埃舍爾藝術(shù)中的多面體繪制和幾何構(gòu)造

女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

本文重點介紹埃舍爾的圖形作品，其中包括由柏拉圖立體組合產(chǎn)生的多面體或復(fù)雜幾何體的圖像，其靈感來自晶體。這位荷蘭藝術(shù)家被柏拉圖實體及其衍生多面體的平衡感和完美感所吸引。本文通過概念圖形的再創(chuàng)作，回顧了埃舍爾作品中反復(fù)出現(xiàn)的一些實體構(gòu)成結(jié)構(gòu)的幾何起源。通過繪圖，我們可以更好地理解這些實體的和諧感所依賴的集合規(guī)則和嚴(yán)格構(gòu)造。本文通過圖形幾何重讀，引導(dǎo)觀察者更清晰地解讀埃舍爾基于多面體的想象構(gòu)型。這些實體的圖像可以提供對各種關(guān)系和幾何對應(yīng)關(guān)系的直接而有效的視覺解讀。

1 引言

迄今為止，埃舍爾的圖形作品一直是眾多重要研究的主題。許多學(xué)者關(guān)注他的藝術(shù)創(chuàng)作，特別強(qiáng)調(diào)他創(chuàng)作的構(gòu)圖所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想。實際上，這位荷蘭圖形藝術(shù)家的作品是以藝術(shù)形式對數(shù)學(xué)概念的明顯表達(dá)，具有強(qiáng)烈的抽象性。事實上，埃舍爾藝術(shù)的具象思想所具有的數(shù)學(xué)傾向，在他的作品中得到了明顯的體現(xiàn)，那就是在他的作品中不斷出現(xiàn)的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膸缀谓Y(jié)構(gòu)[1]。通過幾何圖形，他將自己的幻想世界轉(zhuǎn)化為圖像，在這些圖像中，現(xiàn)實與虛構(gòu)、真實與虛幻交織在一起，呈現(xiàn)出非凡的美感。他的作品之所以取得巨大成功，其重要原因之一就是他能夠賦予形象的數(shù)學(xué)合理性以藝術(shù)價值。

在藝術(shù)家的眾多實驗中，本研究探討了表現(xiàn)實體、體積和三維結(jié)構(gòu)的作品。我們特別分析了一些以多面體或由柏拉圖實體組合而成的復(fù)雜幾何體為特征的作品，其靈感來自晶體。埃舍爾曾寫道："......晶體的基本規(guī)律令人嘆為觀止。它們絕不是人類頭腦的發(fā)現(xiàn)；它們獨立于我們而存在"[2]。因此，他一直熱衷于制作三維模型，以再現(xiàn)晶體的幾何形態(tài)--規(guī)則的多面體或其組合--這也是他圖形創(chuàng)作的靈感和研究來源。本文旨在引導(dǎo)觀察者更深入、更有意識地解讀他所想象的幾何世界。特別是通過圖畫和圖形分析來突出一些典型作品所依據(jù)的構(gòu)圖規(guī)則。正如恩斯特寫道："埃舍爾所追求的首先是關(guān)于平衡、結(jié)構(gòu)和連續(xù)性的理念[......]。埃舍爾從不用語言表達(dá)這些想法，但他會在作品中巧妙地表達(dá)這些想法"。因此，這里介紹的圖形研究試圖揭示所分析作品的內(nèi)在邏輯，目的是 "深入其創(chuàng)作的核心，并以此為感知藝術(shù)作品的方式增添新的維度"。

