湖北
【解題研究】用好軸對稱——2026年北京中考數學第27題
軸對稱這個概念小學的時候學生就知道，直觀上可以辨認出兩個圖形是否是軸對稱關系，到了初中階段，學完全等之后，更進一步在幾何體系內重新認識軸對稱，并作為特殊的全等。我們理解軸對稱的關鍵，是找準對稱軸，看清對稱點。
對于學生來講，用好軸對稱的難點是如何想到，在閱讀題目條件的過程中，通過哪條線索，將思路引到軸對稱。
題目
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α(0° <α<60°)。過ac的中點d作ac的垂線l，交ab于點e，點m在de的延長線上，∠abm=30°.< pan>
(1)如圖1，α=30°，求證：AB=2DM；
(2)如圖2，點N在ED的延長線上，∠ABN=30°，連接AM，AN，直接寫出∠MAN的大小，并證明.
解析：
01
(1)當α=30°時，我們可得∠A=∠ABM=30°，所以BM∥AC，可知∠BME=∠ADE=90°，這樣就得到了兩個含30°角的直角三角形，Rt△BME和Rt△ADE，則BE=2ME，AE=2DE，相加之后即可得到AB=2DM；
02
(2)注意本小題中的兩個30°角，所以BA是∠MBN的角平分線，并且∠MBN=60°；
方法一：考慮過點A向BM，BN的延長線作垂線，如下圖：
由角平分線定理可知AF=AG，并且Rt△ABF和Rt△ABG均為含30°角的特殊直角三角形，所以AF=AG=1/2AB，而AD=1/2AC，再加上AB=AC，我們得到了AD=AF=AG；
∠ADN=∠G=90°，可用HL證明△ADN≌△AGN，得∠DAN=∠GAN=1/2∠DAG，同理可證△AMF≌△AMD，再得∠MAD=∠MAF=1/2∠FAD；
∠MAN=∠MAD+∠DAN=1/2(∠FAD+∠DAG)=1/2∠FAG；
觀察∠FAG，它由∠FAB和∠GAB組成，這兩個角恰好是60°，所以∠MAN=60°.
方法二：作點M關于AB的對稱點F，連接AF，過點A作AG⊥BN，交BN延長線于點G，如下圖：
由角平分線定義可知，點F一定在BN上，Rt△ABG是含30°角的特殊直角三角形，所以AG=1/2AB，而AD=1/2AC，由AB=AC可知AD=AG，由軸對稱可知AM=AF，所以可用HL證明Rt△AMD≌Rt△AFG，得∠MAD=∠FAG，把中間公共部分減掉，得∠MAF=∠DAG；
我們同樣可證明∠DAN=∠GAN，∠BAM=∠BAF，所以這四個角均相等，利用這個等量關系，我們來看∠MAN=∠BAM+∠EAN=∠GAN+∠EAN=∠EAG=60°.
解題思考
很多學生解完這道題之后覺得并不算太難，甚至也有少數學生猜測最后的結果也是對的，當然知其然不知其所以然，我們并不推薦，至少要能說清楚思路。
從已經解完題的角度來看，有點類似于半角模型，但仍然會有學生拿到題目之后，想不到角平分線的作用，要知道角平分線的概念也是小學就學過，初中在學習角的時候接觸過，軸對稱的時候進一步證明過它的相關定理，這兩種方法無論哪一種，都用到了角平分線的軸對稱性，事實上這道題八年級學生也能做，條件中的α，在最后一問中幾乎沒起到作用，頗有點意外。
在引導學生思索的過程中，30°角的條件是關鍵，它除了幫我們找到角平分線之外，還構造出了60°角，并且頂點和∠MAN相同，即“搬”了一個已知角到未知角位置，符合一般的證題思路，然后在尋找∠MAN和這個60°角之間的關系時，很比較容易想到軸對稱或全等了。
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