群、圖與超圖：帶支撐約束的通用矩陣核的平均維數(shù)

群、圖與超圖：帶支撐約束的通用矩陣核的平均維數(shù)

Groups, graphs, and hypergraphs: average sizes of kernels of generic matrices with support constraints

https://arxiv.org/pdf/1908.09589

我們發(fā)展了一套關(guān)于具有由圖和超圖定義的支撐約束的一般矩陣的核的平均大小的理論。我們將這一理論應(yīng)用于研究與圖關(guān)聯(lián)的冪幺群。特別是，我們建立了關(guān)于枚舉這些群共軛類(lèi)的zeta函數(shù)的強(qiáng)一致性結(jié)果。我們推導(dǎo)出，所考慮群的 F q -點(diǎn)的共軛類(lèi)數(shù)量多項(xiàng)式地依賴于 q 。我們的方法結(jié)合了群論、圖論、環(huán)面幾何和 p -進(jìn)積分。

我們的一致性結(jié)果與Higman關(guān)于單位三角矩陣群共軛類(lèi)數(shù)量的猜想相一致。然而，我們的發(fā)現(xiàn)與Belkale和Brosnan關(guān)于與圖關(guān)聯(lián)的給定秩的一般對(duì)稱(chēng)矩陣數(shù)量的相關(guān)結(jié)果形成了鮮明對(duì)比。

1 引言

在本文中，我們研究通過(guò)支撐約束（support constraints）定義的矩陣空間相關(guān)的計(jì)數(shù)問(wèn)題。我們的工作受到有限 p p-群的（共軛）類(lèi)數(shù)研究的激勵(lì)，并對(duì)此有直接應(yīng)用。我們將自然地觸及三個(gè)主題：矩陣空間中的秩分布、冪幺群（unipotent groups）的類(lèi)數(shù)以及群的 zeta 函數(shù)。我們首先非正式地預(yù)覽我們的主要結(jié)果，將精確的定義和表述推遲到引言的后續(xù)部分。

在定理 F 中，我們推導(dǎo)了余圖群的全局和局部類(lèi)計(jì)數(shù) zeta 函數(shù)的解析性質(zhì)：值得注意的是，這些 zeta 函數(shù)的全局收斂橫坐標(biāo)（global abscissae of convergence）和所有局部極點(diǎn)的實(shí)部結(jié)果都是整數(shù)。

為了獲得我們的結(jié)果，我們應(yīng)用、發(fā)展并擴(kuò)展了來(lái)自環(huán)面幾何（toric geometry）和 p -進(jìn)積分（ p -adic integration）的方法。我們要強(qiáng)調(diào)的是，我們的方法是構(gòu)造性的。特別是，第一作者作為其計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng) SageMath [70] 的包 Zeta [69] 的一部分，實(shí)現(xiàn)了用于計(jì)算定理 A 中有理函數(shù)的實(shí)用算法。使用該軟件，與最多七個(gè)頂點(diǎn)的圖關(guān)聯(lián)的圖群的類(lèi)計(jì)數(shù) zeta 函數(shù)已被完全確定。這些 zeta 函數(shù)的完整列表 [68] 可在第一作者的主頁(yè)上找到。在第 9 節(jié)中，我們記錄了與少量頂點(diǎn)的圖關(guān)聯(lián)的 zeta 函數(shù)的大量（但小得多）例子。

我們現(xiàn)在對(duì)相關(guān)且與我們工作相關(guān)的主題提供更詳細(xì)的討論，并正式陳述我們的主要結(jié)果。

1.1 計(jì)數(shù)給定秩的矩陣

野性 (Wilderness)。 對(duì)秩分布的研究自然涉及代數(shù)幾何方法。多虧了這些方法，人們對(duì)于與一般、對(duì)稱(chēng)和反對(duì)稱(chēng)矩陣相關(guān)的子式理想（ideals of minors）已經(jīng)知之甚多 [14,80]。

1.2 冪幺群的類(lèi)數(shù)

1.3 Zeta 函數(shù)

1.4 群、圖與超圖

在本節(jié)中，我們（ somewhat 非正式地）介紹本文的主角：圖群（graphical groups）以及圖和超圖的鄰接表示（adjacency representations）和關(guān)聯(lián)表示（incidence representations）；更完整和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼撌鰧⒃?§3 給出。

全文中，圖均為有限圖且無(wú)平行邊，但可能包含自環(huán)（loops）；不含自環(huán)的圖稱(chēng)為簡(jiǎn)單圖（simple）。

一般而言，與全局定義的模表示相關(guān)的局部 ask zeta 函數(shù)的函數(shù)方程會(huì)在有限多個(gè)位處失效。然而，在本文的組合框架中，定理 A 意味著這組“壞”位是空集，或者至多（在圖的正鄰接表示情形下）是整除素?cái)?shù) 2 的位的子集（但見(jiàn)注記 6.18）。全局結(jié)構(gòu)的組合起源使得能夠嚴(yán)格控制相關(guān)局部函數(shù)方程的適用范圍，這一情形也出現(xiàn)在 [17, 定理 1.2]（等價(jià)地，[18, 定理 2.2]）中。

