埃舍爾的魔法：對稱平面的建立與廢除

女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

我喜歡看、思考或與朋友討論各種各樣的埃舍爾作品。其中包括他畫的野花、意大利風景、“不可能的圖形”和周期性的繪畫。我最喜歡的是他的野花。它們既有力度又微妙。它們強調本質而忽略其他，這也是好的自然科學模型的特征。然而，我預計埃舍爾的周期性繪畫將是他所有作品中影響最持久的。本文探討了這些繪畫對科學家的吸引力。

當引入廢除對稱平面的概念時，就意味著對稱平面已經建立。的確如此，因為反射是最常見的對稱。說到對稱，我們首先想到的是人體的兩側對稱，無論這種對稱多么近似。在這種情況下，對稱平面將人體一分為二。對稱平面在自然界和人類的創造物中無處不在。然而，就空間的良好利用而言，它的作用卻受到了極大的限制。本文要傳達的信息是，無論是埃舍爾的周期性繪畫，還是晶體結構，抑或是生物分子的相互作用，對稱平面都不是常見的對稱元素。

最密堆積與互補

埃舍爾的周期性繪畫提供了最密堆積的模型。它們被廣泛用于展示二維圖案的對稱特性。在大多數情況下，最密堆積是通過結構元素排列的互補性實現的。生成這些圖案的對稱運算很少包括對稱平面。只有在結構元素本身具有高度對稱性的極端情況下，才會涉及到對稱平面。然而，對于任意形狀的結構，如果使用對稱平面，就會使相當大塊的表面未被覆蓋，從而排除最密堆積。最密集堆積意味著最大限度地利用可用空間，無論是表面還是三維空間。當然，在埃舍爾的作品和大多數晶體學教材中，重點都是二維平面。

最大限度地利用可用空間是最密集堆積的目標。自伽利略以來，“大自然厭惡真空 ”這一經驗之談被反復提及，但卻很少有人仔細研究。我的論斷是，在自然界中尋找結構元素最佳排列方式的最終目標并非受這一原則支配。相反，在更深層次上存在著一個基本原則，即所尋求的排列方式應該提供最大的穩定性，也就是最低的總能量。當結構元素之間可能發生的相互作用達到最大程度時，就會出現這種情況，前提是這些元素具有吸引力。在這種情況下，當相互作用的表面積達到最大時，相互作用的數量就會達到最大。兩個任意形狀相同的部件互補排列就能滿足這一條件。在一般情況下，如果兩塊材料通過一個對稱平面相連，互補性就遠遠達不到最大化。在此，我們將引用從盧克萊修到分子生物學最新發現的一些例子，來說明互補性概念的實用性。

用盧克萊修的話說

埃舍爾的畫是平面上最密集堆積的最美范例。一個物體的空隙被另一個物體的突起填滿。

盧克萊修（約公元前 96 年-約公元前 55 年，羅馬共和國末期的詩人和哲學家）在兩千年前就提出了最佳堆積排列的基本原則。事實上，他提出了互補原則。盧克萊修在他的《自然論》（Deerum natura）中指出：[3]

事物的面料呈現出相匹配的對立面、

一個凹，另一個凸，就會形成最緊密的結合，反之亦然。

重要的預測

分子晶體提供了自然界最密集堆積的無數實例。偉大的俄羅斯晶體學家亞歷山大·基塔哥羅斯基（Aleksandr I. Kitaigorodskii）在這一科學領域做出了獨特的貢獻。[4] 他預言，在晶體結構中，低對稱性的三維空間群比高對稱性的空間群更為常見。這是在很少有人通過實驗確定晶體結構的情況下做出的預測。

Kitaigorodskii曾經說過，“第一流的理論預測，第二流的理論禁止，第三流的理論在事后解釋。”即使是第三流理論也很重要，因為即使我們沒有預料到我們的發現，至少我們想在事后理解它們。然而，當我們的發現可以被合適的理論或模型預測時，那就完全是另一回事了。只有當我們真正理解所研究的現象時，這種情況才會發生。因此，Kitaigorodskii對三維空間群分布的成功預測意味著對分子堆積基本原理的理解。

