在數(shù)學領(lǐng)域影響的觀察與思考。ScienceAI 對《Quanta Magazine》報道核心內(nèi)容進行了不改變原意的編譯、整理，內(nèi)容如下。

2025 年 7 月，多個人工智能模型在國際數(shù)學奧林匹克競賽中解決了六道題中的五道。數(shù)學家們感到震驚 —— 難以預料到 AI 程序能這么快變得如此強大，但這些結(jié)果并不一定意味著 AI 將在數(shù)學研究領(lǐng)域取得重大突破。畢竟，奧賽題目只是已知答案的難題，而非未解之謎。

但轉(zhuǎn)折點已經(jīng)出現(xiàn)。

那些曾認為 AI 模型錯誤百出、難堪大用的數(shù)學家們開始嘗試將其納入研究工具。他們驚訝地發(fā)現(xiàn) AI 不僅擅長解謎題，還能幫助開辟真正的新領(lǐng)域。很快，數(shù)學家們開始利用 AI 發(fā)現(xiàn)并證明新的結(jié)果，一天之內(nèi)就能完成過去需要數(shù)周甚至數(shù)月的工作。

「2025 年是 AI 真正開始在許多不同任務(wù)上發(fā)揮作用的一年」，著名數(shù)學家陶哲軒表示。

雖然沒有任何單一成果能稱霸世界，但其中一些已經(jīng)達到專業(yè)數(shù)學期刊發(fā)表成果的水平。在某些情況下，算法能在極少人工干預下提出猜想、證明它并驗證證明過程。此外，與 ChatGPT、Claude 或 Gemini 等大型語言模型的廣泛對話催生了全新的證明策略。

「這個人有鏟子，那個人有鎬頭。我們一起就能挖通隧道，很多嘗試就像『往墻上扔東西，看哪個能粘住』」，陶哲軒這樣比喻。

多倫多大學數(shù)學教授 Daniel Litt 表示，即使是解決簡單問題，AI「也在改變數(shù)學的研究方式」。

陶哲軒認為：數(shù)學的研究方式很快就會發(fā)生巨大變化。過去數(shù)學家一次研究一個問題，「有了這些工具，你可以一次解決成千上萬的問題，并開始進行統(tǒng)計研究，我們將不得不進行許多范式上的變革、文化上的變革」，陶哲軒說道。

這些變革必然會面臨爭議，數(shù)學界與其他正在努力應(yīng)對 AI 影響的學科一樣。普林斯頓高等研究院教授、菲爾茲獎得主 Akshay Venkatesh 表示，隨著 AI 模型成為強大的新工具，它們可能會導致數(shù)學家失去對數(shù)學理解的直接體驗。與陶哲軒一樣，Venkatesh 也認為 AI 的影響將是巨大的，但他更為謹慎：「我們（數(shù)學）文化中有一些寶貴的東西應(yīng)該努力保留?！?/p>

一些數(shù)學家現(xiàn)在正離開學術(shù)界，前往 OpenAI、谷歌等大型科技公司工作，或加入專注于數(shù)學的 AI 初創(chuàng)公司，如 Harmonic、Logical Intelligence、Axiom Math 和 Math Inc。

「企業(yè)界對 AI 在數(shù)學領(lǐng)域如此感興趣的一個原因是，人們認識到通用智能的關(guān)鍵在于結(jié)合從機器學習中獲得的洞察與從數(shù)學中獲得的精確性」，卡內(nèi)基梅隆大學數(shù)學輔助推理研究所所長 Jeremy Avigad 說。

到 2026 年年初，對 AI 能力的震驚已轉(zhuǎn)變?yōu)槟撤N近乎驚嘆的情緒。2 月份一項名為「First Proof」的挑戰(zhàn)賽讓參賽者在一周內(nèi)用他們的 AI 模型解決數(shù)學各領(lǐng)域的 10 個研究級問題。數(shù)學家們特意選擇了那些不太可能出現(xiàn)在算法訓練數(shù)據(jù)中的問題。在不同程度的自主性下，這些模型成功解決了超過一半的問題。如果說奧賽結(jié)果代表了 AI 進入雄心勃勃的大學數(shù)學項目的時刻，那么 First Proof 的結(jié)果可以說標志著它們完成了研究生學業(yè)。在一篇分析 First Proof 挑戰(zhàn)賽結(jié)果的文章中，Litt 寫道：「這項技術(shù)很可能比計算機本身更重大。」

