王虹、鄧煜獲2026菲爾茲獎：兩位北大同屆生的數學之路

當地時間 2026 年 7 月 23 日，國際數學聯盟在美國費城舉行的國際數學家大會開幕式上公布本屆四位菲爾茲獎得主：王虹、鄧煜、Jacob Tsimerman 和 John Pardon。

這也是繼 1982 年的丘成桐、2006 年的陶哲軒之后，又兩位華人數學家獲得菲爾茲獎。

2026 年菲爾茲得主（來源：International Mathematical Union）

19 年前，王虹和鄧煜同為北京大學 2007 級本科生，卻從一開始就走在不同軌道上：16 歲的王虹先進入地球與空間科學學院，隨后轉入數學系；帶著國際數學奧林匹克金牌入學的鄧煜，兩年后轉學麻省理工學院。兩人在燕園真正重疊不過一年，19 年后，卻因推進兩道延續數十年乃至上百年的數學難題，同時出現在獲獎名單上。

王虹研究的是，一根線段朝向所有方向時，組成的集合究竟有多“大”；鄧煜研究的是，無數服從牛頓定律運動的粒子，如何在宏觀上成為一股可以用流體方程描述的氣體。

而這兩條道路的起點，留在一張已經有些陳舊的北大網頁上。

一張導師表里的 2007 年

2007 年 9 月，8,253 名新生在北大百周年紀念講堂唱起《燕園情》，數學學院 07 級本科生林茜作為新生代表發言。她稱這一批年輕人是“少數的幸運者”，除了個人夢想，也承擔著同時代人的期待。近 20 年后回看，這段話有了更具體的注腳。

后來，這屆學生中陸續走出了研究算術幾何與數論的唐云清、研究概率和數學物理的孫鑫、統計學家蘇煒杰、代數幾何學者劉雨晨，以及解決球帶猜想的姜子麟。

2007 年，這些名字還散落在新生名冊、課程名單和導師安排里。王虹甚至尚未進入數院，她最初就讀于地球與空間科學學院。

北大數院網站至今保留著其中一份日常記錄：《零七級三班本科生導師安排》。

圖丨當年的導師安排（來源：北京大學數學科學學院）

名單上，鄧煜被分給范輝軍擔任本科生導師。唐云清、余越、張瑞勛等人的名字也在上面，導師是包志強。頁面末尾還有一則班會通知：原則上，每名學生可以使用本科生導師工作的專項經費報銷 90 元書費，前提是拿到正式發票和導師簽字。

后來被稱為“黃金二代”（也稱為“白金一代”）的一群人，最早留下的網絡痕跡并不宏大，不過是一張導師分組表，以及 90 元買書錢。

鄧煜早已是名單上最耀眼的人之一。他 1989 年出生于深圳。2001 年進入深圳高級中學后，他跟隨數學競賽教練馮躍峰學習了五年。老師后來回憶，鄧煜喜歡解題，做出難題時會興奮地自言自語。

2006 年，讀高二的鄧煜在全國中學生數學冬令營中取得第一名，進入國家集訓隊。同年舉行的國際數學奧林匹克競賽中，他以 35 分獲得金牌，個人排名第六。

2006 年鄧煜與競賽教練馮躍峰載譽歸來（來源：深圳高級中學）

北大隨后提前錄取了他。到 2007 年正式入學時，鄧煜已經完成了競賽體系對一個中學生所能給出的最高認證。

2008 年，北京市第十九屆大學生數學競賽，鄧煜又獲得甲組特等獎。同屆的沈才立、蘇煒杰、劉雨晨包攬了 3 個一等獎。第二年，唐云清、姜子麟、蘇煒杰、李欣意等人又分別組成團隊，在美國大學生數學建模競賽中獲獎。

而王虹一開始并沒有出現在數院的名單上。她比鄧煜小兩歲，來自廣西平樂。父母都是沙子中學的老師，父親教數學，母親教英語。

她 5 歲直接讀小學二年級，此后又跳過一次級，16 歲參加高考。但在進入桂林中學之初，她的年級排名還在一百名以外，高二進入前六十，高三才進入前十。

現有公開資料沒有顯示王虹接受過系統的奧數訓練。她更習慣自己摸索：每逢開學前，會借來下一學期的教材，自己先讀一遍。碰到問題，她很少立即找老師，有時獨自想上幾天，再和同學討論。

