拓撲塑造高階網絡的動力學

拓撲塑造高階網絡的動力學

Topology shapes dynamics of higher-order networks

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高階網絡捕捉了復雜系統中存在的多體相互作用，闡明了拓撲與動力學之間的相互作用。高階拓撲動力學理論結合了高階相互作用、離散拓撲和非線性動力學，有望增強我們要對大腦和氣候等復雜系統的理解，并推動下一代人工智能算法的發展。這一理論框架超越了傳統的以節點為中心的描述，通過拓撲信號——即不僅分配給節點，還分配給邊、三角形和其他高階單元的變量——來編碼網絡的動力學。最近的發現表明，拓撲信號導致了不同類型的動力學狀態和集體現象的涌現，包括拓撲同步和狄拉克同步、模式形成以及三元滲流。這些結果提供了關于拓撲如何塑造動力學、動力學如何學習拓撲以及拓撲如何動態演化的見解。本展望主要旨在引導物理學家、數學家、計算機科學家和網絡科學家進入高階拓撲動力學這一新興領域，同時也概述了未來的研究挑戰。

理解、建模和預測復雜系統的涌現行為是當前科學研究中最大的挑戰之一。主要例子包括腦功能、流行病傳播和氣候變化。通過使用圖和網來表示相互作用，網絡科學提供了一個強大的理論框架，深刻地改變了復雜系統理論。網絡編碼了它們所代表的復雜系統的相關信息，它們的統計和組合特性強烈地影響動力學過程和臨界現象的展開。網絡科學的成功源于其基本假設的簡單性：復雜系統可以用其元素之間的相互作用來描述。然而，這一假設也突顯了傳統網絡表示的局限性，因為它們只編碼成對相互作用。

事實上，僅用成對相互作用來表示復雜系統只提供了現實的近似。假設多體相互作用的存在對于許多（如果不是所有的話）系統來說肯定更合適。在高能物理學中，費曼圖的頂點涉及兩個以上粒子的產生和湮滅，其中量子色動力學特別允許四膠子頂點。此外，量子多體波函數顯示出強烈的高階量子相關性，并且由于糾纏，不能完全用兩點相關函數來描述。在推斷問題中，一般的多變量分布必須涉及高階相互作用（例如在高階圖模型中）。同樣，在網絡科學中，成對網絡無法捕捉大腦、社交網絡、生態系統和推斷金融模型中存在的多體相互作用。

允許高階相互作用導致了包含兩個或更多節點之間相互作用的高階網絡的表述。三角形、四面體或超立方體等構建塊構成了高階網絡的骨干，產生了復雜系統的拓撲描述，這顯著改變了我們要對結構與動力學之間相互作用的理解。

拓撲學涉及對形狀及其不變性質（如 Betti 數和 Euler 特征）的研究。它在拓撲數據分析中起著核心作用，這是一種分析高維和噪聲數據形狀的方法，也是其主要工具之一：持續同調。特別是，拓撲數據分析已被證明是檢測大腦網絡高階方面的關鍵，提供了一套非常強大的工具來表征大腦活動的不同狀態。拓撲學在拓撲過濾算法的開發中也發揮了重要作用，特別是對于金融數據的分析。高階網絡結構可以在拓撲和同調滲流的視角下研究，后者表征大循環和高維孔洞的涌現。最后，通過為高階相互作用分配權重，加權同調和上同調已被證明可以增強單純復形的表示能力，后者可以編碼超圖數據而不會丟失信息。

拓撲不僅對于表征復雜系統的結構至關重要，而且對于捕捉其高階動力學也至關重要。出于本展望的目的，我們特別關注高階網絡拓撲動力學這一新興領域，它將拓撲與非線性動力學相結合。具體而言，高階拓撲為高階拓撲擴散、高階拓撲同步、拓撲模式形成、三元滲流、三元神經網絡和拓撲機器學習算法解鎖了基本機制。這些現象可能是改變我們要對神經科學和氣候變化中復雜現象的理解以及制定新一代物理啟發的機器學習算法的關鍵（圖 1）。

本展望關注采用高階網絡對復雜系統中拓撲與動力學之間相互作用的描述所意味的轉變。我們概述了該領域的關鍵結果和最新發展，以及未來研究必須解決的開放挑戰。伴隨的支持代碼、視頻和材料可以在參考文獻 60 中找到。