Kitaigorodskii發現分子的堆積是空間互補的。為了達到最密集的堆積，任意形狀的分子以最佳的排列互補。因此，如果分子以一個分子的空腔與另一個分子的空腔相匹配的方式彼此轉向，則具有空腔和突起形狀的分子將不會最有效地利用可用空間。如果它們通過反射相關，就會是這種情況。相反，最好的排列是當一個分子的突起與另一個分子的空腔相吻合時，以此類推。這是互補原則的另一種表達，它在科學中以如此多的方式出現，因為它在自然界中也是如此。

進入分子生物學

當然，空間互補原則本身并不是Kitaigorodskii的發明。他只是將它發揮到了極致，最終預測出晶體結構中230個三維空間群的頻率分布。

1940年，兩位未來的諾貝爾獎獲得者——結構化學家萊納斯·鮑林（Linus Pauling）和由物理學家轉為生物學家的馬克斯·德爾布呂克（Max Delbruck）——聯合發表了一篇重要文章。他們在《科學》上發表的論文標題為 “生物過程中分子間作用力的性質”。[帕斯卡爾·喬丹（Pascal Jordan）曾提出，量子力學穩定相互作用優先作用于相同或幾乎相同的分子或分子的一部分。該建議與生物分子合成過程有關，導致細胞中分子的復制。鮑林和德爾布呂克認為，互補部分之間的相互作用比相同部分之間的相互作用更重要。他們認為，范德華吸引和排斥、靜電作用、氫鍵形成等分子間相互作用使兩個并列的具有互補結構的分子系統具有穩定性，而不是兩個具有相同結構的分子。因此，他們認為在討論分子間相互作用時應首先考慮互補性。

通過雙螺旋最終發現脫氧核糖核酸（DNA）的功能機制，是分子生物學中互補性最著名的例證。這一發現的直接關鍵是 Erwin Chargaff 發現的堿基互補性。

低對稱性更好地堆積

鮑林和德爾布里克對分子間作用力性質的描述似乎直接適用于分子晶體的堆積。對于Kitaigorodskii來說，除了他出色的猜想之外，他還花費了多年時間進行艱苦的測量，才得出了經得起時間考驗的正確結論。

在他的科學研究計劃的早期，Kitaigorodskii決定使用相同但任意的形狀來探索平面上可能的最佳排列。他建立了二維層的對稱性，使得相對于層晶胞的傾斜軸，分子的任意傾斜角度的配位數為6。他發現這樣的排列總是在最密集的排列中。我們在這里引用一個任意形狀分子的一般情況的例子。Kitaigorodskii致力于選擇二維空間群的任務，對于這些空間群，有效地堆積任意形狀的分子是可能的。這是一種非常有趣的方法，因為結果將回答為什么在晶體中少數空間群出現率高而許多230空間群幾乎不出現的問題。

Kitaigorodskii首先研究了致密堆積問題。對于對稱性最小的平面群（僅平移對稱，p1），如果平移周期（t1和t2）以及它們之間的角度選擇得當，任何分子形式都有可能實現最密集的堆積。由兩次旋轉產生的平面群（p2）也是如此（圖 1）。另一方面，具有對稱平面的平面群（pm 和 pmm）不適合最密集堆積。由于在這些排列中存在對稱平面，分子的凸面部分會面向其他分子的凸面部分。這種排列方式不利于密集堆積（圖 2）。具有滑移反射的平面群（pg 和pgg）可能適合 6 配位。這一層的密度不是最大的，在分子的不同方向上只能實現 4 配位（圖 3）。對于對稱性較高的平面基團，有效利用空間變得越來越困難。如果分子本身具有反射對稱性，即保留了一個對稱平面，那么即使是在對稱元素數目較多的對稱組中，也有較好的機會進行更密集的堆積，其中包括對稱平面。

圖1：空間群p1和p2的最密堆積，摘自 Kitaigorodskii [4]

圖2：空間群pm和pmm中的對稱平面阻止密集堆積，摘自 Kitaigorodskii [4]

圖3：pgg空間群的兩種堆積形式：一種是最密集的堆積，另一種是利用分子的不同取向將配位數從六個減少到四個；摘自 Kitaigorodskii [4] 。

在考慮了用于密集堆積的平面群之后，下一步就是應用幾何模型來研究三維空間群是否適于這種堆積。在這種情況下，我們的任務是選擇那些可以進行層間堆積的空間群，使其具有盡可能多的配位數。顯然，鏡面平面不適用于重復層。