高中前兩年，她常常不完成老師統一布置的作業，上課時還會讀別的書。她當時對記者說：“自己要有自己的想法，不絕對地跟著老師走，適當地跟?！?/p>

她也不像一名傳統的苦讀生。早晨踩著鈴聲進教室，中午卻總是最早沖到食堂。原因很簡單：“我怕排隊吃飯，晚去一秒鐘，排隊十分鐘。”

2007 年高考，王虹考了 653 分。她想學數學，分數沒有達到數學系的錄取線，最終進入北大地球與空間科學學院。平樂縣委宣傳部報道她考入北大的那篇結尾寫道：王虹聽說北大第二年春天可以申請轉系，已經開始自學數學系的課程。

兩個人面對的第一道分流，發生在數學分析課堂。

他們的同屆同學、現任北京大學北京國際數學研究中心教授孫鑫在知乎上的回憶貼寫道，當時北大數院的數學分析分為不同教學軌道。有奧賽背景的學生進入陳天權的實驗班；以高考生為主的學生更多進入伍勝健的普通班。孫鑫第一次在數學分析課上見到王虹時，她還沒有從地空學院轉入數院。

從大一開始，學生們就在正式課堂之外組織討論班，學生要自己找問題、讀材料，再到黑板前講給同學聽。鄧煜、劉雨晨、許地生等人是活躍成員。相對而言，據她的同班同學盧天亮回憶，王虹是其中“不顯山不露水的”的那一個。

一個后來轉入，一個提前離開

大一后半段，王虹轉入數院。2009 年，鄧煜轉學麻省理工學院。兩人的燕園交集，到此結束。

在同學的記憶里，王虹并不是本科階段最張揚的學生。她常穿運動服，喜歡乒乓球。她的本科論文導師劉張炬也擅長乒乓球，在他的指導下，王虹完成畢業論文《經典 Hodge 理論和度量空間上的 Hodge 理論》。

Hodge 理論試圖用微分方程和分析工具理解幾何空間的整體結構。這與她后來聞名的調和分析并非同一個問題，卻已經出現了貫穿其研究生涯的興趣：怎樣從局部、細小甚至碎片化的信息，判斷一個空間整體是什么樣子。

2011 年從北大畢業后，王虹通過國際生選拔進入巴黎綜合理工學院。得知錄取后，她才開始學習法語。正式開學前，她先在法國南部一個家庭住了 5 周；抵達法國時，面對機場出租車司機的一句問候，她仍不知道怎樣回答。課堂語速很快，電子詞典也來不及查，同學便在課后重新給她解釋。

巴黎綜合理工學院沒有她熟悉的乒乓球，她改學了花劍。為了增強腿部力量，原本不喜歡跑步的她開始每天跑步。更大的變化發生在專業上，王虹后來回憶：“我在法國的時候有半年沒有做數學，就去學建筑了。”她喜歡畫畫，也喜歡建造東西，曾專程去看勒·柯布西耶設計的朗香教堂。

建筑學最終讓她重新理解了自己為什么喜歡數學。建筑創作需要說服他人、尋找資金，數學研究則允許她獨自搭建一個世界。她后來半開玩笑地說，自己發現建筑比數學更難，于是決定再回去試一次。

2012 年 10 月，王虹在巴黎綜合理工學院讀數學三年級。教師伊萬·馬泰爾（Yvan Martel）給了她一本陶哲軒的《非線性色散方程：局部與整體分析》，作為課外研究項目。幾周之內，她便讀完并掌握了其中幾個章節。

在巴黎第十一大學奧賽校區攻讀碩士期間，王虹又找到當時在那里任教的埃馬紐埃爾·布勒亞爾（Emmanuel Breuillard），希望在他的指導下研究一篇論文。布勒亞爾后來回憶，王虹交出的成果已經不只是復述原論文，她還改進了其中的證明；這份項目獲得了 20 分滿分。

馬泰爾隨后幫她聯系了麻省理工學院的同行。碩士第一年結束前后，王虹前往 MIT 訪問數月，加入拉里·古思（Larry Guth）的研究團隊。2014 年，她獲得巴黎綜合理工學院工程師學位和巴黎第十一大學數學碩士學位，隨后進入 MIT 攻讀博士。