下列推論關(guān)注定理 A 設(shè)定下的一個(gè)極限“ q → 1 ”。

1.6 結(jié)果 II：弱序與超圖的顯式公式

雖然具有構(gòu)造性，但我們要對(duì)定理 A(ii)–(iii) 的證明所具有的復(fù)雜遞歸性質(zhì)，幾乎沒(méi)有提供關(guān)于所得有理函數(shù)如何依賴于所討論的圖的線索。相比之下，在超圖的情形下，正如我們要的下一個(gè)主要結(jié)果所示，我們要使定理 A(i) 中的一致性陳述完全顯式化。

我們指出，積分 (1.5) 作為 [54] 中引入并研究的與一般超平面構(gòu)型（hyperplane arrangements）相關(guān)的 p p-進(jìn)積分的特例（或特化）而出現(xiàn)。對(duì)于手頭相關(guān)的案例，即布爾構(gòu)型（Boolean arrangements），這些積分本質(zhì)上等于 [71, 定義 2.9] 中引入的弱序 zeta 函數(shù)；詳見(jiàn) [54, §§4.5, 4.8]。

1.7 結(jié)果 III：余圖及其模型

我們要了解的關(guān)于與超圖關(guān)聯(lián)的 ask zeta 函數(shù)的大部分內(nèi)容都依賴于如 (1.3) 這樣的顯式公式。如上所述，這些公式的起點(diǎn)是通過(guò)如 (1.5) 中的單項(xiàng)式積分來(lái)表達(dá)與超圖關(guān)聯(lián)的局部 ask zeta 函數(shù)（即在緊 DVR 上的那些）。我們沒(méi)有理由期望這種方法對(duì)圖的鄰接表示也能成功。（例 7.5 將表明 (1.5) 中的積分是不夠的。）這解釋了為什么我們要對(duì)定理 A 的部分 (ii)–(iii) 的證明比部分 (i) 的證明要復(fù)雜得多。

我們的構(gòu)造揭示了一系列模型的具體性質(zhì)。例如，模型的超邊數(shù)量總是少于頂點(diǎn)數(shù)量。此外，正如對(duì)于圖一樣，模型的關(guān)聯(lián)矩陣的所有條目之和總是偶數(shù)（這將由注記 7.25 得出）。這些條件進(jìn)一步闡明了定理 C 的一般性程度。

我們注意到，通過(guò)取 Γ Γ 為 n 個(gè)頂點(diǎn)上的完全圖且 H 為 n 個(gè)頂點(diǎn)上具有 n ? 1條超邊的超圖（每條超邊的支撐均為所有頂點(diǎn)的集合）而獲得的定理 D 的特例，已在 [64, 命題 5.11] 中（隱含地）得到證明。

定理 D 證明的要素。 就像我們要對(duì)定理 A 的證明不僅僅是通過(guò)闡明某些模的結(jié)構(gòu)來(lái)確立 zeta 函數(shù)的一致性一樣，余圖建模定理也不僅僅是基于有理函數(shù)的巧合。將精確定義推遲到 §3.2，超圖 H
的關(guān)聯(lián)模（incidence module）是一個(gè)代數(shù)地編碼 H 的頂點(diǎn)與超邊之間關(guān)聯(lián)關(guān)系的模。在 §3.3 中，我們通過(guò)編碼頂點(diǎn)間的鄰接關(guān)系，類(lèi)似地定義了簡(jiǎn)單圖 Γ 的負(fù)鄰接模（negative adjacency module）。在這種術(shù)語(yǔ)下，定理 D 是定理 D 的一個(gè)結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)物（定理 7.1）的推論，該對(duì)應(yīng)物確立了對(duì)于每個(gè)余圖 Γ Γ，存在一個(gè)（顯式的）超圖 H ，使得 Γ 的負(fù)鄰接模與 H 的關(guān)聯(lián)模雖然通常不同構(gòu)，但卻是“環(huán)面同構(gòu)”的（相差一個(gè)易于理解的直和項(xiàng)）。非正式地說(shuō)，這意味著這兩個(gè)模在與適當(dāng)扇（fan）中的所有錐（cones）關(guān)聯(lián)的環(huán)面環(huán)上變得同構(gòu)；見(jiàn) §4.4 以獲得精確定義。

