高階相互作用向成對相互作用的可約性：超圖上的社會影響模型

Reducibility of higher-order to pairwise interactions: Social impact models on hypergraphs

高階相互作用向成對相互作用的可約性：超圖上的社會影響模型

https://arxiv.org/pdf/2601.05169v1

我們表明，一類在超圖上具有高階相互作用的一般社會影響模型，可以精確地簡化為在加權投影網絡上具有成對相互作用的等效模型。這種簡化是通過一種映射來實現的，該映射保留了改變節點狀態的微觀概率。作為一個特例，我們引入了超圖選民模型（hypergraph-voter models），對于該模型，我們在幾個超圖系綜中通過解析和數值方法計算了投影網絡的權重，并通過高階動力學和簡化動力學的模擬來表征其有序化動力學。對于線性社會影響函數（超圖線性選民模型），投影網絡的權重是靜態的，這使我們能夠建立一種對近似（pair approximation），從而準確地描述宏觀可觀測量（macroscopic observables）的時間演化，而這些可觀測量被證明與這些權重無關。因此，宏觀動力學等效于無權重投影網絡上的標準選民模型的動力學。對于冪律社會影響函數（超圖非線性選民模型），投影網絡的權重取決于瞬時的系統構型。然而，對于連接良好的超圖，無權重投影網絡上的非線性選民模型仍然能夠再現主要的宏觀趨勢。

I. 引言

在過去的十年中，人們強調許多生物、社會、技術和物理系統不能僅用成對（PW）二元相互作用來完全描述。在許多情況下，相互作用的基本單位通常是多元的，涉及三個或更多實體。因此，僅僅依賴成對相互作用可能會掩蓋社會動力學的重要特征 [1–5]。超圖和單純復形為編碼這種高階（HO）相互作用并探索它們所產生的豐富集體現象提供了自然的數學框架 [6]。與標準復雜網絡（其中節點代表智能體，邊代表二元相互作用）不同，超圖允許包含多個節點的超邊，每個超邊對應一個相互作用的群體。最近的綜述表明，在系統描述中引入超邊會深刻改變其結構和動力學性質，同時也凸顯了關鍵的開放性理論挑戰 [3, 7, 8]。單純復形模型也被用于描述緊密結合的群體、高維社會結構 [9]，以及群體成員獲取和積累信息的方式 [10]。

然而，并非所有的群體或多智能體相互作用都需要顯式的超圖表示。某些社會過程——例如多次暴露導致的社會從眾性 [11]——可以在標準復雜網絡框架內被充分捕捉。例如，復雜傳染現象 [12, 13]（包括創新的采納或謠言的傳播）通常由受 Granovetter 閾值模型 [14, 15] 啟發的模型來描述，在該模型中，在復雜網絡表示下，采納行為需要最少一定數量的鄰居為采納者。眾所周知，復雜傳染模型通常表現出導致不連續一階相變的級聯機制 [15, 16]，這與二元流行病模型中典型的連續相變形成對比 [17]。然而，類似的不連續相變也被歸因于超圖和單純復形中的高階相互作用 [2, 18]。第二個例子是復雜網絡上的非線性選民模型 [19–21]，其中智能體狀態的更新取決于其所有鄰居的聯合構型，從而有效地捕捉了群體相互作用的同步影響。事實上，群體相互作用的存在并非由網絡的拓撲結構決定，而是由網絡上定義的動力學決定：在非線性選民模型中，群體相互作用產生于在原本二元的網絡上定義的更新規則。

在統計物理對相互作用粒子的處理中，相互作用通常被假定為成對的，但這并不排除三體或更高階碰撞的出現，正如 Ursell-Mayer 集團展開（簇展開）所捕捉到的那樣 [22, 23]。這種展開的圖類似于現代高階相互作用文獻中的超邊。在具有純粹成對相互作用勢的系統的維里展開中，二階系數反映了兩體碰撞，而高階系數則對應于更大粒子集合之間的碰撞。這表明，多體效應（類似于高階相互作用）甚至可以在根本上是成對相互作用的框架內產生。

正是在上述討論的背景下，激發了本項工作的核心問題隨之產生。“高階相互作用”確切意味著或暗示著什么？它是否對應于由顯式的三體或更高階勢能編碼的真正群體相互作用，或者它能否從成對相互作用的組合中涌現？何時需要超圖表示？在什么條件下，高階相互作用可以被還原為有效的二元相互作用？