創(chuàng)造性進化

2025 年夏天是 AI 能力的一個拐點，而這并非憑空而來。谷歌 DeepMind 科學副總裁 Pushmeet Kohli 表示，DeepMind 自 2018 年以來一直在嘗試用 AI 解決數(shù)學問題。現(xiàn)任職于 Axiom 的 Fran?ois Charton 早在 2019 年就開始嘗試利用機器學習解決數(shù)學問題。

但在最初幾年，這只是一個冷門領(lǐng)域。起初，Charton 和其他少數(shù)人使用 AI 解決已知答案的問題，只是為了看看新技術(shù)能否奏效。到 2024 年，他們開始取得進展。他們尋找有豐富數(shù)據(jù)可供分析的問題，然后用 AI 構(gòu)建具有可量化屬性的數(shù)學對象 —— 例如在網(wǎng)格上放置點以避免形成等腰三角形的最佳排列方式。

2025 年 1 月，陶哲軒和布朗大學的 Javier Gómez-Serrano 開始與 DeepMind 的兩位數(shù)學家 Adam Wagner 和 Bogdan Georgiev 合作開發(fā)一個名為 AlphaEvolve 的 AI 系統(tǒng)。AlphaEvolve 的工作原理是使用 Gemini 編寫可能長達數(shù)百行的 Python 代碼程序，然后利用所謂遺傳算法「進化」這些程序，以尋找數(shù)學問題的最優(yōu)解。四位數(shù)學家每隔一兩天就用 AlphaEvolve 研究一個新問題，持續(xù)了幾個月。

在這個過程中，他們也學會了如何改進給 AlphaEvolve 的提示。一個關(guān)鍵發(fā)現(xiàn)：模型似乎能從鼓勵中受益 —— 比如「你能做到」。

到 5 月底，該團隊已在數(shù)學多個領(lǐng)域的 67 個不同問題上測試了 AlphaEvolve。在其中 23 個問題上，AlphaEvolve 對已知最優(yōu)解做出了小幅改進。在 67 個問題中的 36 個上，它的表現(xiàn)與已有成果相當；而在其余少數(shù)問題上，它未能匹配已知最優(yōu)結(jié)果。

數(shù)學家們在 2025 年 11 月的一篇論文《大規(guī)模數(shù)學探索與發(fā)現(xiàn)》中分享了他們的發(fā)現(xiàn)。Gómez-Serrano 指出，他們的任何一個成果，如果由某個領(lǐng)域的專家投入數(shù)月時間，或許也能獲得。但他們并非領(lǐng)域?qū)＜遥瑓s能在短短一兩天內(nèi)得到相當?shù)慕Y(jié)果。

正如陶哲軒所說，當前的 AI 模型「非常擅長在大規(guī)模問題列表中尋找『容易摘取的成果』」。這些工作繁瑣、吃力不討好，人類研究者并不愿意做。他還提醒說，模型們正在「大量未報告的失敗之海中取得零散的成功」，而這些成功值得關(guān)注。

Gómez-Serrano 估計，他現(xiàn)在大約三分之二的時間都在使用 AI。他說：「（AI）正變得有用且可用。這是我們未來進行數(shù)學研究的新方式的開始?！?/p>

錯漏百出

前幾年，AI 的額外能力似乎源于它能夠重新挖掘埋藏在晦澀參考文獻中、早已被遺忘的證明。加州大學洛杉磯分校的 Igor Pak 曾指出，ChatGPT 目前「在查找參考文獻、學術(shù)相關(guān)性等方面表現(xiàn)出色」。

