格羅滕迪克如何徹底改變了20世紀數(shù)學

格羅滕迪克在數(shù)學界備受尊崇；而在數(shù)學界之外，如果人們對他有所了解，通常是因為他不尋常的人生經(jīng)歷。那么，他的實際數(shù)學貢獻是什么呢？

撰文 | Konstantin Kakaes

編譯 | 數(shù)學家編譯小組

阿爾伯特·愛因斯坦之于20世紀物理學，正如亞歷山大·格羅滕迪克之于20世紀數(shù)學。他的知名度遠低于愛因斯坦，因為數(shù)學比物理學更容易發(fā)展為高度技術(shù)化的領(lǐng)域。但就像愛因斯坦一樣，格羅滕迪克的影響不僅來自于他本人的成果——盡管這些成果具有革命性——他的工作還將整個學科引向了全新的方向。

格羅滕迪克從早年就展現(xiàn)出極度專注的性格，且過著清苦的生活。從20世紀50年代初他20多歲時開始，他撰寫了數(shù)千頁正式和非正式的筆記，改變了數(shù)學的進程。然后到了1970年，他退出了。他辭去了巴黎城外一所著名研究機構(gòu)的職位，回到當年他讀本科的蒙彼利埃大學任教。他基本不再與其他數(shù)學家交流。20世紀90年代初，他搬到了比利牛斯山脈的一個小村莊，像隱士一樣生活。

數(shù)學家們?nèi)栽谙雮€世紀前做出的創(chuàng)新。他的工作將數(shù)學推向了一個新的抽象層次，聚焦于對象之間的關(guān)系，而非對象本身。“如果說數(shù)學中有什么比其他任何東西更讓我著迷（毫無疑問一直以來都是如此），那既不是‘數(shù)’也不是‘大小’，而永遠是‘形狀’，”他在回憶錄中寫道。“在形狀選擇向我們展示的千百種面貌中，那個比其他任何都更讓我著迷且持續(xù)至今的，是隱藏在數(shù)學中的結(jié)構(gòu)。”

他的革命性數(shù)學理論，正是以探索那種隱藏結(jié)構(gòu)為核心。

揭示形狀

格羅滕迪克最著名的是他在代數(shù)幾何方面的工作。該領(lǐng)域最初是作為研究由多項式方程定義的形狀而發(fā)展起來的——多項式方程是將變量提升到固定冪次后相加的方程。這些方程可以簡單如一條直線

但是，當你考慮越來越多的變量被提升到更高的冪次，并且尋找滿足多個方程組（而非僅僅一個方程）的解時，事情會迅速變得更加復雜——也更加抽象。

格羅滕迪克，1954年。丨圖源：Paul R. Halmos攝影集e_ph_08592_pub

該學科在19世紀末起飛，當時數(shù)學家開始提出這樣的問題：如果你不把普通數(shù)字代入方程，而是代入來自其他更抽象集合的數(shù)字，會發(fā)生什么？

在格羅滕迪克之前，代數(shù)幾何是數(shù)學中一個有趣且充滿活力的子學科。但它也處于某種危機之中，正如數(shù)學家 David Mumford 后來所寫的那樣。“每個研究者都使用自己的定義和術(shù)語，該學科的‘基礎(chǔ)’至少用六種不同的數(shù)學‘語言’描述過。”

“然后格羅滕迪克出現(xiàn)了，他把這個混亂的研究者世界顛倒了過來，用新的術(shù)語以及大量新的、非常激動人心的成果征服了他們。”

• —— David Mumford

格羅滕迪克最著名的是引入了數(shù)學構(gòu)造，這些構(gòu)造幫助他和其他人證明了長期存在的猜想，并且它們本身最終成為了核心研究對象。

他的工作還將代數(shù)幾何置于一個由許多其他數(shù)學領(lǐng)域組成的網(wǎng)絡(luò)的中心——包括拓撲學、數(shù)論、表示論和邏輯學。“格羅滕迪克從未直接從事數(shù)論研究，”斯坦福大學的 Brian Conrad 說，“但他引入代數(shù)幾何的思想徹底改變了數(shù)論的研究方式。”

他在代數(shù)幾何中的第一個重大成果是 1957 年對 Riemann-Roch 定理的推廣，該定理的原版證明于一個世紀前，它揭示了曲面的形狀如何限制可在其上定義的函數(shù)。正如法國國家科學研究中心的 Leila Schneps 所寫，格羅滕迪克的證明“將他瞬間推向了數(shù)學界的明星地位”。