2 構(gòu)圖邏輯與幾何變換

埃舍爾的幾何方法在他的所有藝術(shù)作品中都很明顯。自 20 世紀(jì) 20 年代到安達(dá)盧西亞旅行后，這位荷蘭藝術(shù)家一直對鑲嵌圖形感興趣。埃舍爾尤其對通過簡單的幾何變換對基本拼塊進(jìn)行適當(dāng)處理，從而覆蓋整個裝飾表面的可能性印象深刻。在他的作品中，我們確實可以發(fā)現(xiàn)他同樣善于將伊斯蘭教所珍視的 "虛空的恐怖"（horror vacui）轉(zhuǎn)化為圖形，而根據(jù)馬西儂（Massignon）的說法，這種 "虛空的恐怖"（horror vacui）與原子論的哲學(xué)觀點密切相關(guān)。在此基礎(chǔ)上，我們可以將世界視為原子的不穩(wěn)定組合，即形式定義所依賴的單個粒子[3]。

因此，埃舍爾可以利用鑲嵌所依據(jù)的幾何原理，將費(fèi)多羅夫于 1891 年[4]編碼、波利亞于 1923 年[5]示意的 17 組對稱轉(zhuǎn)化為具有藝術(shù)魅力的圖像。其中，簡單幾何變換的使用（通常是組合使用）產(chǎn)生了令人難以置信的各種形象。第一類包括所謂的 "自動變形"，即同構(gòu)變換--平移、旋轉(zhuǎn)、中心對稱或軸對稱、滑移反射等。這些變換雖然不改變起始圖形的度量特征，但由于重復(fù)了構(gòu)圖的基本要素，可以對平面進(jìn)行有規(guī)律的細(xì)分。第二組則包括符合一般投影法則的幾何變換。最后一類是圖形的變形，但它們保留了不變的投影特性。因此，我們可以找到這樣的組合：例如，基本拼塊被同調(diào)地縮小或放大（通過相似性），從而產(chǎn)生具有分形味道的插圖。還有一些作品中，基本拼塊經(jīng)歷了漸進(jìn)的具象變形，在連續(xù)的階段中完全改變了形狀。在這里，幾何形狀栩栩如生，最后變成人物、植物和動物。當(dāng)然，我們可以對通過這種變形產(chǎn)生的圖像的視覺趣味、感知和心理價值進(jìn)行各種考量。然而，埃舍爾善于利用這些潛力來創(chuàng)造三維形狀，將基礎(chǔ)拼塊的模塊性轉(zhuǎn)化為內(nèi)在的幾何規(guī)則性，這一點值得關(guān)注。埃舍爾用 "天使 "和 "魔鬼 "的形象分割平面的研究具有代表性。該作品設(shè)計于 1942 年，但從未使用過，1960 年以 "圓極限 IV "為題出版，幾年后被日本雕刻家用作球形雕塑的基礎(chǔ)。如果說《天使》和《魔鬼》中的圖像結(jié)構(gòu)--完全基于同構(gòu)并無限重復(fù)--是根據(jù)兩條和四條對稱軸來組織的，那么在圓形構(gòu)圖（《圓極限 IV》）中則使用了三條和四條對稱軸。在這里，旋轉(zhuǎn)與擬人化圖像的同形變換相結(jié)合。最后，在球形構(gòu)圖中，對稱軸變成了兩條和三條 [6, 第 40 頁]。然而，作為這些作品結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)，將互補(bǔ)而不留任何空隙的相同圖形組合在一起的邏輯，在整體圖形組織中仍然可以辨認(rèn)出其原始、合理和幾何的原則（見圖 1）。