低對稱性晶體種類是有機化合物的典型。通過與層面成任意角度的平移，或通過倒置、滑動面，或通過螺旋軸旋轉，可以實現層的最緊密堆積。在極少數情況下，最緊密的堆積也可以通過兩次旋轉來實現。

Kitaigorodskii從最密堆積的角度分析了所有230個三維空間群，發現只有6個空間群可用于任意形式分子的最密堆積(p1，P21，P2J/c，Pea，Pna，P212121)。對于有對稱中心的分子，合適的三維空間群就更少了(P1，P21/C，C2/c，Pbca)。在這些情況下，分子的所有相互取向都是可能的，而不會失去六配位。

低對稱空間群之一（P21/c）在有機晶體中占據著引人注目的特殊地位。該空間群的獨特之處在于它可以在單位晶胞的所有三個坐標平面上形成密度最高的堆積層。在提供最密集堆積的空間群中，還有另外兩個空間群（P21 和 P212121）。根據統計分析，這三個群是出現頻率最高的三個群。對于手性分子，這些可能性只適用于左旋或右旋形式。

Kitaigorodskii關于分子有機化合物在空間群上的分布的開創性工作不僅是科學信息的重要來源，也是科學研究的典范。

復制DNA

DNA分子的作用機制以互補性為特征，但復雜程度不同。聚合酶鏈式反應的發現者Kary Mullis這樣描述它：[6]

DNA有一個非凡的特性，即任何特定的嘌呤和嘧啶堿基序列都有兩種形式可以串聯在一起。可以串成一條鏈，也可以串成另一條順序相反的鏈；這就是互補，它們被緊緊地連接在一起。這是一個美麗的螺旋，但它也有扭結，會引起很多興奮。不過，這兩個螺旋夾得很緊，必須煮沸 DNA 才能把它們分開。這也可以通過酶來完成，燃燒大量的 ATP（51-三磷酸腺苷）。這種 DNA 可以自我繁殖。粘土也能做到這一點，如果你考慮到它的分層結構，每一層都會將上一層的互補層結合在一起。DNA 也具有這種能力。

如果你把 DNA 的一個字符串做成一小段，比如20個堿基，這一小段就會對互補序列產生巨大的親和力。你把這個20個堿基長的序列放到一個混合物中，這個混合物中有十億個甚至萬億個（10^12）不同的片段，它將在大約 30 秒內找到與它完全互補的序列。

開爾文勛爵的幾何學

Kitaigorodskii的主要貢獻集中在晶體結構的幾何性質，而不是它們的物理性質。他的前任之一是開爾文爵士。1904年，開爾文勛爵發表了他著名的巴爾的摩講座，關于分子動力學和光的波動理論，最初發表于1884年。[7]本卷中的二十篇巴爾的摩講演錄由12篇相關主題的講演錄增補而成。附錄H是“晶體的分子策略”，它討論了晶體結構中分子排列的幾何學。這是開爾文爵士于1893年5月16日在牛津大學青年科學俱樂部發表的羅伯特·波義耳演講。

這篇演講顯示了開爾文勛爵的遠見卓識。例如，他向未來的晶體學家提出了這樣的建議："我建議你們中任何希望研究晶體學的人，與木匠或家具流蘇或念珠的珠子制造商簽訂合同，購買一千個每個直徑約半英寸的木球。在這些木球上穿孔不會有什么壞處，甚至可能會有用；但要確保這些木球彼此幾乎相等，而且每個木球都盡可能接近球形"。

開爾文繪制的這兩種圖案的不同之處在于，一種圖案中的分子都以相同的方式排列，而另一種圖案中的分子行則以兩種不同的方式交替排列（圖4）。每個分子的邊界給開爾文帶來了極大的困惑，他認為這是一個純粹的幾何問題。在這一點上，他的后繼者們引入了對分子間相互作用的考慮，而對于Kitaigorodskii來說，這最終形成了他所比喻的“給分子穿上范德瓦耳斯域的毛皮外衣”。開爾文的平面鑲嵌技術領先于普拉亞和埃舍爾，但伊斯蘭和摩爾人在他之前幾百年就已經開始這樣做了。

