朗道能級(jí)問題與量子霍爾效應(yīng)新解

|作者：曹則賢1, ? 吳颶昊2 汪克林3

(1 中國(guó)科學(xué)院物理研究所)

(2 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 合肥微尺度物質(zhì)科學(xué)國(guó)家研究中心)

(3 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)近代物理系)

本文選自《物理》2026年第5期

摘要文章基于物理量的升降算符表示與態(tài)矢量的無量綱Fock態(tài)占據(jù)數(shù)表示處理朗道能級(jí)問題與量子霍爾效應(yīng)。對(duì)朗道能級(jí)問題選取對(duì)稱規(guī)范，采用升降算符表示，哈密頓量不再有表觀的x-，y-方向上的不等價(jià)性，明顯看出系統(tǒng)的對(duì)易可觀測(cè)量完備集可選為{H，nb，Jz}，問題可在算符nb=a1+a1+a2+a2之本征值一定的子空間中求解。求解過程非常簡(jiǎn)單，分立能級(jí)無需歸因于一維諧振子，且同時(shí)自然地帶出朗道能級(jí)的簡(jiǎn)并度，表明這些都是該問題的本質(zhì)特征。這里的關(guān)鍵是用角動(dòng)量撬動(dòng)關(guān)于朗道能級(jí)問題中守恒量的認(rèn)識(shí)，守恒量算符nb將整個(gè)希爾伯特空間分解為有限維的子空間。借助博戈留波夫變換，可以證明朗道能級(jí)問題具有電磁規(guī)范不變性。采用升降算符表示，可將量子霍爾效應(yīng)的哈密頓量變換為與朗道能級(jí)問題的哈密頓量完全相同的形式，故可根據(jù)后者的完備態(tài)矢集開展進(jìn)一步的討論，極大地簡(jiǎn)化了量子霍爾效應(yīng)問題的計(jì)算。我們的理論具有普適的意義，有助于解析地求解諸多量子力學(xué)基本問題。

關(guān)鍵詞表示理論，升降算符，朗道能級(jí)，諧振子，簡(jiǎn)并，守恒量，規(guī)范不變性，博戈留波夫變換，量子霍爾效應(yīng)

1 導(dǎo) 言

量朗道能級(jí)問題是朗道于1930年提出的，揭示了由于磁場(chǎng)中的電子軌道的部分有限性，自由電子也會(huì)有順磁性[1]。在朗道的原文中，磁場(chǎng)中的自由電子的哈密頓量為

其中

這里H是z-方向上的磁場(chǎng)強(qiáng)度。考慮x-y平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)。朗道指出，可以利用對(duì)易關(guān)系

與量子力學(xué)基本對(duì)易關(guān)系[p, q]=h/i的相似性，引入變換
，則x-y平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)部分的哈密頓量為

這是標(biāo)準(zhǔn)的諧振子哈密頓量，故(1)式中的哈密頓量有能譜
(原文p3上漏了平方)。這個(gè)能量表示的第一部分是分立的，第二部分是連續(xù)的，故有電子軌道的部分有限性之說。請(qǐng)注意，(2)式來自磁矢勢(shì)選為A=，這是所謂的對(duì)稱規(guī)范。取對(duì)稱規(guī)范下的哈密頓量的x-y部分，即(4)式，等價(jià)于一維諧振子。

有趣的是，在求波函數(shù)時(shí)，朗道假設(shè)波函數(shù)具有形式
，得到薛定諤定態(tài)方程：

進(jìn)一步假設(shè)
，則得到φ要滿足的定態(tài)方程為

這描述的是一個(gè)中心在
處的y-方向的一維諧振子。注意，方程(5)可通過取磁矢勢(shì)為A=(-Hy, 0, 0)直接得到，這是后來所謂的朗道規(guī)范。此處朗道規(guī)范下的x-y部分的運(yùn)動(dòng)等價(jià)于x-方向上的平動(dòng)加上y-方向的諧振。

我們看到，朗道在無意中采用了兩種不同的電磁場(chǎng)規(guī)范，且在不同的視角下磁場(chǎng)中的自由電子的運(yùn)動(dòng)會(huì)有不同的等價(jià)圖像。

朗道能級(jí)有很多應(yīng)用，比如可用來解釋量子霍爾效應(yīng)。在朗道能級(jí)問題提出來之后，關(guān)于這個(gè)問題在處理方式上和物理詮釋上都呈現(xiàn)出不同來[2—4]。為了用我們引入的角動(dòng)量量子理論處理朗道能級(jí)問題[5，6]，現(xiàn)在用當(dāng)前常用的術(shù)語(yǔ)與符號(hào)把朗道能級(jí)問題再表述一遍，為此用H表示哈密頓量，用q表示電荷，且采用國(guó)際單位制。