王虹后來談起這段經歷時說，正是在巴黎綜合理工學院，老師們的指導讓她逐漸建立起對自己數學能力的信心，也讓她決定成為一名數學家。

王虹在麻省理工學院攻讀數學博士期間

鄧煜到麻省理工后的生活，則保留在他自己的一篇知乎回答里。

他回憶，21 歲時，一個學期會選五六門數學課，同時讀三本書；曾經花一周時間讀一篇 85 頁的論文，逐步檢查其中的論證。晚上，他有時睡在本科生數學休息室，翻《美國數學月刊》，聽窗外的蟲鳴，天亮前再把被子搬回宿舍。

他也沿河散步、寫詩、下圍棋、玩《Braid》，和朋友討論 Pólya 計數定理，也討論多元家庭在道德和法律上的合理性。為了補貼生活，他靠批改微積分作業每學期賺兩三百美元，那時“下不起館子”，只能天天吃 Chicken Teriyaki（照燒雞飯）。

2010 年，鄧煜成為普特南數學競賽個人前五名之一。次年，他從麻省理工畢業，進入普林斯頓大學攻讀博士。

鄧煜（右二）與另一位普特南學者 Colin Sandon及指導教師合影

在這個近乎由課程、論文和習題組成的生活里，鄧煜還保留著一項延續多年的愛好：百合漫畫。

他曾在知乎寫過一份相當系統的百合漫畫推薦，按照作者和作品整理書目，用粗體標記個人推薦，還詳細分析人物關系和情感推進。他把《飴色紅茶館歓談》稱作自己“有意識看的第一部百合漫畫”。他的知乎簽名一直是：“愿世界和平，愿龍憐結婚?！?/p>

鄧煜現在的個人主頁仍把詩歌、故事、小說、謎題、漫畫、圍棋和足球列為興趣。他對虛構故事的投入，并沒有被高強度的數學訓練擠掉。一個人在深夜檢查幾十頁證明，也會認真判斷漫畫里一段感情寫得是否可信。

每個方向都有一根針

王虹后來進入的領域叫調和分析。它研究函數如何分解成不同頻率，以及這些頻率如何疊加、傳播和集中。聲音、光、波動方程和量子力學中都能看到類似結構；在純數學里，調和分析又與幾何、偏微分方程和數論相連。

掛谷猜想是這個領域的中心問題之一。

1917 年，日本數學家掛谷宗一提出一個幾何問題：一根長度為 1 的針，要在平面內轉遍所有方向，最小需要多大的區域？

兩年后，貝西科維奇給出了一個反直覺的答案：如果只要求一個集合在每個方向上都包含一條單位線段，它的面積甚至可以等于零。此后，問題轉向另一種“大小”——維數。

現代掛谷猜想預測，在 n 維空間中，只要一個集合包含所有方向的單位線段，它的豪斯多夫維數和閔可夫斯基維數就必須等于 n。一個三維掛谷集合可以沒有通常意義上的體積，卻不能被壓縮成低于三維的分形。

20 世紀 70 年代，查爾斯·費弗曼把這類集合帶進傅里葉分析。數學家研究波的傳播時，會把復雜的波分解成許多細長的“波包”；在幾何圖像中，一個波包很像一根指向特定方向的細管。要估計大量波疊加后的強度，就必須知道這些細管能夠怎樣交叉、成束和重合。

1995 年，托馬斯·沃爾夫把三維掛谷集合的維數下界推進到 5/2。他的“發刷”方法研究許多細管圍繞一根主干細管聚集時形成的結構。此后的進展逐漸表明，一個假想的低維掛谷集合不能任意排列：它在不同尺度上必須表現出越來越強的組織性。

王虹從限制問題進入了這片細管組成的幾何世界。

2018 年，她還在 MIT 師從拉里·古思攻讀博士。她在論文《三維空間中使用“掃帚”結構得到的限制估計》中，把一類從小區域伸出、又大致貼著同一平面展開的波包稱為“掃帚”（brooms）。這項工作試圖回答的是：當大量波包聚集在一起時，哪些重合真正會造成估計失效？

