今晚誕生的美國菲爾茲獎得主，不僅是數學全才，還會表演評書《說唐后傳》

剛剛，2026年菲爾茲獎正式揭曉。由于獲獎人名單提前從官網泄露，兩位中國數學家王虹、鄧煜和俄裔加拿大數學家Jacob Tsimerman、美國數學家John Pardon毫無意外地摘得了這一殊榮。

其中Pardon 做數學的一大特點是他非凡的跨越邊界的創造力，堪稱“破壁人”。他用代數、幾何、分析、拓撲等不同領域思想和工具，攻克了一系列長期困擾數學家的重要問題。而他的成長軌跡，正符合人們心中對“數學天才”的一切想象：高中時便發頂刊論文，博士畢業一年后即任普林斯頓大學正教授；同時他精通中文，還是出色的大提琴演奏者，展現出了一位青年數學家的獨特魅力。

撰文 | 倪憶（加州理工學院數學系教授）

在 Freeman Dyson 那篇著名演講里， 他把數學家分為兩類：鳥和青蛙。鳥翱翔在天空，“喜歡那些統一我們思想、并將不同領域的諸多問題整合起來的概念。”青蛙生活在泥地里，“樂于探索特定問題的細節，一次只解決一個問題?！盝ohn Vincent Pardon 同時屬于這兩類。他是一位少見的既能創造宏大理論、又能解決經典難題的數學家。

John Pardon丨圖源：普林斯頓大學

John Pardon的經歷堪稱“數學天才”一詞的模板。他 1989 年出生于美國卡羅來納州教堂山，父親 William Pardon 是杜克大學的數學教授，一位代數幾何專家。自小沐浴在數學中的 John Pardon，高中時就在知名數學期刊發表論文，本科時解決了有近三十年歷史的公開難題，博士畢業一年即成為普林斯頓大學數學系正教授，2022 年起任石溪大學 Simons 幾何與物理中心教授；2025 年他獲得數學新視野獎，2026 年將獲得菲爾茲獎。

如果要用一個詞概括 Pardon 的數學風格，那么“破壁人”或許再合適不過。他打破的并不只是某一個猜想，而是不同數學領域之間那一道道看似天然存在的壁障。他熟練掌握代數、幾何、分析、拓撲、概率等不同領域的工具，并把它們以人們意想不到的方式組合在一起攻克難題。

初試啼聲

由于父親的職業 ，Pardon 很早便身處濃郁的數學氛圍中。小時候全家一起爬山，每當他走得疲憊時，父親便不斷給他出代數題。由于注意力完全投入到思考之中，他忘記了身體的勞累。五歲學習游泳時，他父母把同樣的妙招告訴教練，于是教練也會不停地向他提問乘法題，他回答時竟然忘記了對于踩水的害怕。從那以后，Pardon 深深體會到數學具有一種特殊的力量——它能夠讓人完全沉浸于思考，從而暫時擺脫外界的不適與壓力。

John Pardon 與父親 William丨圖源：William Pardon 主頁

高中時候，Pardon 就在度量幾何領域獨立做出了原創工作，論文發表在知名數學雜志 Transactions of the AMS 上。他的研究聚焦于一個直觀而又困難的幾何問題：

給定平面上一條簡單光滑閉曲線 C，不難證明，可以把 C 連續形變為一條凸曲線，使得在此過程中曲線始終沒有自相交，并且任意兩點之間的弧長保持不變。那么，能否在這一過程中，進一步要求讓曲線上任兩個點之間的平面距離始終不減??？

Pardon 徹底解決了這一問題，他的結論甚至不要求 C 是光滑的，只要 C 是可求長（rectifiable）曲線，那么答案就是肯定的。即便是成名數學家，能夠證明這樣的一個結論，也是值得欣慰的事情。Pardon 的論文中使用了線性規劃、泛函分析、測度論等非常深刻的數學理論，很難相信一位高中生就能掌握這些大學數學本科都未必會涉及的內容。然而，這比起 Pardon 日后取得的成就來說簡直不值一提。由此可見，Pardon 在高中時已經是一位非常成熟的數學家。這篇論文讓 Pardon 獲得了 2007 年英特爾科學競賽第二名。