設(shè)有自由電子處于外加均勻磁場(chǎng)中，B=Bez。為電磁場(chǎng)的磁矢勢(shì)選取朗道規(guī)范A=(-By, 0, 0)，這樣電子的正則動(dòng)量為p+qA，相應(yīng)地，哈密頓量為

由于H不顯含坐標(biāo)x，z，故H與px，pz對(duì)易，本征波函數(shù)可取如下形式。帶入定態(tài)方程Hψ=Eψ，可得：

作替換
，得：

其中
。此方程是y-方向上的一維諧振子的定態(tài)方程，有能譜：

一維諧振子的定態(tài)不是簡(jiǎn)并的，但朗道能級(jí)有簡(jiǎn)并[3]。這樣的解就產(chǎn)生了不相洽的問題。如何為朗道能級(jí)引入簡(jiǎn)并度呢？為此引入附加條件，電子在有限空間里運(yùn)動(dòng)，px取分立值，Lx是樣品在x-方向上的長(zhǎng)度。諧振子的中心位置為
，因此有，則在有限的y-范圍內(nèi)的諧振子數(shù)目為，此處取Lx=Ly。這為朗道能級(jí)的簡(jiǎn)并找到了一個(gè)解釋。然而，這樣的處理方式有一些值得商榷的地方。

(1)上述解是選擇朗道規(guī)范A=(-By, 0, 0)得到的。同樣是選擇朗道規(guī)范，如果取A=(0, Bx, 0)，則物理圖像變成了分立能級(jí)來自x-方向上的一維諧振子，能級(jí)簡(jiǎn)并應(yīng)該要求y-方向上存在限域效應(yīng)。如果選擇對(duì)稱規(guī)范，則又完全是另一種圖像。但是，真實(shí)的物理不應(yīng)該依賴于規(guī)范選擇。

(2)若以
形式的包含不可歸一化因子的波函數(shù)作為其后討論的出發(fā)點(diǎn)，則難免會(huì)帶入不確定的非物理因素。

(3)朗道能級(jí)問題本質(zhì)上是帶電粒子z-方向上的運(yùn)動(dòng)與x-y平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)的脫耦，后者是一個(gè)二維運(yùn)動(dòng)。朗道自己利用對(duì)稱規(guī)范與后來的研究者利用朗道規(guī)范的求解過程中，都建議分立能級(jí)來自一維諧振子的運(yùn)動(dòng)[1—4]。擁有等價(jià)的兩個(gè)自由度的系統(tǒng)所表現(xiàn)出的分立能級(jí)約化為一維諧振子問題，這從物理角度來看令人費(fèi)解，也有擔(dān)心其正確性的理由。

(4)更重要的是，無磁場(chǎng)時(shí)自由電子的運(yùn)動(dòng)具有三維平移對(duì)稱性和轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱性。加上磁場(chǎng)后，垂直于磁場(chǎng)的平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)應(yīng)該具有二維空間的轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱性，但前述的處理方式所建議的物理圖像中，存在明顯的x-，y-方向上的不等價(jià)。

本文采用物理量的升降算符表示和態(tài)矢集的無量綱Fock態(tài)占據(jù)數(shù)表示處理朗道能級(jí)問題。在對(duì)稱規(guī)范下，朗道能級(jí)問題有非常簡(jiǎn)單的解法，且能揭示朗道能級(jí)簡(jiǎn)并的來源。這里的關(guān)鍵，是用角動(dòng)量來撬動(dòng)關(guān)于朗道能級(jí)問題中守恒量的認(rèn)識(shí)。守恒量算符nb將整個(gè)希爾伯特空間分解為有限維的子空間，而整個(gè)希爾伯特空間可以由有限維空間直和得到，這讓問題的求解變得非常簡(jiǎn)單。借助一個(gè)博戈留波夫變換[7]，可以證明朗道能級(jí)問題是規(guī)范變換不變的。進(jìn)一步地，可以將量子霍爾效應(yīng)的哈密頓量變換為與朗道能級(jí)問題的哈密頓量有嚴(yán)格相同的形式，從而可以簡(jiǎn)單求解。本文表述的方法可以在諸多量子力學(xué)基本問題上簡(jiǎn)便地得到嚴(yán)謹(jǐn)自洽的結(jié)果。

