高階網絡上動力學的可變換性

高階網絡上動力學的可變換性

Transformability of dynamics on higherorder networks

https://www.nature.com/articles/s42005-026-02555-1.pdf

復雜系統通常涉及群體內部的相互作用，即高階網絡，而非簡單的成對連接，這從根本上重塑了集體動力學的展開方式。然而，動力學在不同網絡結構之間如何轉換尚未得到充分理解，這限制了我們預測和引導集體動力學行為的能力。在此，我們提出一個整體框架，以橋接成對系統與高階系統中動力學之間的關系，表明這些過程遵循系統性的轉換。聚焦于傳染動力學，我們識別并量化了能夠解釋可轉換性的動力學與結構因素，探討了其指導準則，并從系統無序性的視角揭示了一個受這些因素支配的整合模型。我們進一步證明這些見解適用于意見動力學，凸顯了我們模型的廣泛相關性。我們的結果推進了對動力學可轉換性的理解，并為影響現實世界中網絡化智能高階系統的行為提供了基礎。

表征網絡上的動力學對于編碼集體行為的演變至關重要，其中傳染動力學因其廣泛的應用（涵蓋病原體傳播、信息擴散、文化社會化、生物反應等）而成為研究最廣泛的領域。現有的傳染動力學模型，如易感-感染（SI）模型和閾值模型，已經闡明了基本的動力學特征，包括相變和地方性爆發。然而，這些范式主要基于成對相互作用（圖 1a），其中節點的狀態由與單個鄰居的相互作用決定。

現實世界中群體相互作用的普遍存在導致了高階網絡（如超圖和單純復形）的出現，作為研究傳染動力學的基礎工具，它們克服了傳統模型的局限性。首先，高階網絡有效地表示了節點間多方面的相互作用，即高階相互作用，允許多樣化的傳播路徑。其次，這些網絡結構揭示了獨特的動力學性質，例如不連續相變和雙穩態，為表征復雜的傳染過程提供了全新的視角。

雖然人們已經做出了大量努力來理解傳染動力學，范圍涵蓋從基于成對的機制到由高階相互作用驅動的機制（見圖 1a），但這些研究在很大程度上忽略了不同階數網絡之間動力學過程的關系。值得注意的是，尋找這種系統性的關系對于解釋經驗系統中支配混沌動力學的演化原理，以及揭示驅動因素以使動力學過程能夠通過更細致和復雜的視角被觀察，是至關重要的。不幸的是，由于兩個原因，這樣做具有挑戰性。首先，動力學模型是由應用定義的，并且通常依賴于特定領域的規則，造成了顯著的結構和機制差異。這種異質性為建立一個能夠包含全譜動力學現象的統一理論框架構成了巨大的障礙。其次，對高階網絡進行動力學建模需要顯式地納入多節點相互作用以及支撐這些機制的錯綜復雜的非線性過程。這種內在的復雜性不僅加深了理論挑戰，也放大了計算需求。

在這項工作中，我們引入了“可轉換性”（transformability）的概念，定義為跨不同網絡類型映射傳染動力學的能力。當特定條件被漸近逼近時，一個網絡上的動力學行為可以近似于另一個網絡上的行為，我們將這種現象稱為“被轉換”（transformed），并將該過程稱為“轉換”（transformation）。我們的目標是系統地識別支配此類轉換的關鍵因素，揭示并分解潛在的驅動因素，并提出一個通用的方案來捕捉這些轉換。首先，我們開發了一個理論框架，建立了在成對網絡和高階網絡之間映射傳染動力學的系統準則。這一公式揭示，看似截然不同的動力學過程并非孤立的，而是可以通過明確定義的轉換規則在數學上相互映射。其次，在傳染動力學中，時間節點狀態描述系統，感染概率支配這些轉變，導致系統層面的無序，以下簡稱“系統無序”。為了全局量化這種無序，我們采用信息熵，它為整個過程中系統的統計不確定性提供了嚴格的度量（圖 1b）。第三，這種方法進一步促進了驅動可轉換性的關鍵因素的識別，特別是從成對網絡到高階網絡（見圖 1c）。我們表明，結構因素（即高階相互作用中存在多個傳染接觸）和動力學因素（即傳染過程引起的非線性影響）作為兩個獨立的驅動因素，支配著高階網絡和成對網絡上動力學之間的轉換。這一見解使我們能夠提出一種“結構-動力學”分解方案來捕捉這種轉換。最后，我們在意見動力學的背景下驗證了所提出的統一方案的可推廣性（圖 1d），展示了其在廣泛動力學系統中的魯棒性和適用性。本研究通過系統無序的視角，對高階網絡動力學的可轉換性提供了全面的分析。此外，我們對結構和動力學因素在動態轉換中所起的作用提供了基礎性的理解，從而闡明了高階動力學系統的獨特特征。