然后，在 2025 年，蘇黎世聯(lián)邦理工學院的 Johannes Schmitt 表示，情況發(fā)生了變化，他說：「與 LLM 對話開始變得有用，不是因為它們會給你完整的答案，而是因為它們成了很好的對話伙伴?！?/p>

Schmitt 指出，AI 模型的有趣之處在于：一個受過任何數(shù)學訓練的人，幾乎不可能在犯下如此多基本錯誤的同時，還能提出精妙、原創(chuàng)且正確的想法。

加州大學洛杉磯分校的 Ernest Ryu 主要研究應(yīng)用數(shù)學的一個分支 —— 優(yōu)化理論。他在奧賽結(jié)果之后也更加關(guān)注 LLM，并開始用它們幫助準備講義。他說：「有時 AI 模型會發(fā)現(xiàn)我推理中的一個錯誤，可能是重大的，可能是微小的。有時它甚至會找到一個比我講義中更簡單的證明?！?/p>

他有一種感覺，AI 模型正在「展現(xiàn)出生命的跡象」。他記得自己當時既懷疑又樂觀。為了親自判斷 LLM 能做什么、不能做什么，他決定做一個實驗。

他開始著手解決優(yōu)化理論中一個未解決的問題，這個問題他過去曾嘗試過幾次。這一次，他使用了 ChatGPT。

Ryu 研究的問題最早于 1983 年由一位名叫 Yurii Nesterov 的俄羅斯數(shù)學家提出。Nesterov 試圖尋找那些以多變量為輸入、輸出單個數(shù)值且以特定數(shù)學方式表現(xiàn)「良好」的函數(shù)的最小值。如果把輸出想象成一幅高程地圖，你要證明最終會收斂到最低點。

這類問題在應(yīng)用數(shù)學中相當常見，尤其是在機器學習中，它是訓練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的核心。一種廣泛使用的技術(shù)叫做梯度下降法，假設(shè)你從地圖上的某一點開始，它使用微積分的基本工具來判斷哪個方向是下坡，以及你所站位置的山坡有多陡。每次都沿著最陡的方向向下走一步，你最終會到達最低點。

盡管梯度下降法能讓你得到正確答案，但有時它到達答案的速度非常慢。因此，數(shù)學家們長期以來一直在尋找能更快收斂到正確答案的變體。Nesterov 開發(fā)了一種技術(shù)，其中每一步下坡的大小不僅取決于函數(shù)在給定點的陡峭程度，還取決于你到達該點所經(jīng)過的路徑。如果你過去邁的步子更大，你就會繼續(xù)保持大步幅。

直觀上看，這種方法似乎能讓你更快到達山底。但如果速度太快沖過頭了呢？你可能會面臨在真正最小值附近無限振蕩、永遠無法達到的風險。Nesterov 無法證明他的算法最終會收斂到最優(yōu)值。42 年來，也沒有其他人能做到。

Ryu 說當他詢問 ChatGPT 時，它一直給出錯誤的證明，但過程中有一些有趣的步驟、一些正確且似乎可能有用的部分結(jié)果。隨著模型逐步推進，Ryu 開始檢查它的答案，保留正確的部分，并通過新的提示將其反饋給模型。

Ryu 說：「我不得不扮演驗證者的角色，使用 ChatGPT 時，我感覺自己覆蓋了非常多的內(nèi)容，速度比我獨自完成要快得多。這就是讓我堅持下去的原因?！?/p>

在大約 12 個小時的工作之后，他得出了該問題一個簡化版本的證明。又過了幾天，他終于證明了 Nesterov 的方法是收斂的。Ryu 說：「這是一個可以在頂級優(yōu)化期刊上發(fā)表的成果（不考慮 AI 輔助成分）?！?/p>