2 朗道能級(jí)問題

取對(duì)稱規(guī)范，
，哈密頓量的形式為

展開得：

其中
(注意這里的因子)。角動(dòng)量分量jz=xpy-ypx出現(xiàn)在哈密頓量中。哈密頓量不顯含坐標(biāo)z，磁場(chǎng)只影響x-y平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)，z-方向上的運(yùn)動(dòng)與x-y平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)是脫耦的。z-方向上的波函數(shù)可選擇平面波；在具體的MOSFET(金屬—氧化物—半導(dǎo)體場(chǎng)效應(yīng)管)結(jié)構(gòu)中，載流子可看作在z-方向上受限于無限深方勢(shì)阱。在接下來的討論中，我們忽略z-方向上的運(yùn)動(dòng)。至于x-y平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)，磁場(chǎng)對(duì)帶電粒子的作用分成兩部分，有一個(gè)等效的二維諧振子勢(shì)，其在x-y平面內(nèi)對(duì)粒子起到約束作用，加上電荷的回旋運(yùn)動(dòng)，，所帶來的軌道角動(dòng)量所關(guān)聯(lián)的磁矩與磁場(chǎng)間的作用能。這個(gè)物理圖像更接近物理真實(shí)。

為了充分利用角動(dòng)量的量子理論[5，6]，接下來對(duì)物理量采用升降算符表示，態(tài)矢采用無量綱的Fock態(tài)占據(jù)數(shù)表示。引入表述表?yè)Q：

其中Δ是量綱為[MT-1]的參數(shù)，升降算符ak+, ak (k=1, 2)滿足對(duì)易關(guān)系[ak+, ak]=1。為簡(jiǎn)單計(jì)，取?=1。如此則有jz=i(a1a2+-a1+a2)，哈密頓量(12)式可表示為

此式中省去了兩個(gè)諧振子的零點(diǎn)能項(xiàng)。

針對(duì)變換后得到的哈密頓量(14)式，找到相應(yīng)的守恒量，可以確定恰當(dāng)?shù)膶?duì)易算符完備集。為此引入算符：

此算符與jz對(duì)易，因此與哈密頓量H對(duì)易，故針對(duì)朗道能級(jí)問題可選擇求對(duì)易算符完備集(H,nb,jz)的共同本征態(tài)集。

因?yàn)?strong>nb是守恒量，系統(tǒng)的定態(tài)必是對(duì)應(yīng)nb的一個(gè)確定本征值nb的態(tài)矢，故系統(tǒng)的一個(gè)特定的定態(tài)應(yīng)該由態(tài)矢集中的態(tài)矢組成。也就是說，系統(tǒng)的定態(tài)可以逐一在態(tài)矢空間的由nb所確定的子空間中求解。由于每一個(gè)子空間都是有限維的，因此求解過程得到了極大的簡(jiǎn)化。進(jìn)一步地，jz也是守恒量，在nb取確定值的子空間中的定態(tài)還要求是jz的本征態(tài)。這樣，求能量本征值及本征態(tài)的問題就約化為在一個(gè)nb取確定值的子空間中求算符jz的本征值問題。

接下來以nb=3的情形為例演示具體的求解過程。此時(shí)子空間有四個(gè)基態(tài)矢|3, 0>，|1, 2>，|2, 1>和|0, 3>，需要解的問題是找到一個(gè)疊加態(tài)：

使得

為本征值問題

此本征值問題有解m=1, -1; 3, -3。具體地，

m=1，相應(yīng)的歸一化本征態(tài)為

對(duì)應(yīng)的能量值E=nω+mω為E3,1=4ω；

m=-1，相應(yīng)的歸一化本征態(tài)為

對(duì)應(yīng)的能量值E3,-1=2ω；

m=3，相應(yīng)的歸一化本征態(tài)為

對(duì)應(yīng)的能量值E3,3=6ω；

m=-3，相應(yīng)的歸一化本征態(tài)為

對(duì)應(yīng)的能量值E3,-3=0ω。

對(duì)于nb取幾個(gè)很小數(shù)值的情形，結(jié)果簡(jiǎn)單羅列如下：

(i)nb=1的情形，子空間只有兩個(gè)基態(tài)矢|0, 1>和|1, 0>。本征值問題jz| >1=m| >1的解為m=1, -1，相應(yīng)的歸一化本征態(tài)可分別記為

對(duì)應(yīng)的能量值分別為E1,1=2ω和E1,-1=0ω。

(ii)nb=2的情形，子空間有基態(tài)矢|2, 0>，|1, 1>和|0, 2>。本征值問題jz| >2=m| >2的解為m=2,-2，相應(yīng)的歸一化本征態(tài)可記為