2019 年取得博士學位后，王虹進入普林斯頓高等研究院，擔任數學學院的博士后成員。在那里工作的兩年間，她繼續研究傅里葉分析、關聯幾何以及它們與距離問題的聯系。限制問題中的波包，也越來越多地被轉化成細管、平面和分形集合之間的幾何關系。

2021 年，王虹來到加州大學洛杉磯分校擔任助理教授。掛谷問題也在這時成為她研究的中心之一。

她與約書亞·扎爾（Joshua Zahl）選擇先處理“黏性”掛谷集合。所謂黏性，是指細管在不同尺度下保持近似的嵌套關系：把圖像逐級放大，細管依然成束地待在更粗的管子里，呈現出多尺度的自相似性。早先的研究已經發現，任何可能的低維反例都應當具有類似特征，但這種結構本身仍然難以控制。

2022 年，王虹和扎爾證明，三維空間中的黏性掛谷集合必須具有完整的三維豪斯多夫維數和閔可夫斯基維數。這個結果覆蓋了最接近假想反例的一類集合，距離一般情形還差一步：普通的掛谷集合未必事先表現出黏性。

2023 年，王虹離開 UCLA，進入紐約大學柯朗數學科學研究所。第二年，她和扎爾證明，每一個三維掛谷集合的阿蘇阿德維數都是 3。

阿蘇阿德維數觀察一個集合在不同位置、不同尺度下最復雜的局部形態。兩人的工作說明，即使一個集合整體看起來雜亂，在選對兩個尺度之后，也能從中找到接近黏性結構的部分。這在一般掛谷集合和黏性集合之間搭起了一座橋，但還不足以推出豪斯多夫維數和閔可夫斯基維數等于 3。

2025 年 2 月 24 日，已經在紐約大學任職的王虹與扎爾上傳了一篇長達 127 頁的論文。他們轉而研究細管在凸集中的聚集方式：如果太多細管不能同時藏進同一個凸集，這些細管的并集便必須占據足夠大的空間。

證明從沃爾夫得到的 5/2 維下界出發。王虹和扎爾發現，假如某個低于 3 的維數界已經接近最優，那么讓這個界接近飽和的細管排列，就必須在多個尺度上呈現越來越強的自相似和黏性。此前關于黏性掛谷集合的結論會排除這種排列，把維數下界繼續向上推。反復使用這一過程，下界最終抵達 3。

由此，每一個三維掛谷集合的豪斯多夫維數和閔可夫斯基維數都等于 3。

圖丨相關論文（來源：arXiv）

2025 年 9 月，王虹成為法國高等科學研究所的常任教授，同時保留紐約大學的聯合職位。幾個月后，她與古思、扎爾又發表了一份更簡化的證明，重新組織原來長篇論證中的主要結構。

從 MIT 博士論文里的“掃帚”，到普林斯頓高等研究院時期對傅里葉分析與關聯幾何的繼續探索，再到 UCLA 階段的黏性掛谷集合、紐約大學階段的完整證明，王虹一直在追蹤同一個問題：許多方向不同的細管，究竟能夠以什么方式擠在一起。

從粒子碰撞走向一股氣體

鄧煜處理的是另一種“從很多到一個”的問題。

1900 年，希爾伯特提出第六問題，希望用嚴格的數學公理和極限過程，建立微觀力學、概率論與宏觀物理定律之間的聯系。它并非一道只有“證明”或“證偽”的單獨猜想，更接近一項龐大的研究計劃。

氣體動力學提供了其中一個具體版本。

在微觀尺度上，氣體由數量巨大的粒子組成，每個粒子按照牛頓定律運動并發生碰撞。在中間尺度上，玻爾茲曼方程不再追蹤每一個粒子，而是描述粒子的位置和速度分布。來到宏觀尺度，氣體又可以被壓縮成密度、速度和溫度等少數變量，服從歐拉方程或納維－斯托克斯－傅里葉方程。

物理學家早已使用這三套理論。數學上的困難，是嚴格證明它們能夠在合適的尺度極限下逐級推出。

從硬球粒子系統推導玻爾茲曼方程尤其困難。隨著時間延長，碰撞次數迅速增加，原本相互獨立的粒子會形成關聯，一些粒子還可能再次相撞。每增加一輪碰撞，可能的歷史便成倍增長，誤差沿著龐大的碰撞樹不斷累積。