圖4：開爾文勛爵的兩種分子形狀排列[7]。

開爾文勛爵一直在尋找一種更有效的方法，也就是在平面上更緊密的堆積，他在代表任意形狀的相同分子的平面圖案周圍移動，最終找到了一種更有效的堆積方法。他試圖使用盡可能接近直線的形狀來分割平面，并且不讓分子相互接觸。除此之外，他還創造了平面分子堆積的現代表現形式。

盡管開爾文勛爵確實認識到了互補性在分子堆積中的重要性，但這一特性并沒有與他的名字聯系在一起。原因之一可能是他的其他作品太出名了。另一個原因可能是他只在附錄中對此進行了描述。還有一個原因可能是，1893 年他在牛津大學發表演講時，或者 1904 年這些演講出版時，科學界還沒有為這一發現做好準備。

埃舍爾圖案

喬治·波利亞（George Po1ya）[8]對 17 個二維空間群的介紹最為人熟知，因為他用完全填滿表面、沒有間隙或重疊的圖案來說明這 17 個群。今天，我們稱之為埃舍爾式圖案。事實上，多麗絲·沙特施耐德（Doris Schattschneider）曾描述過波利亞和埃舍爾之間的重要聯系。[9]

由于晶體結構也沒有間隙或重疊，因此填充平面而沒有間隙或重疊的平面圖形深受晶體學家的青睞。因此，平面圖形是晶體對稱性教學的絕佳工具。阿塞拜疆晶體學家庫杜·馬梅多夫（Khudu Mamedov）的圖畫是將其幾何圖形與過去的圖案聯系起來的有趣例子。Mamedov 和他的同事們有意識地收集和記錄他們的發現，以保護他們的文化。在這方面，他們認為晶體學大大有助于他們的人類學探索。馬梅多夫和埃舍爾之間的密切關系可以用兩個簡單而有力的反對稱圖案來象征。反對稱是對立面的對稱，當對稱操作伴隨著屬性逆轉時就會出現。馬梅多夫在阿塞拜疆巴庫 15 世紀的希爾萬夏宮發現了[10]一個結構徽章。這塊石刻浮雕徽章上的“阿里”一詞重復了六次（圖 5）。六次中的三次寫在石頭的凹陷處，另外三次寫在凹陷處之間的突起上。埃舍爾于1941年創作的《爬行動物的平面填充圖案》（圖 6）與這幅結構徽章有著密切的關系。胡杜·馬梅多夫對 M.c. 埃舍爾的藝術非常尊敬。

圖5：庫菲克文字中的六個“阿里”。Shirvanshahs宮，阿塞拜疆巴庫，15世紀；馬梅多夫之后，1986年

圖6：M.c .埃舍爾，爬行動物的平面填充主題，1941年。木刻

當然，埃舍爾的周期圖是最著名的。讓我引用多麗絲·沙茨施耐德對其重要性的評論

當我教授 “數學與裝飾藝術 ”課程時，我看到了卡羅琳娜·麥吉拉弗里（Carolina MacGillavry）的一本書，書中有埃舍爾的設計。書中有40幅圖版，大部分是黑白的，但也有幾幅是彩色的。她的介紹性文章中有一個誘人的信息，埃舍爾曾做過筆記本。她是將埃舍爾引入晶體學世界的人。她在50年代末看過埃舍爾的一次展覽后，去他的工作室拜訪了他，了解了一些他的對稱圖。她在他的工作室里看到了他已經完成的大量作品。到50年代中期，他已經畫了一百多幅對稱畫。他還向她展示了他的個人筆記本，上面記錄著他在1938年至1941年間獨自開發的理論。卡羅琳娜在序言中也提到了這一點。因此，我知道他曾寫過筆記本，也知道他提出了所謂的外行理論。從那時起，我就想知道埃舍爾做了什么？他是怎么做的？