對(duì)應(yīng)的能量值分別為E2,2=4ω和E2,-2=0。

(iii)nb=4的情形，子空間有基態(tài)矢|4, 0>，|3, 1>，|2, 2>，|1, 3>和|0, 4>。本征值問題jz| >4=m| >4的解為m=4, -4, 2, -2，相應(yīng)的歸一化本征態(tài)可記為

對(duì)應(yīng)的能量值分別為E4, 4=8ω，E4, -4=0ω，E4, 2=6ω，E4, -2=2ω。

此處的推導(dǎo)，每一步都遵從量子力學(xué)的基本法則。所得到的態(tài)矢是可歸一化的物理態(tài)矢，消除了此前理論中x-方向與y-方向明顯的表觀不同，還消除了某一個(gè)方向上的波函數(shù)為平面波的困難。在此前的處理中，能量本征值譜為{E=nω; n=0, 1, 2 …}，那里的n來自等效的一維諧振子勢(shì)，是沒有簡(jiǎn)并的。如何解釋朗道能級(jí)的簡(jiǎn)并問題便成了此前理論中的一個(gè)難點(diǎn)。我們此處用對(duì)稱規(guī)范所得到的能譜為{E=nω; n=0, 2, 4…}。考慮到兩種處理方式中的ω差一個(gè)1/2因子，因此兩者的能譜是相同的。但是，兩種處理方式的物理圖像是不同的。當(dāng)前所得的總能量值nω來自二維諧振子疊加上角動(dòng)量與磁場(chǎng)之間的作用，簡(jiǎn)并有明確的來源。從我們的理論可以清楚地看到，系統(tǒng)的能量
由諧振子能量，nbω，和角動(dòng)量—磁場(chǎng)相互作用，mω，兩部分構(gòu)成，且nb=n1+n2。的態(tài)有無窮多重簡(jiǎn)并態(tài)| >1,-1，| >2,-2，| >3,-3…，而的態(tài)有無窮多重簡(jiǎn)并態(tài)| >3,-1，| >4,-2，| >5,-3…。簡(jiǎn)并來自系統(tǒng)的固有性質(zhì)，不需要引入額外的假設(shè)。

用升降算符ak+, ak與無量綱態(tài)矢空間處理朗道能級(jí)問題，可明顯看到存在守恒量nb，這一點(diǎn)可加以利用。此外，角動(dòng)量的量子特性也得到了應(yīng)用。采用對(duì)稱規(guī)范，讓這一問題本身看似具有二維空間的對(duì)稱性。然而，物理理論應(yīng)該具有規(guī)范不變性。采用不同規(guī)范處理朗道能級(jí)問題，所得結(jié)果應(yīng)該是本質(zhì)上相同的才對(duì)。那么，朗道能級(jí)問題與電磁規(guī)范的選取無關(guān)嗎？為了回答這一問題，我們將朗道能級(jí)問題在朗道規(guī)范下與對(duì)稱規(guī)范下的哈密頓量都用升降算符表示，發(fā)現(xiàn)可以找到一個(gè)博戈留波夫變換，證明兩者形式上是等價(jià)的。

朗道能級(jí)問題在朗道規(guī)范下和對(duì)稱規(guī)范下的哈密頓量可分別寫為

這里的
。改用升降算符ak+, ak，k=1, 2，表示，兩個(gè)哈密頓量變?yōu)?br/>

兩者看起來非常不同。因?yàn)閮烧叨颊扔讦兀瑸楹?jiǎn)單計(jì)，接下來的演算中把ω忽略。引入博戈留波夫變換：

將其代入哈密頓量HS，發(fā)現(xiàn)存在4組(f1, f2, f3, f4)選擇，即

其中α為一常數(shù)，可將HS變換為到HL。也即是說，當(dāng)使用升降算符表示時(shí)，朗道規(guī)范下和對(duì)稱規(guī)范下的哈密頓量即便在形式上都是相同的。

3 量子霍爾效應(yīng)

朗道能級(jí)問題與整數(shù)量子霍爾效應(yīng)相關(guān)聯(lián)[2，3]。有了朗道能級(jí)問題的解，便有了有效地討論量子霍爾效應(yīng)的基礎(chǔ)。考察在x-方向上施加一均勻電場(chǎng)，實(shí)驗(yàn)上表現(xiàn)為在MOSFET結(jié)構(gòu)上加一門電壓，以引起載流子在x-方向上的流動(dòng)，因磁場(chǎng)的存在會(huì)引起橫向電流。這相當(dāng)于在朗道能級(jí)問題中的哈密頓量上又疊加了一個(gè)qεx項(xiàng)，則霍爾效應(yīng)問題中的哈密頓量為