得益于他的技術(shù)，“一大批全新的運算成為可能，” Conrad 說。“它為思考這一定理為何成立開辟了一條全新的途徑。”

然后，同樣迅速的是，格羅滕迪克轉(zhuǎn)向了下一個目標。在 1958 年國際數(shù)學家大會上，他宣布打算重塑整個代數(shù)幾何。他將用一種叫做“概形”（scheme）的東西來實現(xiàn)這一目標。

一種新的數(shù)學體系

在那十年前，數(shù)學家 André Weil 提出了一個猜想，將定義在兩個截然不同的數(shù)學環(huán)境中的多項式方程的解聯(lián)系起來。第一個是有限域，即按照循環(huán)算術(shù)規(guī)則運行的數(shù)字系統(tǒng)。第二個是復數(shù)，

Weil 提出了四個猜想，將一個環(huán)境中的多項式與另一個環(huán)境中的多項式聯(lián)系起來。Conrad 說，這些猜想“聽起來像是平行宇宙之間的通信”。

André Weil 提出了四個猜想。這些猜想不僅成為代數(shù)幾何學的基礎(chǔ)理論支柱，還將該學科與其他重要研究領(lǐng)域聯(lián)系在了一起，包括數(shù)論。丨圖源：Sylvie Weil

作為證明這些猜想的努力的一部分，格羅滕迪克提出了他的“概形”概念。嘗試證明是“概形理論的主要動機之一，”多倫多大學的 Daniel Litt 說，但“它真正帶來的是更多的東西。”

在 Weil 之前，數(shù)學家們實際上只通過指定他們想要使用的特定數(shù)字系統(tǒng)來討論像

相比，這些方程的解看起來會大不相同。

“格羅滕迪克找到了定義空間抽象概念的正確方法，即思考空間的新方法。”

• —— Brian Conrad

在格羅滕迪克對 Weil 猜想為何成立給出解釋之后，數(shù)學家們開始相信，無論 和 是復數(shù)、有限域中的元素還是香蕉（譯注：數(shù)學中幽默梗，表明與對象具體取什么無關(guān)），方程都具有有意義的獨立結(jié)構(gòu)。起初，這種觀點看起來毫無道理，就像一句話的意思與所用語言的字詞無關(guān)。但格羅滕迪克定義了數(shù)學結(jié)構(gòu)，使得做出這樣的陳述成為可能，并且對于那些掌握了他的新語言的人來說，這些陳述甚至是直觀的。

正如 Conrad 所解釋的，“格羅滕迪克找到了定義空間抽象概念的正確方法，即思考空間的新方法。”他認識到“你探測一個空間的幾何的方式不是通過觀察點，而是通過研究其他東西。”

這就是格羅滕迪克的概形發(fā)揮作用的地方。即使構(gòu)造一個簡單的概形也需要一些努力。但如果你繼續(xù)讀下去，就有可能理解概形是什么，并培養(yǎng)出對它們?yōu)楹斡杏玫闹庇X。

概形是由抽象的代數(shù)成分構(gòu)建而成的幾何空間。

從整數(shù)的抽象推廣開始，這個推廣叫做“環(huán)”。一個環(huán)是一組元素，它們可以相加、相減和相乘，但不能總是相除。

格羅滕迪克共有五個孩子，圖中的是他第四個孩子 Mathieu，出生于1965年。丨圖源：Shutterstock

現(xiàn)在，觀察你的環(huán)的一個子集，這個子集是“封閉的”，意思是如果你將子集中的兩個元素相加或相減，結(jié)果仍在子集中。例如，取所有5 的倍數(shù)。這個子集不僅是封閉的，它還有另一個性質(zhì)：你可以將環(huán)中的任意一個數(shù)乘以該子集中的一個元素，結(jié)果必然也在該子集中。這使得該子集成為數(shù)學家所謂的“理想”。

此外，如果你將環(huán)中的任意兩個數(shù)相乘，結(jié)果落在這個子集中（3X5=15），那么你所乘的兩個數(shù)之一（5）也一定在這個子集中，即使另一個數(shù)（3）不在。

這第二個性質(zhì)使得該子集成為“素理想”。（要理解原因，請看6的倍數(shù)。它們構(gòu)成一個理想，但不是素理想，因為在2X3的理想中，但2和3都不在。）