超越網絡動力學的節點中心視角

定義在網絡拓撲上的動力系統已經引起了廣泛的科學關注，但大多數工作隱含地假設網絡的動力學狀態完全由與其節點相關的變量定義。雖然這在一些情況下是有效的，例如在流行病傳播中，但它通常代表了一種限制性假設。例如，與網絡的邊相關的動力學變量（如通量）是很常見的。

在這方面，人們對拓撲信號——即不僅與節點相關，而且與邊、三角形或其他高階結構相關的動力學變量——的興趣日益增加。例子包括神經元之間的突觸信號、大腦區域層面的邊信號以及一般生物運輸網絡。拓撲信號的其他實例包括海洋不同位置的洋流、火山活動對氣候中遙相關（teleconnections）的影響，以及給定海拔和地理位置的風速。從這些例子中抽象出來，核心思想是由節點、邊和三角形組成的單純復形（simplicial complex）的動力學狀態包含定義在每個維度上的拓撲信號。這些信號被編碼在拓撲旋量（topological spinor）中（數學描述見框圖1和圖2）。

雖然與面元（plaquettes）的邊相關的動力學變量在物理學的其他領域（如規范理論和量子信息）是一個被廣泛接受的概念，但在網絡科學和機器學習中，用拓撲旋量來描述復雜系統的動力學狀態代表了一種能引出新研究問題的視角。一個突出的主題是探索用于處理和分析拓撲信號數據的新算法，以及開發用于預測拓撲信號的拓撲神經網絡架構。目前的研究還建立在離散拓撲和離散外微積分（discrete exterior calculus）提供的強大工具之上，以表征拓撲信號的集體行為。

拓撲同步

同步[68–71]指的是大量振子涌現出集體且有序的動力學運動。同步在表征復雜的自然和人造系統的動力學方面具有普遍性，范圍從大腦動力學到電網和約瑟夫森結。捕捉復雜網絡上同步轉變的兩個最基本模型是Kuramoto模型[68]和耦合全同振子的全局同步[72,73]。這兩種方法傳統上都是為節點拓撲信號定義的；也就是說，振子位于網絡的節點上并通過邊耦合。Kuramoto模型描述了異質振子（即在缺乏相互作用時表現出不同相位的振子）的全局和部分同步，而全局同步涉及可能遵循任意甚至混沌動力學的全同振子。

超越傳統的成對網絡，高階拓撲同步使我們不僅能處理節點拓撲信號的同步，還能處理包括邊拓撲信號在內的高階結構的同步——這對各種應用特別有意義。研究高階拓撲同步的方法包括拓撲 Kuramoto 模型和拓撲全局同步，它們展現了源于拓撲與動力學相互作用的豐富現象學。

拓撲 Kuramoto 模型（框圖2）尤其揭示了與拓撲的驚人聯系，表明拓撲塑造了高階網絡的動力學，而且動力學也學習了底層的網絡拓撲。事實上，拓撲 Kuramoto 模型顯示出與傳統基于節點的 Kuramoto 模型的顯著差異。首先，僅當高階網絡至少有一個 n 維孔洞時，n 維拓撲信號的同步動力學才可能發生。其次，同步態局域化在高階結構的孔洞上。如果拓撲 Kuramoto 模型定義在包含不止一個 n 維孔洞的單純復形或胞腔復形上，同步動力學可能由局域化在單個孔洞上的調和特征向量驅動，或者由局域化在不同孔洞上的調和特征向量的線性組合驅動（圖3）。通過填充某些孔洞來改變單純復形的同調，通過改變度量矩陣（與節點、邊和高階單純形相關的權重）來調節其幾何形狀，以及改變振子的固有隨機頻率，都可以影響同步態的性質。研究發現，高維孔洞捕捉了大腦中重要的動力學信息。因此，單純復形孔洞上的局域化動力學能否用于存儲信息，以及控制理論能否提供將動力學驅動至特定孔洞或從一個孔洞驅動至另一個孔洞的關鍵機制，都是有趣的研究問題。