結果

跨多樣傳染動力學的可轉換性

綜上所述，所提出的轉換系統通過展示多樣的傳染動力學是相互關聯而非孤立的，從而架起了不同動力學之間錯綜復雜關系的橋梁。這意味著，在研究傳染動力學的機制時，不僅要考慮動力學過程之間的差異，還要考慮它們之間的相互關系。這也表明，超圖上的動力學固有地表現出二元圖和單純復形上動力學的特征。

通過系統無序進行的結構-動力學分解方案

基于通過感染概率建立的動力學之間的轉換，我們旨在揭示驅動高階網絡上動力學可轉換性的潛在因素，特別關注高階網絡和成對網絡之間的動態轉換。雖然前一節建立了捕捉局部感染概率的基本框架，但更深入的理解需要超越節點層面的描述，以檢查網絡上動力學的系統級行為。為此，我們從以單個節點狀態為中心的局部視角，推進到捕捉全球尺度上節點狀態系統演化的整體視角。為了量化這種全局行為，我們采用信息熵，它能有效捕捉動態過程中由節點狀態多樣性引起的系統無序（圖 1b，詳見方法）。通過利用熵，我們可以識別并量化支配動態轉換的關鍵因素，從而構建一個全面的方案來揭示高階網絡和成對網絡上動力學之間的區別。

一個統一框架。既然我們已經識別并量化了驅動高階網絡動力學可轉換性的因素，我們將分析擴展為包含更廣泛范圍的動態類別。這一結論以以下形式表達：

意見動力學中的可推廣性

該方案在意見動力學中的有效性。為了評估可推廣性，即所提框架的更廣泛相關性和魯棒性，必須檢查其在傳染過程之外的適用性，涵蓋不同類型的動力學和網絡領域。因此，我們將分析擴展到一類不同于傳染過程的代表性動力學。具體而言，我們考慮意見動力學模型，該模型捕捉個體意見如何在復雜網絡中演化、傳播和穩定。為了說明這一點，考慮一個辯論咖啡偏好的朋友社交網絡（圖 1e）。每個人最初持有三種意見之一：積極（POS）、消極（NEG）或中立（NEU），分別代表熱情、厭惡或冷漠。通過社會交流，這些意見隨著個體相互影響而演化，例如，咖啡愛好者可能會說服反對者或將其自身立場調節至中立。基于提出的統一框架，我們驗證了其對連續和非連續意見動力學的適用性，具體采用了 Deffuant-Weisbuch (DW) 模型和投票者模型。這一擴展展示了該框架在捕捉跨多樣網絡化過程的結構和動力學區別方面的多功能性。

總之，通過系統調查高階網絡上動力學的可轉換性，我們表明結構和動力學因素是解釋高階網絡和成對網絡之間動力學行為轉換的兩個關鍵驅動因素。此外，我們提出了一個捕捉這一發現的通用框架并測試了其魯棒性。雖然我們使用了具有二體和三體相互作用的高階網絡作為實例，但我們的框架已自然地推廣到具有隨機階數的任意高階網絡。

我們在超圖、單純復形和二元圖的動力學之間建立的基本轉換表明，超圖可能體現了圖（graphs）和單純復形的結構屬性。此外，這些關系表明，跨越不同網絡表示的動力學過程并非獨立，而是相互關聯的，揭示了在特定條件下轉換的潛力。這些見解為從觀測到的傳播數據中重建現實世界的傳染機制提供了寶貴的指導，因為以前的技術通常以孤立和特定的形式編碼動力學。此外，這種一般映射關系的識別為探索跨越不同網絡結構的傳染動力學的普遍屬性和行為鋪平了道路。