就整數(shù)而言，素理想是對應(yīng)于每個素數(shù)以及零的倍數(shù)集合。可以將一個環(huán)的所有素理想的集合作為一個單一的幾何空間來研究。首先，將每個素理想表示為一個點。然后在這些點上定義一個“拓撲”，根據(jù)它們共有的元素將它們放入鄰域中。（奇怪的是，零理想最終與每一個素數(shù)都“接近”，這說明了隱藏在整數(shù)背后的一種以前未知的結(jié)構(gòu)。）

格羅滕迪克的創(chuàng)新是在這個空間之上添加一層結(jié)構(gòu)——一個最近發(fā)現(xiàn)的數(shù)學上層建筑，叫做“層”（sheaf），它攜帶額外的代數(shù)信息。

例如，在你的空間的每個點上，這個層會附加另一個集合，稱為“莖”（stalk）。讓我們回到整數(shù)的一個素理想：表示所有5 的倍數(shù)子集的空間中的那個點。附加到這個點上的莖將包含所有分母不能被 整除的分數(shù)。（附加到0 的莖包含所有可能的分數(shù)。）在這個簡單的例子中，很難看出莖的用途，但在更復雜的概形中，計算莖的內(nèi)容以及它們相互作用的方式被證明是一個數(shù)學上強大的工具。

0對應(yīng)的“莖”則包含了所有可能的分數(shù)；每個素數(shù)對應(yīng)的“莖”中，包含的所有分數(shù)的分母都不能被該素數(shù)整除。丨圖源：Mark Belan/Quanta Magazine

這整個對象——素理想的空間，以及在其上構(gòu)建的層（及其所有莖）——被稱為“仿射概形”。通常，概形是通過以精確的數(shù)學方式將仿射概形粘合在一起而構(gòu)造的。

過研究概形的性質(zhì)，你可以深入了解方程的結(jié)構(gòu)，而無需依賴任何特定的數(shù)字系統(tǒng)。盡管聽起來不可思議，但這是一種脫離單詞所書寫語言來研究句子本身的方法。

格羅滕迪克在生命的最后年歲里，以隱士的身份生活在法國的鄉(xiāng)村中。這張照片是他去世前一年拍的。丨圖源：Peter Badge

廣義上講，這就是為什么格羅滕迪克和其他人能夠使用概形——以及一系列建立在其上的思想——來重新證明 Weil 四個猜想中的一個，并證明另外兩個。（格羅滕迪克的學生 Pierre Deligne 后來使用格羅滕迪克開發(fā)的其他結(jié)構(gòu)證明了第四個猜想，這是在有限域背景下著名的 Riemann 假設(shè)的一個版本。）格羅滕迪克繼續(xù)提出了更加抽象和強大的概念，包括拓撲斯（topos）、堆（stacks）、motive（母題/動機）和平展上同調(diào)。所有這些在今天代數(shù)幾何和數(shù)學的其他領(lǐng)域中都扮演著重要角色。

概形為數(shù)學家提供了一種新穎的、系統(tǒng)的方法來研究代數(shù)幾何中對象之間的關(guān)系。而且，由于概形允許你將出現(xiàn)在數(shù)學各處的環(huán)作為幾何空間來研究，它們可以用于將幾何技術(shù)引入代數(shù)、數(shù)論及其他領(lǐng)域。

格羅滕迪克于2014年去世，在經(jīng)歷了多年的孤獨生活后，與他曾幫助創(chuàng)建的數(shù)學界疏遠了。盡管如此，數(shù)學家們?nèi)詰阎粗嘏c喜愛之情懷念他。正如哈佛大學的數(shù)學家 Barry Mazur 所寫：“在60年代早期，他的講座帶有一種從容不迫的寧靜感。他常常帶著微笑提出數(shù)學想法，那微笑中總是透著襟懷坦蕩……一種‘世上沒有比這更容易的事’的感覺，他看待事物的方式就是如此。”

他的思想很復雜，但“一旦你把東西搭建好，大多數(shù)論證都是非常直接的，” Litt 說。“你只要不停地走下去。他為我們找到了高速公路。”

本文原載微信公眾號“數(shù)學家”（校對：慧玲；責編：），返樸有修訂。

特 別 提 示

『返樸』提供按月檢索功能。關(guān)注公眾號，回復四位數(shù)組成的年份+月份，如“1903”，可獲取2019年3月的內(nèi)容目錄，以此類推。