圖 1. M.C. 埃舍爾。左：《天使與魔鬼》（1942 年）。中間：《圓極限IV》（1960 年）。右：具有相同圖案的球形雕塑。

3 埃舍爾作品中的多面體和復(fù)雜固體

埃舍爾對水晶世界深深著迷，在水晶世界的啟發(fā)下，一些實驗又回到了對三維空間的探索。他和他的兄弟貝倫德-喬治（Berend George）都是地質(zhì)學(xué)家，也是萊頓大學(xué)的教授，兩人于 1935 年出版了一本關(guān)于普通礦物學(xué)和晶體學(xué)的論文集。這部著作以及與當(dāng)時的數(shù)學(xué)家--首先是考克斯特--就這一主題交流的大量思考，激發(fā)了他對柏拉圖實體的規(guī)則性以及由此衍生出的多元形式的濃厚興趣。在這些實體中，邊和角的一致產(chǎn)生了一種內(nèi)在的對稱，表現(xiàn)出和諧與完美。因此，他對創(chuàng)造三維模型一直充滿興趣，這些模型再現(xiàn)了晶體形式的幾何圖形--規(guī)則的多面體或它們的組合，是他圖形創(chuàng)作的靈感和研究的源泉。因此，埃舍爾用不同的材料（金屬絲、木頭、有機(jī)玻璃等）和五柏拉圖實體的不同構(gòu)型制作模型。在某些情況下，他將這些模型視為獨立的雕塑藝術(shù)作品（如 1958 年的木刻《帶花的多面體》），而在另一些情況下，這些模型則是他二維圖形創(chuàng)作的參考面[7]。

埃舍爾的具象作品包括簡單或復(fù)雜的多面體，可分為兩類。第一類包括圖形闡述，在這些闡述中，這些實體作為構(gòu)圖的元素、前景中的主角物體或背景中的具象支撐物（《爬行動物》，1943 年；《星辰》，1948 年；《秩序與混沌》，1950 年；《引力》，1952 年；《帶魔法絲帶的立方體》，1955 年）以其純粹的本質(zhì)被使用。這些多面體賦予抽象空間以生命，突出了相對性或過渡的概念（從一個平面到另一個平面，或從二維表面到三維空間）（見圖 2）。

圖2：M·C·埃舍爾。左:《秩序與混亂》（1950年）。中心:《星辰》（1948年）。右圖:《引力》（1952年）。

第二類作品中，實體成為建筑構(gòu)圖的一部分。在某些情況下，它們是建筑空間的裝飾或完成元素（《循環(huán)》，1938 年；《瀑布》，1961 年），而在另一些情況下，它們則是空間配置的形式基體。例如，在《立方體空間分部石版畫》（1925 年）中，埃舍爾構(gòu)想了一種以直角排列的橫梁結(jié)構(gòu)--通過立方體接頭連接--在長度相近的部分相互交叉。這樣，全等的立方體在空間中重復(fù)出現(xiàn)。在《雙平面木刻》（Double Planetoid，1949 年）和《四面體木刻》（Tetrahedral Planetoid，1954 年）等木刻作品中，建筑與多面體幾何之間的聯(lián)系更為緊密。（圖3）

圖3。M·C·埃舍爾。左:《瀑布》(1961)。中心:《雙平面木刻》(1949)。右圖:《四面體木刻》(1954年)。

特別是在第一幅作品中，兩個正四面體--一個代表人類化的空間，另一個代表自然空間--根據(jù)埃舍爾所珍視的二元論原則，"相互滲透，在空間中波動，就像一顆行星，[......]它們共同構(gòu)成了一個統(tǒng)一體，但卻沒有注意到對方"（埃舍爾，1959 年，14）。然而，在第二種情況下，他想象了一個世界，一個被球體包圍的大型正四面體，其中垂直的元素朝向球體的中心，即重力的支點，而水平表面則支撐著球體的曲率。

但是多面體也可以被視為建造墻壁和結(jié)構(gòu)的元素。在《扁平蟲石版畫》（1959年）中，埃舍爾確實探索了“非立方體石頭【…】”組合的可能性。例如，您可以使用交替、四面體和八面體【…】。對人類來說，它不太實用，因為它沒有垂直的墻壁，也沒有水平的地板”（埃舍爾，1959，14）。結(jié)果是一個充滿幻想的世界，幾乎是矛盾的，但具有非凡的藝術(shù)興趣（見圖4）。