20 世紀 70 年代，奧斯卡·蘭福德（Oscar Lanford）完成了奠基性證明，但他的結果只對非常短的時間成立。如何把這一推導延伸到玻爾茲曼方程解存在的整個時間區間，長期沒有得到解決。

鄧煜后來把自己進入這個問題的過程稱為“無心插柳”。在 2024 年之前，他沒有發表過關于玻爾茲曼方程的論文。他抵達這個問題的路徑，先繞路經過了另一種宏觀現象——波湍流。

2018 年底至 2019 年初，鄧煜正在研究帶隨機初值的色散方程。在芝加哥大學的一次會議上，當時與他并不熟悉的扎赫爾·哈尼（Zaher Hani）找到他，詢問能否一起研究波動動理學方程。

波湍流與稀薄氣體有一組相似的對應關系：氣體中的粒子對應波湍流中的波或波包，粒子碰撞對應不同波之間的非線性相互作用，玻爾茲曼方程則對應波動動理學方程。兩類問題都需要從數量巨大的微觀相互作用中提取一個統計性的宏觀方程。

鄧煜此前處理隨機傅里葉級數時積累的組合工具，恰好可以用來整理波之間數量龐大的相互作用圖。兩人先完成了部分情形。哈尼隨后提出繼續處理最困難的臨界尺度，鄧煜一度認為做不出來，但進一步計算讓他們發現了新的組合結構。

2021 年 4 月，兩人上傳《波動動理學方程的完整推導》，嚴格證明可以從非線性薛定諤方程推出波動動理學方程。這個結果在時間尺度上仍然與蘭福德定理相似，只覆蓋宏觀方程的短時間演化。

同年秋天，鄧煜在布朗大學參加 ICERM 的研究項目。一次偶然的機會，他開始思考，原來的短時間證明如果繼續向后延伸，會發生什么。計算中出現的一類抵消，使他意識到長時間展開可能存在一種穩定的方向性。他后來把這種結構與波動動理學方程中的“時間箭頭”聯系起來。

鄧煜和哈尼從 2022 年下半年開始系統處理這個問題。2023 年 11 月，兩人上傳長時間波湍流論文，把推導延伸到波動動理學方程解存在的整個時間區間。

也是在 2022 年底到 2023 年初，鄧煜了解到，從硬球系統長期推導玻爾茲曼方程仍是一個重要的開放問題。過去，人們通常借用粒子系統的思路理解波湍流；他們決定把方向反過來，嘗試把在波動動理學方程中形成的組合方法重新帶回粒子碰撞。

2022 年 12 月，在紐約的一次西蒙斯合作項目會議上，鄧煜與馬驍討論了這個設想。馬驍既熟悉波動動理學，也系統學習過氣體動理學?！耙瓊€人的話不可能有比他更合適的了”，鄧煜自述道。于是，2023 年 4 月項目正式啟動時，馬驍加入了鄧煜和哈尼的合作。

硬球系統不能直接照搬波湍流中的抵消結構。三人真正繼承的是另一套思路：不要只逐層展開碰撞，而要記錄完整的碰撞歷史，再用累積量組織粒子之間逐漸形成的關聯。他們把大量碰撞關系編碼成稱為“分子”的組合圖，并設計“切割算法”，把過于復雜的碰撞網絡拆成可以分別估計的部分。

僅僅為了控制這些組合圖，他們便用大約半年時間完善一系列估計算法。2024 年 8 月，三人完成并上傳《從硬球動力學長期推導玻爾茲曼方程》。

這篇論文把蘭福德定理的“短時間”推進為：只要相應的正則玻爾茲曼方程解仍然存在，從硬球粒子系統到玻爾茲曼方程的推導就持續成立。論文后來被《數學年刊》接收，截至目前仍為待刊狀態。