其中
。額外添加的這一項(xiàng)看似簡(jiǎn)單，但給問題帶來了實(shí)質(zhì)性的變化。朗道能級(jí)問題里的守恒量nb此時(shí)不再是守恒量，前述求解方法失效。不過，問題沒那么糟糕。我們發(fā)現(xiàn)可以對(duì)(25)式中的哈密頓量作表象變換，將之變成與朗道能級(jí)問題里的哈密頓量有嚴(yán)格相同的形式。一個(gè)看似困難的問題用表象理論可以輕松化解，可見狄拉克當(dāng)年構(gòu)建量子力學(xué)表象理論所體現(xiàn)的深刻思想的威力。

引入新的升降算符(A1, A1+)，(A2, A2+)，令

代入(25)式，當(dāng)選定
后，可得：

這又變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)的朗道能級(jí)問題了[比較(23b)式]。這樣，可以采用此前的方法求定態(tài)能譜和態(tài)矢集，只是現(xiàn)在是在新的升降算符下的結(jié)果。

為了求解霍爾效應(yīng)相關(guān)的物理問題，一個(gè)簡(jiǎn)單的方式是將感興趣的物理量，其作為坐標(biāo)—?jiǎng)恿克惴暮瘮?shù)，先寫成升降算符(a1, a1+)，(a2, a2+)的函數(shù)的形式，然而變換到(A1, A1+)，(A2, A2+)表示，用后者表示下的朗道能級(jí)問題之完備態(tài)矢集進(jìn)行計(jì)算。現(xiàn)在計(jì)算磁場(chǎng)下的載流子當(dāng)因外加電場(chǎng)造成流動(dòng)時(shí)所產(chǎn)生的橫向電流，即在哈密頓量HH下求動(dòng)量的期待值。

先計(jì)算無外加電場(chǎng)時(shí)x-y平面內(nèi)電荷動(dòng)量的期望值，發(fā)現(xiàn)：

這表明在純粹的磁場(chǎng)下，朗道能級(jí)問題中沒有電流。加上x-方向的電場(chǎng)后，計(jì)算須用(A1, A1+)，(A2, A2+)表示以及相應(yīng)的朗道能級(jí)問題的態(tài)矢集，會(huì)發(fā)現(xiàn)：

注意到在(23)，(25)，(27)式中的ω應(yīng)為?ω，故(29b)式的結(jié)果為
。這表明磁場(chǎng)下的電荷運(yùn)動(dòng)引起了橫向電流。

4 結(jié)束語(yǔ)

在處理量子力學(xué)問題時(shí)，將物理量用升降算符表示，對(duì)態(tài)矢集采用無量綱的Fock態(tài)占據(jù)數(shù)表示，可以澄清很多令人困惑的疑問，同時(shí)讓問題的求解變得簡(jiǎn)單可行。對(duì)朗道能級(jí)問題選取對(duì)稱規(guī)范，采用升降算符表示，不僅可以消除表觀的x-，y-方向上的差異，而且求解非常簡(jiǎn)單，所得波函數(shù)免于含平面波部分所帶來的困難，同時(shí)自然帶出朗道能級(jí)的簡(jiǎn)并度。用升降算符表示的哈密頓讓我們輕易辨認(rèn)出朗道能級(jí)問題中的守恒量nb=a1+a1+a2+a2。更重要的是，借助博戈留波夫變換，可以證明朗道能級(jí)問題在形式上都具有規(guī)范不變性。采用升降算符表示，量子霍爾效應(yīng)的哈密頓量可以變換成與朗道能級(jí)問題的哈密頓量嚴(yán)格相同的形式，故而可以根據(jù)后者的完備態(tài)矢集開展進(jìn)一步的討論，這極大地簡(jiǎn)化了量子霍爾效應(yīng)相關(guān)問題的計(jì)算。我們的理論具有普適的意義，有助于解析地求解諸多量子力學(xué)基本問題。

參考文獻(xiàn)

[1] Landau L. Zeitschrift für Physik，1930，64 (9-10)：629

[2] Girvin S M. The Quantum Hall Effect：Novel Excitations and Broken Symmetries. 1999，arXiv：cond-mat/9907002

[3] Basu S.，Quantum Hall effect. Cambridge University Press，2024.簡(jiǎn)并問題

[4] Ciftja O. European Journal of Physics，2020，41(3)：035404. 對(duì)稱規(guī)范

[5] 汪克林，曹則賢. 物理，2025，54(5)：344

[6] 汪克林，曹則賢. 物理，2026，55(3)：198

[7] Bogoliubov N N. Il Nuovo Cimento，1958，7 (6)：794

（參考文獻(xiàn)可上下滑動(dòng)查看）

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