幾個月后，Ryu 從加州大學洛杉磯分校請假，前往 OpenAI 工作。他認為我們終將得到真正令人印象深刻、由 AI 輔助的重大發(fā)現(xiàn)。

應(yīng)用案例

2025 年 9 月，來自世界各地的 100 多名數(shù)學家聚集在布朗大學，參加一個關(guān)于代數(shù)組合學的特別項目。

出于不同的原因，他們都有興趣計算一個叫做 d-invariant 的量，這個量出現(xiàn)在數(shù)學的許多領(lǐng)域。要理解 d-invariant 是什么，首先需要了解其中一個領(lǐng)域中一個被深入研究的對象 —— 置換群。這個對象描述了一組物品（如一副撲克牌中的牌）可以洗出的不同排列方式。

如果你只有一張牌，你無法洗牌。所以置換群 S?只有一個元素。S?有兩個元素：如果你有兩張牌，它們可以有兩種排列順序。S?變得稍微復雜一些：三張牌有六種不同的排列方式。

這些不同的排列方式可以排列成一個由頂點和邊組成的網(wǎng)絡(luò)，稱為圖。起始排列 123 放在底部。圖的每條邊（畫成箭頭）代表兩張牌的交換：

隨著牌數(shù) n 的增加，S?增長得非?？?—— 使得 S?之后的群幾乎不可能畫出此圖。S??的元素數(shù)量大約相當于可觀測宇宙中的原子數(shù)量。

數(shù)學家們嘗試研究置換群中排列之間的 Bruhat 序及區(qū)間。由于大置換群的情況極為復雜，他們借助 AI 系統(tǒng) AlphaEvolve 分析了數(shù)十個置換群。AI 生成了約 50 行 Python 代碼，并意外發(fā)現(xiàn)當排列數(shù)為 2 的冪時，代碼可簡化為 5 行，且對應(yīng)的 Bruhat 區(qū)間形成了超立方體（hypercube）結(jié)構(gòu)。

這一結(jié)構(gòu)此前 50 年未被注意。AI 并非按指令尋找超立方體，而是自主揭示了這一隱藏模式。這意味著，借助大語言模型，數(shù)學家能快速實驗，發(fā)現(xiàn)意想不到的豐富結(jié)構(gòu)。

類似地，AI 模型在代數(shù)幾何中也扮演著重要角色。斯坦福大學數(shù)學家、美國數(shù)學會現(xiàn)任主席 Ravi Vakil 就專攻這個領(lǐng)域。

Ravi Vakil 等數(shù)學家著手研究球面嵌入旗簇的方式，每種嵌入對應(yīng)一個多項式方程。隨著多項式次數(shù)增加，相關(guān)空間應(yīng)趨近于連續(xù)嵌入空間。他們驚訝地發(fā)現(xiàn)這種趨近發(fā)生得很快，并與 DeepMind 合作，利用 Google Gemini 上的兩個專用模塊（DeepThink 和 FullProof）進行驗證。

這也許是當前 AI 如何發(fā)揮作用的一個典型例子。一群數(shù)學專家，在一家大型科技公司的幫助下，以比原本更快的速度弄清楚了某件事。

當然，在探討 AI 對數(shù)學研究的影響時，我們不應(yīng)只關(guān)注成功案例。Litt 提醒說：「AI 生成的胡言亂語對公共空間造成了大量污染?！?/p>

數(shù)學家們寄希望于形式化證明 —— 將證明轉(zhuǎn)換成計算機能理解的語言，然后使用計算機程序來驗證證明中的所有邏輯是否成立。

許多數(shù)學家還認為，AI 數(shù)學能力不斷增強帶來的另一個主要挑戰(zhàn)是，它將如何影響學生的學習方式。有數(shù)學家稱：「存在一個嚴重的風險：在加速數(shù)學研究進步的同時，AI 可能會阻礙我們培養(yǎng)出更多的數(shù)學研究者。」

人們對 AI 最大的期望是，它將幫助數(shù)學家發(fā)現(xiàn)并證明數(shù)學謎題。但眼下這場 AI 變革，或許還有很多可能性。

原文鏈接：https://www.quantamagazine.org/the-ai-revolution-in-math-has-arrived-20260413/