群論應(yīng)用。 通過(guò)余圖群（概型）（cographical group (scheme)），我們要指的是源自余圖的圖群（概型）（見(jiàn) §1.4）。通過(guò)結(jié)合推論 B、定理 C 和定理 D，我們要獲得了用關(guān)聯(lián)的建模超圖表示的余圖群概型的（局部）類(lèi)計(jì)數(shù) zeta 函數(shù)的顯式公式。

特別是，我們要關(guān)于超圖的 ask zeta 函數(shù)的許多結(jié)果（例如顯式公式和關(guān)于解析性質(zhì)的信息）對(duì)于關(guān)聯(lián)的余圖群概型的類(lèi)計(jì)數(shù) zeta 函數(shù)有著直接的應(yīng)用。這些結(jié)果記錄在第 8 節(jié)中。例如，作為對(duì)幾個(gè)先前已知公式的實(shí)質(zhì)性推廣，我們要顯式確定了與以下 Z 上的余圖群類(lèi)關(guān)聯(lián)的余圖群概型的（局部）類(lèi)計(jì)數(shù) zeta 函數(shù)：

與自由 2-類(lèi)冪零群以及兩個(gè)自由阿貝爾群的 2-類(lèi)冪零自由積相關(guān)的余圖群概型的類(lèi)計(jì)數(shù) zeta 函數(shù)此前已由 Lins [52, 推論 1.5] 確定。

正如上文所述，右角 Artin 群與我們的圖群關(guān)系密切。例如，與余圖關(guān)聯(lián)的右角 Artin 群已在 [41, 42] 中得到研究。

1.8 一個(gè)反復(fù)出現(xiàn)的例子

我們將通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單但具有啟發(fā)性的例子來(lái)闡述定理 A、C 和 D，該例子將在整篇論文中被反復(fù)提及。

例 1.6. 設(shè) Γ Γ 為如下簡(jiǎn)單圖：

1.9 結(jié)果 IV 與開(kāi)放問(wèn)題

我們匯集了上述主要結(jié)果的推論——這些推論將在 §8.1 中加以證明——它們既與漸近群論和有限群論中感興趣的主題密切相關(guān)，又似乎有望為后續(xù)研究提供富有前景的途徑。

解析性質(zhì)。 （非負(fù)）狄利克雷級(jí)數(shù)最基本的解析不變量是其收斂橫坐標(biāo)，它精確刻畫(huà)了該級(jí)數(shù)部分和的多項(xiàng)式增長(zhǎng)的階數(shù)。在一篇開(kāi)創(chuàng)性的論文 [27] 中，du Sautoy 和 Grunewald 表明，與冪零群關(guān)聯(lián)的子群 zeta 函數(shù)具有有理的收斂橫坐標(biāo)。事實(shí)證明，對(duì)于任意的 Baer 群概型，其類(lèi)計(jì)數(shù) zeta 函數(shù)也是如此。（要證明這一點(diǎn)，結(jié)合下文的命題 2.6 和 [64, 定理 4.20]。）對(duì)于余圖群概型，我們可以做得更好。利用定理 D 以及對(duì)定理 C 中分母的分析，我們得到以下結(jié)果。

1.10 大綱

第 2 節(jié)。 在 §2 中，我們收集了關(guān)于 ask zeta 函數(shù)的基本事實(shí)，特別是來(lái)自 [67] 的關(guān)鍵對(duì)偶運(yùn)算。在此過(guò)程中，我們?cè)?§2.4 中正式定義了 Baer 群概型，并將它們的類(lèi)計(jì)數(shù) zeta 函數(shù)與附著在交錯(cuò)雙線性映射上的 ask zeta 函數(shù)聯(lián)系起來(lái)。除了回顧背景材料外，我們還發(fā)展了一種“余核形式體系”（見(jiàn) §2.5），用于利用 p p-進(jìn)積分來(lái)表達(dá) ask zeta 函數(shù)。在 §2.6 中，我們利用這一點(diǎn)將 ask zeta 函數(shù)解釋為附著在多項(xiàng)式環(huán)上的模的更一般類(lèi) zeta 函數(shù)的特例。

第 3 節(jié)。 在 §3.1 回顧了關(guān)于圖和超圖的基本構(gòu)造和術(shù)語(yǔ)后，我們?cè)?§§3.2–3.3 中定義了 §1.4 中非正式描述的鄰接表示和關(guān)聯(lián)表示。我們進(jìn)一步定義了鄰接模和關(guān)聯(lián)模，并根據(jù) §2.6 的意義將它們的 zeta 函數(shù)與和鄰接及關(guān)聯(lián)表示相關(guān)的 ask zeta 函數(shù)聯(lián)系起來(lái)。在 §3.4 中，我們正式定義了圖群和群概型，并將后者的類(lèi)計(jì)數(shù) zeta 函數(shù)與鄰接表示的 ask zeta 函數(shù)聯(lián)系起來(lái)。

