【解題研究】知其所以然——2026年北京中考數(shù)學第16題

【解題研究】知其所以然——2026年北京中考數(shù)學第16題

曾經(jīng)在某一次公開課上，我興致滿滿地準備了一道壓軸題的四種不同思路（解法），只要學生想到某個突破口，都能順利引導(dǎo)他們完成解題，但事實上這節(jié)課我個人認為并不十分成功，雖然大部分學生都完成了這道題，而且方法也各不相同，表面上看通過老師引導(dǎo)，學生用不同思路完成了，課堂效果是拉滿了，但有一處細節(jié)讓我感覺到班上的學生有一種根深蒂固的習慣，就是只要做出來就好了，其余解法關(guān)我什么事？

特別是當?shù)谝慌斆鞯暮⒆油瓿芍螅瑝焊蜎]心思繼續(xù)聽下去，就急著去完成下一道題目，當然肯定會被卡住，因為原本設(shè)計的就是通過第一道題的思想方法來完成第二道，難度提升了，前面如果不吃透，后面就不容易找思路了。

后來的教學中，無數(shù)次遇到過類似的場景，并不是說孩子們不聰明，而是太聰明了，也太功利了，只要做出來就好了，搞那么多花樣干嘛？

做出一道題，和理解一道題，是完全不同的兩件事。

題目

如 圖 所 示 ， 公 路 旁 自 西 向 東 依 次 有 ， ，

共6處住宅和一所學校，每個工作日早上，每處住宅各有1名學生需乘同一輛校車前往學校，校車僅在設(shè)于某一住宅處的車站停車一次，每名學生需從家住宅沿公路步行至該車站乘車，6名學生都上車后，校車沿公路向東行駛至學校。

已知每名學生在相鄰兩處住宅間的步行時間均為2.5min，校車

在 相 鄰 兩 處 住 宅 間 的 行 駛 時 間 均 為 ， 校 車 從

處至學校的行駛時間為20min。一名學生的理想通勤時間是指該學生從自家住宅至車站的步行時間與校車從車站至學校的行駛時間之和（不考慮其它因素）。

(1)若車站設(shè)在

若 車 站 設(shè) 在 ， 則 住 在 處 的 學 生 的 理 想 通 勤 時 間

為____________min；

若 當 車 站 設(shè) 在 處 時 這 名 學 生 的 理 想 通 勤 時 間 之 和 最 小

，則k=_________.

解析：
(1)對于住在A6住宅的學生，他需要4×2.5分鐘到達車站，然后校車需要4×1+20分鐘到學校，所以這位學生的理想通勤時間是34分鐘；

(2)可通過列舉法求解：

當車站設(shè)在A1處住宅時，即k=1，如下圖：

除A1處住宅的學生外，其余學生分別需要步行1×2.5，2×2.5，3×2.5，4×2.5，5×2.5分鐘到達車站，然后校車從A1到學校的時間是25分鐘，因此這6名學生的理想通勤時間之和是(1+2+3+4+5)×2.5+25×6=187.5分鐘；

當車站設(shè)在A2處住宅時，即k=2，如下圖：

除A2處住宅的學生外，其余學生分別需要步行1×2.5，1×2.5，2×2.5，3×2.5，4×2.5分鐘到達車站，然后校車從A2到學校的時間是24分鐘，因此這6名學生的理想通勤時間之和是(1+1+2+3+4)×2.5+24×6=171.5分鐘；

當車站設(shè)在A3處住宅時，即k=3，如下圖：

除A3處住宅的學生外，其余學生分別需要步行1×2.5，1×2.5，2×2.5，2×2.5，3×2.5分鐘到達車站，然后校車從A3到學校的時間是23分鐘，因此這6名學生的理想通勤時間之和是(1+2+3+2+1)×2.5+23×6=160.5分鐘；