圖 4. M.C. 埃舍爾。左：《立體空間分割》（1925 年）。右：《扁平蟲石版畫》（1959 年）。

4 多面體的繪制

埃舍爾作品的美隱藏在幾何嚴(yán)謹(jǐn)性與表現(xiàn)力的結(jié)合之中。這種緊密的聯(lián)系在多面體中得到了完美的結(jié)合 [8]。多面體的內(nèi)在構(gòu)造純粹神秘，激發(fā)埃舍爾嘗試平面規(guī)則分割和空間細(xì)分的各種可能性。與此同時，它們還讓他與觀察者玩起了游戲。通過他的繪畫，我們可以窺見一個有時是不可能的世界，在這個世界里，人類和動物靈巧地活動著。

然而，埃舍爾的創(chuàng)造性想象力遠(yuǎn)不止簡單地再現(xiàn)自然晶體（四面體、八面體或立方體）和自然界中的其他一些多面體的形態(tài)。他還將阿基米德的多面體和開普勒-普安索的多面體納入形象化的曲目中。13個阿基米德實體源于柏拉圖實體，是通過截去一些角或擴(kuò)大實體而形成的。與柏拉圖實體類似，阿基米德實體總是凸面的，其面由正多邊形構(gòu)成，并且在每個頂點上都有相同數(shù)量的面匯聚在一起。然而，這些面并不像柏拉圖實體那樣全等。另一方面，開普勒-普恩索的 4 個多面體并不凸，而是以 "星形實體 "的形式出現(xiàn)，具有規(guī)則且全等的多邊形面[9]。在這些多面體中，約翰內(nèi)斯-開普勒（Johannes Kepler，1571-1630 年）研究的前兩個多面體具有五角星面，且都彼此相鄰；路易-普恩索（Louis Poinsot，1777-1859 年）構(gòu)想的另外兩個多面體具有相互滲透的規(guī)則多邊形面。因此，將更多相交的正方形實體組合在一起，就可能產(chǎn)生一系列無限的正方形組合形式 [10]。

從這些考慮出發(fā)，通過對概念圖形的重新闡釋，回溯埃舍爾作品中反復(fù)出現(xiàn)的一些實體構(gòu)成結(jié)構(gòu)的幾何起源，似乎很有意思。這樣做是為了更好地理解埃舍爾作品中的集合規(guī)則和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕Y(jié)構(gòu)，而這種和諧感正是這位荷蘭藝術(shù)家的魅力所在[11]。

我們的想法是通過繪制，讓人們看到這些實體栩栩如生的關(guān)系和幾何對應(yīng)關(guān)系，突出形式上的顯著復(fù)雜性在生成矩陣中是如何等同于極端簡單性的。例如，小十二面體是一種規(guī)則的實體，是五角星的二維類似物。這是由十二面體和倚靠在其表面上的十二個規(guī)則金字塔復(fù)合而成的形態(tài)。這相當(dāng)于假定金字塔的高度使多面體的所有外部面（60 個等腰三角形）彼此全等。此外，這些等腰三角形每五個為一組，屬于包含十二面體面的平面。后一種情況，只有當(dāng)金字塔的頂點位于每個五邊形邊的延長線上時才會出現(xiàn)（見圖 5）。

圖5. 小十二面體的幾何解釋和表示。

同樣有趣的是有關(guān)兩個相等的正四面體的復(fù)合圖形研究，這兩個正四面體相互重疊，并以共同的幾何中心相互對稱。得到的實體被稱為 Stella Octangula（八角星）。它的邊緣在中點垂直相交。由此得到的核是一個正八面體。因此，該實體可以作為正八面體的增強(qiáng)體（八面體星狀體）。正八面體可以刻在一個立方體中，立方體代表正八面體的凸面包絡(luò)。立方體的頂點交替出現(xiàn)，是兩個四面體的頂點。立方體面的對角線就是八面星狀體的邊（見圖6）。