Pardon 中學期間連續三年參加國際信息學奧林匹克（IOI），獲得三枚金牌。菲爾茲獎得主中，有不少人獲得過國際數學奧林匹克金牌，包括今年獲獎的鄧煜和 Jacob Tsimerman，但是 IOI 金牌得主獲得菲爾茲獎的，Pardon 似乎是第一位。

鋒芒畢露

2007 年，Pardon 進入普林斯頓大學讀本科。在大學期間，他完成了 6 篇高質量的論文，涉及度量幾何、隨機幾何、代數幾何、凸幾何、低維拓撲。其中最出圈的一篇論文當屬他關于紐結（knot）扭曲度（distortion）的工作。

高中時期，Pardon在網上閱讀數學論文時，看到了著名數學家 Mikhail Gromov 于 1983 年提出的一個關于紐結扭曲度的問題。一個紐結就是三維空間里的一條簡單閉曲線。對于三維歐氏空間里一條簡單閉曲線 C 上的兩個點，我們可以考慮兩點之間沿著C的弧長，也可以考慮兩點間的歐氏距離。大致而言，一個紐結的扭曲度衡量的是對于該紐結所在的同痕類（isotopy class）里的所有曲線，弧長與歐氏空間距離的差別最小是多少。Gromov 問所有紐結的扭曲度是否有上界，特別地，所有環面結（torus knots）的扭曲度是否有上界。

這個問題結合了度量幾何和低維拓撲，其陳述是中學生都能理解的，但卻難倒了 Gromov 這樣的大數學家。Pardon 初生牛犢不怕虎，始終沒有放棄思考這一問題。大三時，他曾一度認為自己已經完成證明，卻在兩周后發現整個證明“完全是錯誤的（complete nonsense）”。經過繼續探索，大四時他終于找到正確的方法，證明了所有環面結的扭曲度沒有上界，從而徹底解決了這一公開難題。

這篇論文發表于被譽為四大頂級數學期刊之一的 Annals of Mathematics。對于本科生而言，這是極其罕見的成就，也使他迅速受到數學界的關注。Pardon 的這一壯舉不禁讓人拿他同另外一位普林斯頓出身的菲爾茲獎得主John Milnor 相比較，后者也是本科時就在 Annals of Mathematics 上發表了一篇論文。巧合的是，Milnor 的論文是關于紐結的微分幾何問題，而 Pardon 的論文是關于紐結的度量幾何問題。

Pardon 大學本科時寫的這 6 篇論文，除了一篇代數幾何論文是跟普林斯頓大學的代數幾何學家 János Kollár 合作，其余都是獨自完成。Kollár 對于二人合作的緣起是這樣描述的：有一個拓撲問題，Kollár 跟不少同事討論過，都沒有答案。一次晚餐時，他隨口向 Pardon 提起這個問題，僅僅一周之后，Pardon 就把解答發給了他。Kollár 感嘆，與他合作“更像是在與一位博士后合作，而不是本科生”。

大學時期的 Pardon丨圖源：普林斯頓大學

盡管是數學專業，但 Pardon 的大學生活里不光有數學。令很多人意想不到的是，他系統學習過中文，因為他認為中文的書寫非常具有挑戰性。大一暑假時，他到北京師范大學參加了普林斯頓暑期北京中文培訓班。大四時，他作為普林斯頓辯論隊成員，獲得了由中國中央電視臺和新加坡傳媒集團聯合舉辦的國際中文辯論賽（前身為“國際大專辯論賽”）非母語組冠軍。之后2011年，他又以表演單田芳評書《說唐后傳》獲得第十屆“漢語橋”世界大學生中文比賽美國東部賽區冠軍（與Bradley Roberts “羅曉波”并列），并獲得赴中國長沙參加全球復賽的資格。所以本屆菲爾茲獎得主中有三人能講漢語……

John Pardon參加“漢語橋”比賽的報道丨圖源：鳳凰網

Pardon 還是一位優秀的大提琴演奏者，自六歲開始學習大提琴，兩次獲得普林斯頓大學學生交響樂團年度協奏曲比賽冠軍。Pardon 認為演奏音樂與研究數學截然不同：數學有時可以幫助自己忘記疲勞，而演奏巴赫或柯達伊的大提琴作品則需要全部注意力，根本無法同時思考數學。