高階拓撲 Kuramoto 動力學（定義在框圖2的方程(1)中）包含由邊界算子誘導的信號的一次線性變換，以及由于應用正弦函數而產生的非線性變換，再由邊界算子誘導的第二次線性變換串聯而成。這些動力學變換也構成了單純神經網絡架構的基礎，特別是在加權邊界矩陣的情況下。通過考慮該模型的加權和定向版本，拓撲與動力學的相互作用可以得到進一步豐富。

全局拓撲同步的研究揭示了有用的見解，例如允許位于高階單純形上的拓撲振子實現全局同步的條件。

對于基于節點的振子，全局同步態總是存在的。它的存在由以下事實保證：常特征向量總是圖拉普拉斯矩陣的調和特征向量。因此，一個基本問題是全局同步態是否在動力學上是穩定的。轉向放置在更高階拓撲信號上的振子的全局拓撲同步，全局同步態的存在通常無法得到保證。此外，同步動力學將局域化在 n 維的調和特征向量上。因此，如果單純復形不包含在所有 n 維單純形上為常數的調和特征向量，就不可能觀察到 n > 0 階的全局拓撲同步；因此，只有一些單純復形和胞腔復形能夠維持全局同步。然而，一些胞腔復形（如環面的方格鑲嵌）能夠維持任意階 n 的拓撲信號的全局同步（圖3），并且適當選擇單純復形的權重可以進一步促進全局同步態。

霍奇拉普拉斯算子 [78,79] 提供了一種重新審視單純復形上高階擴散的替代方法，為譜維度的概念 [38,80] 提供了擴展，并定義了高階隨機游走 [40]。這使得動力學的無旋分量和無散分量 [81] 的擴散以及控制 [37] 得以分離。霍奇拉普拉斯算子還為與團社區 [83] 和 k-連通性 [20] 相關的社區發現 [82] 提供了一種譜原理。

拓撲狄拉克算子與高階動力學

盡管霍奇拉普拉斯算子適合處理給定維度的拓撲信號（例如邊信號或三角形信號），但在描述拓撲信號如何串擾時卻顯得不足。相反，拓撲狄拉克算子（D，框圖3）能夠同時且連貫地處理不同維度的拓撲信號，它最近已成為一種多功能的代數算子，在復雜系統研究中具有廣泛的應用。在這里，我們提供幾個說明性的例子，展示它在高階拓撲動力學領域的應用。

狄拉克算子最初在晶格規范理論中定義，用于在晶格上定義交錯費米子和狄拉克-卡勒費米子，此后被應用于非對易幾何、量子圖和量子計算的背景下。直到最近人們才認識到，拓撲狄拉克算子不僅與量子物理相關，而且在研究涉及不同維度拓撲信號的復雜系統和集體現象中也有重要應用。

拓撲狄拉克算子植根于理論物理，可用于表述拓撲狄拉克方程，其中本征態具有拓撲解釋，并定義在節點以及連邊和高階單純形上。對于該方程，能量的粒子和反粒子態的物質-反物質對稱性被打破（圖4）。此外，拓撲狄拉克算子可用于定義簡單網絡和高階網絡的質量，并且是將物質與幾何耦合的信息理論的基礎。拓撲狄拉克算子可以與度量矩陣耦合，從而產生對稱和非對稱的加權狄拉克算子。此外，就像連續狄拉克算子一樣，拓撲狄拉克算子可以與伽馬矩陣耦合，使其能夠作用于廣義拓撲旋量，該旋量包含（例如）二維節點信號和二維邊信號——甚至二維節點信號和一維邊信號。

拓撲狄拉克算子自然地定義了狄拉克同步，這是一種類似 Kuramoto 的同步模型和全局拓撲狄拉克同步，局部耦合節點和邊拓撲信號。值得注意的是，在狄拉克同步中，狄拉克耦合在全連接網絡以及隨機網絡上誘導了不連續的同步轉變。狄拉克同步的一個奇特性質是，動力學的序參量包括節點和邊信號的線性組合。此外，狄拉克同步導致了自發節律的涌現；即序參量的波動。這是研究大腦中生物節律和氣候系統中節律行為（如東亞-澳大利亞夏季風的蹺蹺板關系）的一個有前景的工具。