完成微觀粒子到玻爾茲曼方程的長時間推導后，下一步是接上宏觀流體方程。

2025 年 3 月 3 日，鄧煜、哈尼和馬驍上傳《希爾伯特第六問題：通過玻爾茲曼動理學推導流體方程》。他們把已有的玻爾茲曼極限與流體極限接在一起：從服從牛頓力學并發生彈性碰撞的硬球系統出發，先得到玻爾茲曼方程，再推出可壓縮歐拉方程和不可壓縮納維－斯托克斯－傅里葉方程。

圖丨相關論文（來源：arXiv）

這項工作完成了一條從微觀粒子、到統計分布、再到宏觀流體的嚴格推導鏈條。在論文自己的限定語中，它解決的是希爾伯特第六問題中“經由玻爾茲曼動理學，從牛頓定律推導流體方程”的部分。

因此，一些說法將其概括為“解決希爾伯特第六問題”并非全無依據，但需要加上限定范圍。希爾伯特最初提出的公理化物理計劃還涉及概率基礎、其他物理理論和連續介質；這些更廣泛的問題還沒有被一并解決。

就這樣，鄧煜從“無心插柳”開始，接通了希爾伯特第六問題中從粒子碰撞到流體方程的這條路。從隨機色散方程到波湍流，從短時間推導到長時間推導，再從波重新回到粒子，前一個問題中形成的工具和疑問，不斷把他帶向下一個問題。

奇跡和魔法都是存在的

2024 年 11 月，鄧煜、哈尼和馬驍上傳了長期推導玻爾茲曼方程的論文。2025 年 2 月，王虹和扎爾公開三維掛谷猜想的證明；一個月后，鄧煜等人又發表了連接牛頓力學、玻爾茲曼方程與流體方程的論文。幾個月內，北大數學 07 級的兩名學生，分別交出了兩項經過多年研究才抵達的成果。

但數學論文只保留最后成立的定義、引理和證明，很少記錄一個想法在什么地方出現，又經過多少次失敗才被書寫下來。

王虹很少公開復述證明完成時的細節。2025 年 1 月，她回北大作報告，結束后才告訴孫鑫，自己和扎爾已經完成證明。她談論研究時，更常提到怎樣把一個大問題改成比較簡單的問題，怎樣用已有的例子測試猜測，以及在一個很小的地方計算兩個星期。

鄧煜留下了另一類記錄。他在知乎留下的一篇長文寫道：2021 年秋天，他在布朗大學訪問，在一家韓國餐廳吃炸雞時，想到怎樣把波動動理學方程的短時間結果延伸到長時間。寫下這段經歷時，他引用李白的“洞天石扉，訇然中開”，又在講解復雜的抵消結構時放進《魔法少女小圓》的臺詞：“奇跡和魔法都是存在的?！边@些細節多少讓我們得以窺見，論文之外，一個數學家如何記住自己的發現：一頓飯、幾句詩，以及一部看過的動畫。

他還寫到 2018 年去世的讓·布爾甘。布爾甘的研究影響了鄧煜后來處理隨機偏微分方程的多條線索。鄧煜有時會想，布爾甘如果再多活兩三年，會怎樣評價他們在 2019 年和 2020 年完成的工作?！斑@真的是我很好奇想知道的事啊，只是永遠沒有機會了?！?/p>

2025 年 11 月，有人在知乎問鄧煜獲得菲爾茲獎的可能性。他寫了一篇很長的回答，詳細解釋隨機張量、吉布斯測度和幾次研究轉折。談到獎項，他回復道：“可能這是吃瓜群眾關心的問題，但我也只能回答一句——無可奉告?！?/p>

如今，我們終于看到了這個問題的答案。

參考資料：

1. https://www.icm2026.org/

2. https://arxiv.org/abs/2502.17655

3. https://arxiv.org/abs/2601.14411

4. https://arxiv.org/abs/2411.08871

5. https://arxiv.org/abs/2503.01800

6. https://sites.google.com/uchicago.edu/yudeng/research

7. https://www.zhihu.com/question/34782710/answer/354811354

8. https://math.pku.edu.cn/teachers/baozq/year07/supervisor.htm

9. https://math.pku.edu.cn/docs/20191013160525415539.pdf

10. https://math.pku.edu.cn/xyxw/144759.htm

11.https://www.ihes.fr/wp-content/uploads/2025/11/BM21-EN.pdf

運營/排版：何晨龍

注：封面/首圖由 AI 輔助生成