卡羅琳娜很有興趣將埃舍爾的周期圖案作為一種教學手段--向晶體學初學者傳授雙色和多色圖案的晶體學分析。50年代末，當她去埃舍爾的工作室拜訪他時，她萌生了讓他在1960年劍橋（英國）國際晶體學聯合會會議上舉辦展覽的想法。他發表了演講，演講結束時全場起立鼓掌。會后，她萌生了用埃舍爾的圖畫制作一本書的想法，并得到了國際聯盟的贊助。她實際上與埃舍爾共事過。她翻閱了埃舍爾所有的周期性圖紙，從中挑選出那些能夠說明她想要說明的特定顏色對稱組的圖紙。這時，她發現缺少了一個最簡單的組，于是她要求埃舍爾畫一幅圖來說明那個組，他畫了。這就是只有兩種顏色的p2群。（見圖 7）他還重新繪制或修改了其他一些圖紙。順便提一下，p2群在伊斯蘭裝飾中也并不常見，甚至可以說完全沒有。阿爾罕布拉宮中沒有這種裝飾，除非考慮到某些圖案的上下交織。如果您只在阿爾罕布拉宮中尋找點對稱的圖案，就不會看到遍布的p2圖案。

圖7：M·C·埃舍爾。115號對稱圖。這幅畫是埃舍爾應卡羅琳·麥克吉拉夫里的要求為她1965年的書而畫的

哈吉泰:“埃舍爾似乎也不喜歡反射對稱。”

我認為這是因為他想有可識別的形狀，完全可識別的輪廓。他還希望這些生物不是對稱的。如果你有鳥在飛，爬行動物在蠕動，它們就不是對稱的。如果你把它們排成一行并固定住，就像你用一只蝴蝶來展示它一樣，這就是對稱，但在自然界和行動中，這種對稱消失了。他有一些反射對稱的圖案，它們看起來很靜態；他真的很喜歡運動這個想法。在他自己的分類系統中，他不談論反射，他只談論滑移反射。只有當主題對稱時，整體圖案中的反射對稱才會被引入——這就是他如何看待它的。因此，他自己的分類系統只使用旋轉、平移和滑移反射。當他碰巧有一個對稱的主題時，他會在分類符號上加一個小星號，表示這個也有反射。從這個意義上說，這只是誘導反射對稱。他根本沒有想到全局反射對稱，只想到局部反射，當然，局部反射有時會引起全局反射。一個例子是鳥、蝙蝠、蝴蝶和蜜蜂的圖案，這是當時為菲利普斯公司展覽室的天花板設計的。這些形狀的輪廓是從大約一平方米的木板上切割下來的，在洞上放一層薄膜，然后畫上圖案。天花板是背光的，有這些飛行物體的形狀。相當奇妙的景象。這個天花板的某些部分是最近才從儲藏室搶救出來的。

對稱越少越好

推翻對稱平面就等同于鼓吹不對稱的優點嗎？完全不是。重復也是一種對稱，大自然中重復出現的圖案數量相當有限，這讓我們有希望了解更多。正如最常見的晶體結構一樣，埃舍爾的周期圖也充滿了旋轉對稱、反轉、滑移反射以及平移。然而，其中幾乎沒有反射。不對稱就是完全沒有對稱。事實證明，埃舍爾的周期圖就像晶體結構一樣，具有“較少對稱性”的特點，即對稱性少于最大可能量。

我想提兩個有啟發性的例子來說明“對稱性越少越好”的論點。當萊納斯·鮑林（Linus Pauling）尋找α-角蛋白結構模型時，他突破性地認識到，關鍵在于將非對稱圖案（即氨基酸）做成螺旋狀排列。[121] 當他發現部分實驗觀察結果與他的模型不符時，他甚至置之不理。當然，他之所以能如此大膽，只是因為他積累了大量關于化學結構及其規律性的觀測數據。

我舉的另一個例子是，在探索生命的化學基礎時，不那么完美的結構相對于更完美的結構的重要性。分子生物學奠基人之一德斯蒙德·貝納爾（J. Desmond Bernal）寫道：[13

我應該在這里說，完全和部分晶體結構之間的區別在實踐中充分認識到阿斯特伯里和我自己。我拿的是結晶物質，他拿的是無定形的或雜亂的物質。起初，似乎我必須擁有最好的，但事實證明并非如此。我的名字沒有出現在雙螺旋結構的故事中，這是正確的。事實上，這是一個至關重要的區別。螺旋結構的圖片包含的斑點比常規三維晶體結構少得多，因此原子位置的詳細信息也少得多，但它更容易粗略地解釋，因此為整體提供了一個很好的線索。盡管一般的結構是眾所周知的，但還沒有研究出原子規模的核酸結構。可能矛盾的是，攜帶信息越多的方法被認為對檢測真正復雜的分子越沒用，但這是分析策略而不是準確性的問題。