本文的結構安排如下：第二節（Sec. II）回顧了用于實現高階相互作用的超圖類別、投影網絡的概念以及超圖上的一般社會影響動力學模型。第三節（Sec. III）探討了高階（HO）相互作用向成對（PW）相互作用的映射：我們引入了一個一般的加權成對相互作用模型，并推導出了投影網絡的權重，從而使得該模型與超圖上的高階模型在微觀上精確等效。第五節（Sec. V）[注：原文跳過了第四節] 將該框架應用于各種超圖結構上的超圖選民模型。我們在第六節（Sec. VI）中總結了主要結果并得出結論。附錄 A 至 H 提供了技術細節和中間計算過程。

II. 超圖上的社會影響模型

在本節中，我們引入了一個用于研究超圖上社會影響模型的一般框架。我們首先描述由超圖定義的相互作用拓撲結構（第二節A），然后詳細說明控制動力學的一般更新規則（第二節B）。

A. 超圖和投影網絡的定義

盡管在第三節中我們為任意超圖開發了高階（HO）相互作用向成對（PW）相互作用的映射，但我們現在定義了幾種 d d-超圖，即那些僅包含 d d-超邊的超圖，這些將在后面的一些顯式計算中被考慮。

關于 ER 和 z-RR d d-超圖生成的細節在附錄 A 中給出。值得注意的是，這兩種超圖的生成偶爾可能會產生不連通的拓撲結構。在整個這項工作中，我們在實施動力學時僅關注連通的超圖。

1. 投影網絡

投影網絡表示法的優點在于保留了每個節點的鄰域結構，并通過更簡單的拓撲結構編碼了其與鄰居的成對相互作用。然而，它也有局限性：它丟失了關于原始超圖高階相互作用的顯式信息。特別是，重疊（overlap）無法被投影網絡捕捉。

2. 加權投影網絡

更一般地，我們可以定義替代的投影規則，其中權重指定了高階相互作用如何轉化為有效的成對相互作用。特別是，權重的選擇可以取決于所考慮的動力學，以便超圖上原始模型的微觀轉移概率能夠被加權投影網絡上的等效動力學精確重現，即使動力學規則可能不同。正如我們將在第三節（Sec. III）中看到的那樣，確保這種等效性的權重的精確定義既取決于超圖結構，也取決于具體的動力學過程。在整項工作中，術語“加權投影網絡”將指代后一種情況，即權重是動態定義的，而不是簡單地由共享超邊的數量給出。

B. 動力學模型

時間以蒙特卡洛步（MCS）為單位進行測量。一個 MCS 對應 N N 次更新嘗試，使得平均而言，每個節點在每個 MCS 中被選擇一次。

該動力學模型采用了一種節點更新的被動通信視角，即一個焦點節點從屬于一條關聯超邊的一組節點接收輸入，并根據它們的狀態更新其自身狀態。

III. 超圖上社會影響模型向成對相互作用的可還原性

在本節中，我們考察第二節 B 部分（Sec. II B）中介紹的超圖上的社會影響模型，如何在微觀層面上映射到復雜網絡上的等效有效成對相互作用（effective pairwise interactions）。我們的目標是開發一種方法，用等效的成對（PW）相互作用來精確表示高階（HO）相互作用。

A. 成對相互作用模型

還原為成對（PW）動力學的一個自然參考點是選民模型（VM）[31–39]，它作為成對模仿動力學的典范例子。如前所述，在其標準形式中，一個焦點節點復制其隨機選擇的一個鄰居的狀態，這為研究成對相互作用提供了最小框架。

這些更新規則導出了節點 i i 的以下翻轉概率：

B. 超圖上社會影響模型的可還原性

在本節中，我們建立了一種映射，將第二節 B 部分（Sec. II B）中定義的具有高階（HO）相互作用的超圖上的社會影響模型，映射到第三節 A 部分（Sec. III A）中引入的具有成對（PW）相互作用的等效模型上。

其中，同樣地，根據構造分母是非零的，因為權重僅針對共享相同狀態的鄰居定義。

IV. 均勻超圖上的社會影響模型

雖然在第三節（Sec. III）中我們建立了任意超圖上社會影響模型向成對（PW）動力學的精確微觀映射，但在這里我們專注于均勻超圖，對于這類超圖，共享相同狀態的節點在統計上是等效的。

