Graphs are maximally expressive for higher-order interactions

Graphs are maximally expressive for higher-order interactions

圖對于高階交互具有最大表達能力

https://arxiv.org/pdf/2602.16937

摘要

我們證明，基于圖的模型完全能夠表征高階交互，并且長期以來一直被專門用于此目的。這與近期“高階網絡”文獻中的一種常見主張形成對比，該主張認為基于圖的表示從根本上僅限于“成對”交互，需要超圖表述來捕獲更豐富的依賴關系。我們通過強調兩個常被忽視的事實來澄清這一問題。首先，基于圖的模型并不局限于成對交互，因為它們天然能夠容納同時依賴于多個相鄰節點的交互。其次，超圖表述是更一般的基于圖的表示的嚴格特例，因為它們對相鄰元素之間允許的交互施加了額外約束，而非擴展了可能性空間。我們表明，通常被歸因于超圖的關鍵現象（如突變）原則上均可使用圖模型精確復現，即便是局部樹狀圖亦然，因此并不構成一類本質上必須依賴超圖模型的現象。最后，我們認為，文獻中有時所聲稱的超圖在應用中的廣泛相關性缺乏證據支持；相反，這很可能源于一種誤解，即認為網絡模型無法容納多體交互，或認為某些現象只能通過超圖來捕獲。我們主張，明確區分由圖參數化的多元交互與定義這些交互的函數，能夠為交互系統的建模提供一個更為統一和靈活的基礎。

I. 引言

近年來，通過所謂“高階網絡”（HONs）對相互作用系統進行建模的興趣急劇增加，其特征是用超圖參數化涉及兩個以上元素的相互作用[1–8]。該文獻提出將超圖作為復雜系統一般理論的基礎，聲稱其具備基于圖的表述所無法企及的解釋力。在此基礎上，部分學者主張圖應被超圖全面取代，作為最基本的表示對象[1, 7, 8]，從而將基于圖的模型降格為特例。所謂超圖的嚴格優越性建立在以下主張之上：

1. 圖僅編碼“成對相互作用”。
2. 超圖編碼“群體相互作用”，即包含兩個以上元素、不可分割的相互作用單元，無法由圖表示。
3. 許多系統更適合用“群體相互作用”建模，因而更適合用超圖。
4. “群體相互作用”會催生基于圖模型無法解釋的新現象。

這些主張遵循不同的推理脈絡，并未實質性介入統計物理學中長期存在的將超圖用作二分因子圖的傳統[9, 10]——該框架是約束滿足理論[9, 11]、糾錯[12, 13]、自旋玻璃[14]、統計推斷[15]、社區發現[16]、算法困難性[17]以及非平衡無序系統[18]的核心。

高階網絡文獻中的“成對相互作用”概念，混淆了圖的結構（邊連接節點對）與定義在這些邊上的相互作用的函數形式。這種混淆暗示：若系統由圖表示，則節點與其鄰居的相互作用必然可分解為獨立或可加的成對項。然而，圖定義的是鄰域，即與給定節點相鄰的節點集合，而非相互作用本身。定義在這些鄰域上的函數可以是任意復雜且多變量的，能夠以非線性方式同時依賴于所有相鄰節點。在本研究中，我們表明，一旦厘清這一混淆，基于圖的表述將被證明在表達能力上并不遜色，事實上反而比基于超圖的表述更為一般。

具體而言，我們證明，一條超邊意味著某種相互作用在一組固定節點之間展開，并以集合內每個成員一致作用的方式發生。因此，不同超邊間的相互作用最多僅以相加或其他簡單方式組合。超圖由此對相互作用施加了基于圖的模型所不予限定的結構約束，這使得超圖模型成為限制性更強的一類。由此可得，在超圖模型中可觀測到的每一種現象，在基于圖的模型中也必然可觀測到。

我們考察了通常被唯一歸因于超圖模型的顯著現象學主張，包括同步[19]、種群動力學[20–23]、流行病傳播[24, 25]和平衡自旋模型[26, 27]中的突變，并表明使用漸近局部樹狀的基于圖的表述可獲得完全相同的行為。我們還表明，針對動力系統的超圖框架[28–30]可用多層網絡[31, 32]進行等價表述，從而無需使用超圖。除理論論證外，我們強調支持基于超圖模型實用性的經驗證據不足：圖數據幾乎從不包含超出鄰域的信息，且極少顯式編碼交互規則。此類信息通常是隱性的，因此必須通過統計方法進行推斷。此外，隨著交互群組規模的增大，這些交互越來越可能呈現出稀疏的內部結構，而此類結構可由標準圖模型自然地表示。因此，采用超圖表述需有明確依據，而非將其視為默認選擇。

本文結構如下。第II節證明圖并不局限于“成對交互”。第III節表明超圖表述是圖模型的特例；第IV節說明如何將任意特定的超圖表述轉換為多層網絡，但反之則不成立。第V節探討曾被歸因于超圖結構的現象，并證明它們可由局部樹狀圖完全復現。第VI節討論所謂超圖模型具有普遍相關性這一主張缺乏經驗證據的問題；第VII節探討多元交互可約性的一般性問題。第VIII節為最終討論。