Pardon 在普林斯頓學生樂團丨圖源：普林斯頓大學

2011 年，Pardon 從普林斯頓畢業后，進入斯坦福大學攻讀博士學位。博士生第一年，他就完成了另一項代表性成果：證明三維 Hilbert–Smith 猜想。

Hilbert–Smith 猜想來源于 Hilbert 第五問題，后者的現代陳述方式是：如果一個拓撲群同時也是一個流形，那么這個拓撲群是否一定（作為拓撲群）同構于一個李群？這一問題在上世紀五十年代就被 Andrew Gleason、Deane Montgomery、Leo Zippin 以及山辺英彥等人的工作解決。

然而，在 Hilbert 的年代，還沒有流形的現代定義，Hilbert 報告原文中甚至沒有出現“流形”這個數學名詞。Hilbert 本人采用了“連續變換群”這一術語，所以有人認為 Hilbert 的本意是“群在流形上的作用”，其確切陳述便是 Hilbert–Smith 猜想：任何能夠忠實連續作用于流形上的局部緊群，都必須是李群。

Pardon 在三維情形證明了 Hilbert–Smith 猜想，證明中巧妙結合了群作用、三維拓撲和映射類群的方法。這篇論文發表在頂級數學期刊 Journal of the AMS 上。相比起他之前解決的關注度不算高的紐結扭曲度問題，這次證明三維 Hilbert–Smith 猜想的工作無疑非常出圈。

有趣的是，盡管 Hilbert 問題在數學界有著偌大的名聲，但以前因為解決 Hilbert 問題而獲得菲爾茲獎的只有 Paul Cohen 一個人：他因為證明連續統假設獨立于 ZFC 公理系統而獲得 1966 年菲爾茲獎。但是今年的獲獎者中有兩人跟 Hilbert 問題有關，除了 Pardon，另外一位是鄧煜，他主要因為在 Hilbert 第六問題上的突破而獲獎。

卓然成家

在斯坦福讀博期間，Pardon 選擇了辛幾何作為自己接下來的深耕方向。他的導師是 Wolf 獎得主、辛幾何與切觸幾何的一代宗師 Yakov Eliashberg。

在辛幾何及其相關領域，Pardon 取得了一系列重大的基礎性成果，他的獨特思想和廣博視野為這一學科帶來了新的推動力。他能夠獲得菲爾茲獎，主要是靠這方面的工作。鑒于筆者并非這一領域的專家，本文只能簡單描述一下筆者對 Pardon 工作的粗淺理解。

1. 構造虛基本鏈的代數方法

在辛幾何里，一個核心問題是對偽全純曲線的?？臻g構造虛基本鏈（virtual fundamental cycle）。這一問題在 Gromov-Witten 理論以及 Floer 同調理論中都有著根本的重要性。許多大師級數學家在這個問題上做過重要工作，包括中國數學家阮勇斌、田剛、李駿等人。傳統上，構造虛基本鏈偏重于分析方法，需要對初始數據做適當的擾動，經常包含大量繁瑣的技術細節，對最一般情形的討論動輒上千頁。

在 Pardon 的博士論文里，他采用了一個跟前人非常不同的方法來構造虛基本鏈，為現代辛拓撲提供了新的理論基礎。他運用高階范疇論和導出幾何（Derived geometry）的語言，將分析的技術細節用代數結構加以提煉。作為應用，他給出了 Gromov-Witten 理論的新構造以及（有理系數的）Arnold 猜想的新證明。當然，Pardon 所能做的不只是重建已知結果。他把這套理論框架應用到切觸幾何，第一次在一般情形下嚴格構造了切觸同調。（幾乎跟 Pardon 同時，鮑爾考和本田公（Ko Honda）用更加經典但同樣簡潔的方法給出了切觸同調另一種構造。后來經典的構造方法又有許多重大進展，整個領域的面貌跟十幾年前已經截然不同。）