此外，這項工作從結構和動力學效應兩個方面解耦了高階網絡與二元簡單圖動力學之間的差異。這一發現增強了我們要對高階網絡特征如何在動力學過程中促成獨特的動力學屬性和行為的理解。這些特征可以被概念化為多體相互作用（即結構效應）和群體相互作用的非線性性質（即動力學效應）的綜合影響。此外，通過仔細審查這兩個因素的大小，我們可以辨別高階網絡抵抗簡化的確切場景。相反，我們的發現也有助于確定何時最小的不穩定性損失有助于創建保留底層動力學完整性的簡化表示。

我們進一步以統一的形式推廣了我們的發現，并在各種動力學模型中驗證了它們，包括 SI、SIS 和 SIR，以及意見動力學中的 DW 模型和投票者模型，揭示了我們的發現對不同動力學類型的適用性和可推廣性。這表明，雖然高階網絡上的動力學比成對網絡上的動力學傳遞更豐富的信息，但通過利用結構和動力學不確定性的可加性，它們的轉換可以在一個統一的框架中實現。這些發現對在表征真實動力學過程時盲目使用高階網絡動力學的普遍必要性假設提供了關鍵的反思。

我們的工作有潛力推動跨越各種現實世界場景的應用，因為揭示跨越不同網絡表示的動力學的可轉換性，對于解釋支配實證系統中混沌動力學的演化原理至關重要。具體而言，在疫情爆發的不同階段，潛在的動力學過程可能會有顯著差異，并且在某些階段，它們甚至可能由多種動力學模型的組合所支配。此外，識別主導因素使得能夠通過更系統的視角理解動力學過程，從而為控制內在疾病傳播或抑制錯誤信息共識的出現等針對性策略提供啟示。

方法

網絡投影

動力學模型傳染動力學

隨后，建立了跨越各種動力學的耦合的廣義條件。這些表達式可以理解為支配超圖上的動力學轉換為單純復形或其多重邊圖投影的條件。它們對應于來自相互作用節點或單純形的所有容許貢獻的加權聚合。此外，將單純復形映射到其圖投影的轉換條件有效地消除了源自高階單純形層面傳染的非線性貢獻，從而實現了動力學的簡化表示。

傳染動力學的分類。我們使用帶有 RBF 核的支持向量機 (SVM) 對傳染動力學進行了分類。對于每種傳染類型，進行了 1000 次獨立模擬，每次持續個離散時間步。在每一步，我們識別新感染的節點并計算它們的平均度和平均聚類系數（后者源自受限超圖）。這些值構成了兩個時間序列，而感染時間序列記錄了發生新感染的時間步。由于模擬可能在 T T 之前達到飽和，序列長度各不相同。所有序列都經過零填充至最大觀測長度，并拼接成每次模擬的單個特征向量。總體層面的結果向量（每種傳染類型 1000 個）構成了 SVM 的訓練集。測試集由獨立模擬生成并以相同方式處理，確保了預測時特征構建的一致性。

對于投票者模型，我們進一步設計了一個多變量變體，該變體具有與我們擴展的 DW 模型一致的界準則。其目的是檢驗在 DW 動力學中觀察到的現象是否在一個根本不同的更新機制下依然存在。盡管置信界相同，但這兩個模型在其微觀動力學上存在顯著差異：在 DW 過程中，相互作用的節點通過在連續空間中的相互收斂來調整其意見，而在投票者過程中，節點直接采納鄰居的離散意見狀態而不進行任何平均化。這些差異可能會顯著改變收斂速度、共識概率以及最終意見分布的結構，這意味著兩個模型之間結果的一致性并非先驗保證的。與 DW 模型不同，投票者模型中個體的意見值是多變量且不連續的。具體而言，在此模型中，每個智能體 i i 持有一個離散的多變量意見值，

系統無序

動力學過程代表了一種時間演化，其中節點的狀態隨時間步發生變化。以 SI 傳染動力學為例，節點的狀態由兩種模式表征。因此，節點處于 I 態或 S 態的概率可以通過網絡中每個相應狀態下節點的比例來描述。因此，動力學過程傳遞的信息可以使用信息熵的概念進行量化。通過測量隨時間變化的統計無序，信息熵提供了對正在發生的動力學的定量理解。下面，以 SI 模型為例給出傳播過程的信息熵測量。

原文鏈接：https://www.nature.com/articles/s42005-026-02555-1.pdf