當車站設(shè)在A4處住宅時，即k=4，如下圖：

除A4處住宅的學生外，其余學生分別需要步行1×2.5，1×2.5，2×2.5，2×2.5，3×2.5分鐘到達車站，然后校車從A3到學校的時間是22分鐘，因此這6名學生的理想通勤時間之和是(1+2+3+2+1)×2.5+22×6=154.5分鐘；

當車站設(shè)在A5處住宅時，即k=5，如下圖：

除A5處住宅的學生外，其余學生分別需要步行1×2.5，1×2.5，2×2.5，3×2.5，4×2.5分鐘到達車站，然后校車從A3到學校的時間是21分鐘，因此這6名學生的理想通勤時間之和是(1+2+3+4+1)×2.5+21×6=153.5分鐘；

當車站設(shè)在A6處住宅時，即k=6，如下圖：

除A6處住宅的學生外，其余學生分別需要步行1×2.5，2×2.5，3×2.5，4×2.5，5×2.5分鐘到達車站，然后校車從A1到學校的時間是20分鐘，因此這6名學生的理想通勤時間之和是(1+2+3+4+5)×2.5+20×6=157.5分鐘；

綜上所述，理想通勤時間之和最小時，k=5.

但作為一道填空題，耗費如許多的時間去計算，再比較，未免太浪費，有沒有相對簡單一點的方法，讓計算量大幅減少呢？

我們不妨比較這幾個算法中，當車站從A1到A6，校車行駛時間是依次減少的，從25分鐘到20分鐘，請注意在求和的時候，這個時間要乘以6；

另外車站從A1到A6，每個學生步行的時間不同，但也有規(guī)律可循，車站在A1和A6處，A2和A5處，以及A3和A4處，學生步行時間相同，為方便觀察，我們將這些算式列在下面：

(1+2+3+4+5)×2.5+25×6①

(1+2+3+4+1)×2.5+24×6②

(1+2+3+2+1)×2.5+23×6③

(1+2+3+2+1)×2.5+22×6④

(1+2+3+4+1)×2.5+21×6⑤

(1+2+3+4+5)×2.5+20×6⑥

算式①至⑥中，前半部分是2.5乘以五個數(shù)的和，算式③和④最小，后半部分的結(jié)果依次遞減；顯然前后部分相加之后，算式③的值大于算式④的值，所以我們只需要比較算式④和算式⑤即可，從算式④到算式⑤，前半部分增加了2個2.5，即5，而后半部分減少了6，相加之后仍減少了1，所以算式④的值大于算式⑤的值；

同樣的我們來比較算式⑤和算式⑥，前半部分增加了10，而后半部分減少了6，相加之后仍增加了4，所以算式⑥的值大于算式⑤的值，最后得到算式⑤的值最小，這并不需要將全部數(shù)字計算出來，只需要口算其中的一部分，大大減輕了計算量。

全部數(shù)據(jù)列表如下：

解題思考：

這道題，用列舉法挨個求和計算，無疑會花很多時間，并且k取4和5時，時間和相差極小，稍不留神會失誤，在閱讀理解題目條件時，可能有學生對“時間和”的理解不到位，沒有將校車時間乘以6，要注意這個時間和，是指每個學生的理想通勤時間，既然每個學生都有一段乘坐校車的經(jīng)歷，那么校車時間必須乘以6。

單純討論這道題涉及到的知識點，是非常簡單的，小學知識也能求解，但它蘊含的數(shù)學邏輯卻是我們在找規(guī)律、列表格統(tǒng)計等活動中經(jīng)常用到的，前面所列表格中的數(shù)字其實是“對稱”的，步行時間和若用折線統(tǒng)計圖，類似開口向上的拋物線，校車時間若也用折線統(tǒng)計圖，類似一次函數(shù)圖象，總和的變化規(guī)律也是先減少，再增加，隱隱有函數(shù)味道在里面。

若是這道題在講解的時候只注重知識點，那么完全可以由小學數(shù)學老師來，但若要注重學生的數(shù)學素養(yǎng)，必須在初中課堂上注意培養(yǎng)，不是某一節(jié)課，是所有的數(shù)學課堂。