Pardon 的這一工作為他贏得了數學界更廣泛的認可。2015 年，他剛剛獲得博士學位，就被母校斯坦福大學跳過博士后階段直接聘為助理教授。僅僅一年后，27 歲的 Pardon 就成為普林斯頓大學數學系正教授。他是普林斯頓大學歷史上最年輕的正教授之一。據筆者所知，此前有三位數學家博士畢業兩年就當上普林斯頓數學系正教授，分別是 William Thurston、Andrew Wiles 和 Manjul Bhargava。博士畢業僅一年就當上普林斯頓數學系正教授的，Pardon 應該是第一個。

2. 深谷范疇的局部化與同調鏡像猜想

同調鏡像猜想是菲爾茲獎得主 Maxim Kontsevich 在 1994 年提出的一個深刻猜想，它把 Calabi-丘流形的辛幾何與復代數幾何聯系在一起。在 Calabi-丘流形上，從辛幾何角度可以定義深谷范疇 （Fukaya category），從復代數幾何角度可以定義凝聚層的導出范疇。同調鏡像猜想斷言，對于每一個 Calabi-丘流形 X，都存在一個“鏡像流形” Y，使得 X 的深谷范疇等價于 Y 的凝聚層的導出范疇。

Pardon 與 Sheel Ganatra 、 Vivek Shende 合作發表三篇論文，發展了一系列新工具，可以用于計算深谷范疇。他們定義了一類叫作 Liouville sectors 的帶邊 Liouville 流形，并證明這些流形的深谷范疇具有良好的協變函子性質。如果一個 Liouville 流形能夠用 Liouville sectors 覆蓋，在一定條件下，他們可以把原流形的深谷范疇的計算轉化為對 Liouville sectors 的深谷范疇的計算。這種局部—整體原理在數學各個領域經常出現。在這一系列工作中，他們發現了深谷范疇與柏原正樹和 Pierre Schapira 的微局部分析之間的密切聯系。作為應用，他們驗證了很多情形下的同調鏡像猜想。

3. MNOP 猜想的徹底解決

MNOP 猜想是計數幾何（Enumerative geometry）里的一個核心問題，在2003—2004 年由 Maulik、Nekrasov、Okounkov 和 Pandharipande 四人提出。這個猜想斷言，對于三維 Calabi-丘簇，其 Gromov-Witten 不變量跟 Donaldson-Thomas 不變量是等價的。Pandharipande 學派在這個猜想上做了大量工作，對大多數情形證明了該猜想。

Pardon 在 2023 年發表了一篇預印本文章，宣布徹底解決 MNOP 猜想。他采用了全新的思路，證明三維復代數簇上的某些特定的一維鏈的 Grothendieck 群由“局部曲線”自由生成。作為一個推論，三維復代數簇上的曲線計數問題可以轉化為局部曲線上的曲線計數問題。而對于局部曲線，其 MNOP 猜想此前已經被 Bryan-Pandharipande 和 Okounkov-Pandharipande 證明。Pardon 的這個證明從概念上比以前大量特殊情形的證明更加簡潔優美，而且其方法可以運用到許多其他計數幾何問題上。

如果說 Pardon 以前的工作讓他成為菲爾茲獎的重要候選人，那么 MNOP 猜想的徹底解決無疑為他競爭菲爾茲獎加上了一枚重量級的砝碼。

破壁前行

從高中時期運用線性規劃、泛函分析、測度論研究度量幾何，到本科時把拓撲與幾何結合解決紐結扭曲度問題；從博士第一年把群作用、三維拓撲、映射類群融為一體證明三維 Hilbert–Smith 猜想，到博士論文中借助高階范疇論、導出幾何重建辛幾何基礎；從建立深谷范疇的局部－整體原理，再到以全新思想解決 MNOP 猜想，Pardon 的研究軌跡囊括了當代幾何與拓撲的多個核心方向。盡管他研究的大部分問題都屬于幾何與拓撲，但他也大量使用了代數、分析等領域的工具。他本人的研究還包括概率論，對于計算機也有深厚造詣。很難用一個狹義的學科標簽來定義他。

在今天的數學研究中，各個方向不斷細分，專業壁壘越來越高。許多數學家終其一生都深耕于一個相對狹窄的領域。而 Pardon 卻始終能夠自由穿梭于不同領域之間，打破那些看似牢不可破的壁障。正如他自己所說，他總是愿意走向那些“根本不知道該從哪里開始”的問題，并一次又一次地找到別人未曾想到的道路。

他是一位真正的破壁人。

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