我們首先推導這一類一般超圖的宏觀演化方程。然后，通過顯式計算相應的轉移概率，將分析特化到全連通超圖和完全 d d-超圖。最后，我們獲得了有效權重的顯式表達式，見公式 (16) 和 (17)，這些表達式定義了一個投影網絡，該網絡在每種情況下都簡化為具有狀態均勻權重的完全圖。

A. 宏觀動力學

這提供了一種直接的方法來確定宏觀動力學的不動點并評估其穩定性。

B. 全連通超圖

為了保持一致性，我們注意到，通過將全連通超圖上的高階（HO）動力學的翻轉概率（公式 22）與具有狀態均勻權重的完全圖上的成對（PW）動力學的翻轉概率（公式 12）相等，并結合歸一化條件（公式 11），也可以獲得這些權重。

C. 完全 d-超圖

V.超圖選民模型

在本節中，我們考慮超圖選民模型，該模型由我們關于超圖的一般動力學模型（第二節 B）中社會影響函數的一種特殊形式所定義，

A. 均勻超圖上的宏觀動力學

將其代入公式 (32) 后，重現了全連通超圖的結果（公式 31）。

B. 超圖選民模型的可還原性

在本節中，我們通過討論超圖選民模型向投影網絡上有效成對（PW）動力學的可還原性，來闡述我們在第二節 B（Sec. II B）中提出的一般框架。

除了這種微觀映射之外，我們還通過比較三種不同的動力學來評估成對（PW）描述的動力學相關性：超圖上的高階（HO）動力學、加權投影網絡上的成對（PW）動力學，以及投影網絡上相應的成對（PW）選民動力學。雖然高階（HO）和成對（PW）動力學之間的等效性直接源于映射本身，但與相應的成對（PW）選民動力學的比較使我們能夠評估由高階（HO）相互作用引起的權重所起的作用，以及宏觀可還原性的問題。

這種比較是在宏觀層面上進行的，重點關注兩個表征有序化過程的可觀測量：

• 活躍連邊密度 ρ ρ（Density of active links）： 在復雜網絡中，該量被定義為連接處于相反狀態節點的連邊所占的比例。對于超圖， ρ ρ 對應于關聯投影網絡中的活躍連邊密度。
• 固定時間 τ τ（Fixation time）： 從給定的初始構型開始，達到兩個吸收性共識態之一所需的時間。

此外，對于超圖線性選民模型，我們通過成對近似（pair approximation）分析證明了——有序化動力學不依賴于定義成對（PW）動力學的權重的具體異質性。換句話說，在宏觀層面上，超圖線性選民模型在動力學上等效于投影網絡上的選民模型。

1. 超圖線性選民模型

超圖線性選民模型對應于公式 (30) 中定義的社會影響函數的線性情況 。

對于全連通超圖和完全 d d-超圖，將線性形式代入權重的相應表達式（公式 23 和 28），得出了相同的與狀態無關的權重，

我們現在通過成對近似（pair approximation）表明，在超圖線性選民模型中，權重的異質性不影響宏觀動力學。

成對近似

將高階（HO）動力學映射為成對（PW）動力學的一個重要優勢是，它使得通過成熟的理論方法進行分析處理成為可能。特別是，復雜網絡上的選民模型允許進行準確的近似，以捕捉不同詳細程度的動力學相關性，例如成對近似 [38]、異質成對近似 [49] 和近似主方程 [16]。這些框架允許人們推導出宏觀可觀測量的顯式表達式。

總而言之，這些結果表明，正如成對近似（PA）所預測的那樣，超圖線性選民模型動力學的宏觀描述實際上對高階拓撲結構不敏感。由映射產生的投影網絡中權重的顯式形式變得無關緊要，所有相關的結構信息都被編碼在投影網絡的度分布中。

1. 圖非線性選民模型

對于全連通超圖，通過將公式 (30) 代入公式 (23) 得到的投影網絡權重為

對于完全 d d-超圖，通過將公式 (30) 代入公式 (28) 得到的投影網絡的權重由下式給出

VI. 討論與結論

原文鏈接：https://arxiv.org/pdf/2601.05169v1