圖6. 兩個正四面體的交點和八面體核的識別。

我們重點討論的最后一種情況與兩個立方體的復(fù)合[12]有關(guān)。在圖例中，兩個立方體的對角線軸線固定不變，該軸線穿過相對的頂點，同時兩個立方體中的一個旋轉(zhuǎn)三分之一圈。同時，兩個立方體中的一個圍繞固定軸旋轉(zhuǎn)三分之一圈[13]。繞固定軸旋轉(zhuǎn)三分之一圈 [13]。埃舍爾將立方體-2 的復(fù)合體表示為開放晶格結(jié)構(gòu)的形式。圖中右側(cè)的圖形讀數(shù)保留了起始柏拉圖實體的體積構(gòu)象，體現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)運(yùn)動分為連續(xù)的通道（見圖 7）。

圖 7. 左圖：M.C. 埃舍爾，《星星研究》（1948 年）。右圖：埃舍爾所代表的多面體之一的幾何變換圖形分析（立方體繞對角線旋轉(zhuǎn)兩次，分別為 + 45°和 -45°）。

5 結(jié)論

本文以埃舍爾一些表現(xiàn)空間的作品為重點，旨在引導(dǎo)觀察者更深入、更有意識地解讀他所想象的幾何世界。特別是，通過適當(dāng)?shù)膱D形分析和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋硎觯覀兿Ｍ麖?qiáng)調(diào)這些作品所依據(jù)的幾何構(gòu)成規(guī)則。"埃舍爾所追求的首先是關(guān)于平衡、結(jié)構(gòu)和連續(xù)性的理念[......]。埃舍爾從不用語言表達(dá)這些想法，但他會在作品中巧妙地表達(dá)這些想法"[6, 第 16 頁]。因此，圖形研究試圖讓所分析作品的內(nèi)在邏輯一目了然，目的是 "進(jìn)入他創(chuàng)作的核心，并以此為感知藝術(shù)作品的方式增添新的維度"[6, 第 16 頁]。

參考文獻(xiàn)

1. Schattschneider, D.: The mathematical side of M. C. Escher. Not. AMS 57(6), 706–718 (2010)

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3. Massignon, L.: Les méthodes de réalisation artistiquesdes peuples de l’Islam. Opera Minora III, 9–24 (1969)

4. Fedorov, E.S.: The symmetry of regular systems of figures. In: Proceedings of the Imperial St. Petersburg Mineralogical Society, vol. 28, pp. 1–146 (1891)

5. Pólya, G.: Uber die Analogie der Kristallsymmetrie in der Ebene. Z. Kristall 60, 278–282 (1924)

6. Ernst, B.: Lo specchio magico di M.C. Escher. Taschen Verlag GmbH, K?ln (1996)

7. Schattschneider, D.: Escher’s polyhedral models. In: Proceedings of Bridges 2019. Mathematics, Art, Music, Architecture, Education, Culture, pp. 347–350. Tessellations Publishing, Phoenix (2019)

8. Senechal, M. (ed.): Shaping Space: Exploring Polyhedra in Nature, Art, and the Geometrical. Springer, New York (2013)

9. Beech, M.: Escher’s stars. J. R. Astron. Soc. Canada 86(4), 169–177 (1992)

10. Zefiro, L.: The compound of three octahedra and a remarkable compound of three square dipyramids, the Escher’s solid. Vis. Math. 12(3), 1–15 (2010)

11. Rossi, M.: Realtà e immaginazione: Nuove forme e antiche simmetrie. Disegnare Idee Immagini 38, 50–61 (2009)

12. Weisstein, E.W.: Cube 2-Compound. From MathWorld. A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/Cube2-Compound.html. Accessed 3 July 2020

13 Holden, A.: Shapes, Space, and Symmetry. Dover Publications, New York (1991)

14 Barbara Messina and Stefano Chiarenza:Drawing and Geometric Constructions of Polyhedra in the Art of Escher

青山不改，綠水長流，在下告退。

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