拓撲狄拉克算子也是定義拓撲模式的關鍵，該模式將連續介質中或網絡上的圖靈模式概念擴展到定義在胞腔復形的節點、邊和方形上的拓撲信號。有趣的是，由單節點和單邊信號形成的模式只能是靜態的。然而，通過使用作用于二維節點和一維邊拓撲信號（或者事實上，一維節點和二維邊拓撲信號）的三路狄拉克算子，會出現具有非常獨特動力學特征的狄拉克模式。

拓撲狄拉克算子的譜性質編碼了單純復形的拓撲特征，其加權版本揭示了單純復形的幾何自由度。此外，它可以為單層和多層網絡定義。單純復形的結構與拓撲狄拉克算子的譜性質之間的強烈相互作用是其持續同調中日益普及的核心。由于其處理不同維度的耦合拓撲信號的能力，拓撲狄拉克算子也用于單純復形和超圖上的信號處理，以及用于表述高斯核和單純神經網絡。

拓撲狄拉克算子在其連續版本中曾在物理學的不同領域發揮如此核心的作用，因此現在正作為研究復雜系統的基礎代數拓撲工具而涌現。盡管仍處于起步階段，我們相信該領域的研究在復雜系統的發現以及植根于（并受啟發于）物理學的機器學習算法的進展方面具有巨大的潛力。

拓撲是動態的

到目前為止，我們只討論了單純復形的拓撲獨立于時間的模型。然而，許多復雜系統表現出拓撲隨時間變化的情況，這在大腦靜息活動和氣候系統中通常被觀察到。這種時間演化網絡的基本基序是三元相互作用，發生在節點調節其他節點對之間的相互作用時。三元相互作用可以是有符號的；也就是說，調節節點可以增強或抑制另外兩個節點之間的相互作用。具有三元相互作用的網絡同時是一個高階網絡和一個網絡的網絡。事實上，三元相互作用包含兩個以上的節點，并且可以組合，使得單個相互作用受到多個節點的調節。典型的例子包括大腦中的神經元-膠質細胞相互作用、轉錄網絡和生態相互作用。盡管三元相互作用在這些科學領域的每一個中都是一個成熟的概念，但直到最近才清楚，它們在調節相互作用中的作用會導致新的動力學過程，包括三元滲流、三元Hopfield模型、更一般的聯想記憶神經元-星形膠質細胞模型以及非平衡信號網絡中的信息傳播。

三元相互作用可用于調節結構邊的開啟或關閉，從而導致三元滲流——這是一個完全成熟的動力學過程，其中巨連通分量隨時間變化。具體而言，三元滲流實現了一個兩步算法：(1) 當節點屬于由節點和活躍結構邊組成的結構網絡的巨連通分量時，它們是活躍的；(2) 活躍節點通過它們相關的三元相互作用調節結構邊。由此產生的滲流過程具有一個隨時間變化的序參量（由巨連通分量中節點的比例給出），并且可以被證明經歷了邏輯斯諦映射普適類中的通向混沌之路。因此，相圖不是描述標準的二階滲流轉變，而是由軌道圖表示。這揭示了滲流相的特征是序參量的非平穩動力學（圖5）。因此，網絡可以表現出閃爍行為（即不同節點集的周期性激活），或者在無限網絡極限下，序參量表現出混沌動力學。在定義在二維環面上的空間網絡中，三元滲流產生了復雜的時空模式，以及一個拓撲隨時間變化并在某些參數值下表現出不同拓撲模式之間間歇性的巨連通分量。這些結果為理解神經科學和氣候科學中巨連通分量的時空調制提供了新的場景。

展望

高階網絡正開始揭示，網絡拓撲——這在傳統物理學領域（如高能物理、凝聚態和軟物質物理）中至關重要——對于捕捉高階網絡動力學同樣至關重要。這一新興的理論框架揭示了從物理學、計算機科學、地球科學和神經科學到金融學等各個學科中的創新發現。在本展望中，我們通過概述迄今為止所獲結果中涌現的關鍵挑戰，涵蓋了這一新興研究領域的基本方面以及首批跨學科應用。不斷發展的高階拓撲動力學領域，通過將高階網絡與拓撲學和非線性過程相結合，并在信息理論的視角下闡釋這些相互作用，為發展更全面的復雜性理論提供了有趣的前景。

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