第 4 節(jié)。 環(huán)面幾何（Toric geometry）在 §4 中登場(chǎng)。我們首先在 §4.1 中收集凸幾何的基本事實(shí)，并在 §4.2 中收集關(guān)于環(huán)面環(huán)（toric rings）和概型的基本事實(shí)。在 §4.3 中，我們通過(guò)將 zeta 函數(shù)附著在環(huán)面環(huán)上的模上，進(jìn)一步擴(kuò)大了 §2.6 中引入的 zeta 函數(shù)類(lèi)（正如我們要所見(jiàn)，其中包括 ask zeta 函數(shù)）。在 §4.4 中，我們證明定理 A(i)，并引入關(guān)鍵概念“環(huán)面組合”（torically combinatorial）模，這也將構(gòu)成我們要證明定理 A(ii)–(iii) 的基礎(chǔ)。

第 5 節(jié)。 §5 致力于通過(guò)定理 A(i) 詳細(xì)分析附著在超圖 H H 上的有理函數(shù) W H ( X , T ) WH(X,T)。在 §5.1 中，我們證明（稍更一般版本的）定理 C。隨后 §5 的其余部分集中在兩個(gè)主要主題上。首先，對(duì)于幾類(lèi)感興趣的超圖，我們要提供了定理 A(i) 的更易處理的形式。這些類(lèi)別包括 §5.1.1 中的“階梯超圖”（staircase hypergraphs）、§5.2.1 中的“塊超圖”（block hypergraphs）的不交并，以及 §5.3.1 中后一族超圖的“反射”（reflections）。其次，正如我們要在 §§5.2–5.4 中探索和利用的那樣，定理 C 提供的通用公式在超圖的自然運(yùn)算下表現(xiàn)良好。最后，我們?cè)?§5.5 中推導(dǎo)出了關(guān)于超圖 ask zeta 函數(shù)解析性質(zhì)的推論。

稍后，我們要在 §5 中的結(jié)果將通過(guò)余圖建模定理（定理 D，在 §7 中證明）在 §8 中找到群論應(yīng)用。特別是，上述提到的超圖運(yùn)算將轉(zhuǎn)化為自然的群論運(yùn)算。

第 6 節(jié)。 在 §6 中，我們證明定理 A(ii)–(iii) 以及推論 B。我們的證明通過(guò)一種共同的推廣，即 §6.1 中引入的“加權(quán)符號(hào)多重圖”（weighted signed multigraphs, WSMs），同時(shí)考慮圖的正鄰接表示和負(fù)鄰接表示。多重圖比圖更一般，因?yàn)樗鼈冊(cè)试S平行邊。每個(gè) WSM 都會(huì)產(chǎn)生一個(gè)鄰接模（在適當(dāng)?shù)沫h(huán)面環(huán)上），這推廣了 §3 中圖的正負(fù)鄰接模。在 §6.2 中，我們描述了一系列針對(duì) WSMs 的“手術(shù)過(guò)程”（surgical procedures），這些過(guò)程不影響相關(guān)的鄰接模。即使原始多重圖是一個(gè)圖，這些過(guò)程也可能引入平行邊——這證明了引入 WSMs 概念的合理性。在 §6.3 進(jìn)行了一些技術(shù)準(zhǔn)備后，我們?cè)?§6.4 中利用這些過(guò)程給出了定理 A(ii)–(iii) 的歸納證明。

第 7 節(jié)。 余圖建模定理（定理 D）是 §7 的主題。我們首先在 §7.1 中回顧關(guān)于余圖的基本事實(shí)。然后在 §7.2 中，我們要解釋定理 D 如何從一個(gè)結(jié)構(gòu)比較結(jié)果（定理 7.1）得出，該結(jié)果關(guān)聯(lián)了余圖的鄰接模和超圖的關(guān)聯(lián)模。擴(kuò)展支撐定理 A(ii)–(iii) 證明的思想，§7 的其余部分隨后致力于證明定理 7.1。§7.3 給出了我們要證明中涉及的要素及我們要整體策略的概覽。隨后在 §§7.4–7.7 中實(shí)施了這一策略。

2 多項(xiàng)式環(huán)上的 ask zeta 函數(shù)與模

在本節(jié)中，我們回顧關(guān)于模表示及相關(guān) ask zeta 函數(shù)的背景材料，這些材料來(lái)自 [64, 67]。我們還將后者與關(guān)聯(lián)于 Baer 群概型的類(lèi)計(jì)數(shù) zeta 函數(shù)聯(lián)系起來(lái)。最后，我們要為 ask zeta 函數(shù)發(fā)展一種“余核形式體系”，這使得我們要可以將后者視為附著在多項(xiàng)式環(huán)上的模的一類(lèi)更廣泛函數(shù)的特例。

全文中，令 R 為一個(gè)環(huán)。

2.1 模表示

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原文鏈接： https://arxiv.org/pdf/1908.09589