策略上的錯誤可能與事實錯誤一樣糟糕。我的情況也是如此。我信守與阿斯特伯里的君子協定，從研究無定形核酸轉向研究核酸的結晶成分--核苷。

這是對20世紀最具獨創性的科學家之一的思想的非凡洞察。

總而言之，用埃舍爾的周期圖進行創新可能有助于我們避免研究中的錯誤，并幫助我們理解我們周圍世界的復雜性。

參考文獻

[1] Much of the message of the present contribution and details, background information, and numerous references can be found in I. Hargittai, M. Hargittai, In Our Own Image: Personal Symmetry in Discovery, Kluwer Academic/Plenum Press, New York and London, 2000.

[2] To dedicate such a contribution to the memory of Caroline MacGillavry does not need much justification. She, more than anyone else, built the bridge between M.e. Escher and the scientific community. See e.H. MacGillavry, Symmetry Aspects of M.e. Escher's Periodic Drawings, A. Oosthoek's Uitgeversmaatschappij, Utrecht, 1965 (republished as Fantasy and Symmetry, Harry Abrams, New York, 1976). See also e.H. MacGillavry, "The Symmetry of M.c. Escher's 'Impossible' Images," in I. Hargittai, ed., Symmetry: Unifying Human Understanding. Pergamon Press, New York, 1986, pp. 123-138. She was, however, first of all an outstanding crystallographer, a scientist of structure. My personal encounters with Caroline MacGillavry were very enriching and memorable. I thank Henk Schenk, president of the International Union of Crystallography, for providing the photo of her, taken on the occasion of her farewell lecture at the University of Amsterdam.

[3] Lucretius, The Nature of Things, De rerum natura, translated by EO. Copley. W.W. Norton & Co., New York, first edition, 1977. This quoted passage is from Book VI, lines 1084-1086. I am grateful to Jack D. Dunitz for calling my attention to this quotation.

[4] A.I. Kitaigorodskii, Molekulyarnie Kristalli. Nauka, Moscow, 1971. English translation Molecular Crystals and Molecules. Academic Press, New York, 1973.

[5] L. Pauling, M. Delbriick, "The Nature of the Intermolecular Forces Operative in Biological Processes." Science vol. 92 (1940), pp. 77-79.

[6] I. Hargittai, Candid Science II: Conversations with Famous Biomedical Scientists, Imperial College Press, London, 2002. Dr. Mullis shared the 1993 Nobel Prize in chemistry, "for contributions to the development of methods within DNA-based chemistry, for his invention of the polymerase chain reaction (PCR) method."

[7] Kelvin, Lord, Baltimore Lectures on Molecular Dynamics and the Wave Theory of Light, Appendix H, pp. 618-619. London: e.J. Clay & Sons, 1904.

[8] G. P6lya, "Uber die Analogie der Kristallsymmetrie in der Ebene." Z. Kristall. vol. 60 (1924), pp. 278-282.

[9] D. Schattschneider, "The P6lya-Escher Connection," Mathematics Magazine, vol. 60 (1987), pp. 293-298.

[10] Kh.S. Mamedov, "Crystallographic patterns." In I. Hargittai, ed., Symmetry: Unifying Human Understanding. Pergamon Press, New York, 1986, pp. 511-529.

[II] I. Hargittai, "Transmitting M.C. Escher's Symmetries: A Conversation with Doris Schattschneider." HyperSpace (Kyoto), vol. 6, no. 3 (1997), pp. 16-28.

[12] L. Pauling, "Discovery of the Alpha Helix." The Chemical Intelligencer, vol. 2, no. I (1996), pp.32-38. This was a posthumous publication of Linus Pauling, communicated by his associates.

[13] J.D. Bernal, "The Material Theory of Life." Labour Monthly, (1968), pp. 323-326.

[14] Istvan Hargittai, Dethronement of the Symmetry Plane [1]

青山不改，綠水長流，在下告退。

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