II. 圖界定相互作用的范圍

高階網絡文獻頻繁斷言圖僅編碼“成對相互作用”，卻未精確定義該概念。相反，圖中的邊常被隱含地假定為代表兩個節點之間孤立的“相互作用”的具體實例，且獨立于所有其他邊。據稱，每當此約束不成立時，圖的表示便會變得不充分。然而，這一解釋并不符合網絡模型在過去數十年間、于多個科學領域中實際能夠且已被定義的方式。

作為示例，請考慮柯尼斯堡七橋問題這一基礎性案例[33]，該問題要求我們尋找一條恰好穿越城市中每座橋一次的路徑。所涉及的橋梁本身既非圖，亦非超圖。然而，將其描述為圖卻具有價值：歐拉表明，這一抽象使我們能夠斷言：若具有奇數度的節點超過兩個，則該問題無解。需注意，即便在此簡單示例中，結論也并非源于對孤立節點對的考察，而是基于對節點度數（即節點鄰域大小）的考量。

許多現代城市包含具有三個或更多端點的橋梁，但這并不會自動使網絡表示變得不充分。若要求橋梁端點之間的每條路徑均須恰好通行一次，則每座多向橋可被建模為一組獨立的邊，從而使歐拉的結論保持有效。

若每座多向橋無論進出端點如何，整體僅允許通行一次，則情況有所不同。表示此約束的一種方法是將每座多向橋視為一個附加節點，將系統轉換為二分網絡，其中每個橋梁節點均須恰好被訪問一次。該表述雖仍為圖，卻與系統的超圖表述完全等價。

然而，這并非唯一選項。我們可通過保持端點間連邊的獨立性，同時為每條邊分配顏色并要求每種顏色僅使用一次，來保留原始網絡結構。若對應于給定多向橋的所有邊共享同一顏色，且不同橋梁具有不同顏色，則該染色邊模型在保持相同形式的成對網絡抽象的同時，亦能給出該問題的等價表示。

作為進一步示例，考慮在個體間傳遞的實物，例如一張美元紙幣。每當兩人相遇，紙幣便可能易主，而對該過程建模自然會導出網絡上的擴散方程。現假設在某些情況下三人同時會面。在此類聚會中，紙幣的當前持有者可將其傳遞給另外兩名參與者中的任意一人，但無法同時傳遞給兩人。

三人會面的出現是否必然需要超邊？并非如此。更自然的方法是用三條成對邊來表示三人交互，其中每條邊上的傳遞速率相應降低，以反映在共同會面期間紙幣僅能傳遞給兩位鄰居中的一位。可選地，我們可將所有源自此類三方交互的邊視為網絡的獨立一層，并對該整層的擴散速率進行全局降低。該方法頗為優雅，因其完整保留了擴散過程的確切數學表述，且僅需對邊的權重進行調整。

下文我們將證明，上述示例中的觀察結果可以被形式化并加以推廣。更具體地說，我們證明定義在圖上的相互作用并不局限于成對相互作用。一般而言，單條邊 (i, j) 的存在所確定的至多是：當其他節點狀態保持不變時，節點 j 的狀態與節點 i 之間是否存在非零的條件依賴關系（對于無向圖則反之亦然）——任何更具體的內容只能在特定函數定義的背景下進行評估。簡言之，圖規定了哪些節點可以相互作用，但對這些相互作用所采取的形式未作任何說明。

圖被定義為節點的集合 V = {1, ..., N}，以及由節點對構成的邊的集合 E ∈ V × V。鄰接矩陣，

基于這些鄰接集，我們可以進一步約束節點間的相互作用。以常微分方程組（ODEs）作為概念驗證（如附錄A所討論，所有后續論點均直接適用于上述其他情形以及平衡態系統），我們通常可以寫作

為簡化符號表示，此處省略了顯式的時間依賴關系。我們指出，該表述保留了完整的表達能力，因為當采用完全圖時，我們即可恢復一般情形。這表明圖對節點間的相互作用施加了約束，但并未定義這些相互作用本身[35]：節點上的函數僅依賴于節點自身的值及其鄰居的值（見圖1）。

唯一能明確界定為“成對”的動力學類型是節點函數可分解為獨立項之和的情形，且每項僅涉及兩個節點：

此類具有成對動力學的模型僅出現于本質為線性的系統，或通過圍繞動力學零點進行線性化而大幅簡化的系統中。若所得模型在現象學表現上存在局限，這并非源于底層圖框架，而是由疊加的線性化處理所致，該處理可能導致系統被過度簡化[36, 37]。因此，此類成對模型實屬例外，而非常態。

歷史記錄充分印證了我們的論點，因為網絡模型長期以來一直采用不遵循此種成對分解的多元函數。

或許令人驚訝的是，早在140多年前首次使用“圖”一詞指代網絡的文獻[34]中，便已提及節點上階數與節點度數一致的非線性多元函數的可能性。

較近時期，在最早的基于圖的模型中，包括Kauffman于1969年引入的隨機布爾網絡[38]，該模型作為基因調控的簡化模型。此模型描述二值變量 x i ∈ { 0 , 1 } （即基因處于表達或未表達狀態），其確定性演化規律如下：

對于每種輸入組合，其輸出均均勻隨機選取，且各節點相互獨立。在隨后的幾十年中，此類模型的諸多變體已被廣泛研究[39, 40]。例如，針對同一類基因調控模型，一種可認為更為現實的變體是嵌套 canalizing 函數[41]，其定義為：

其中 z 和 y 分別為所謂的 canalizing 值與輸出。該函數旨在模擬轉錄因子如何結合至DNA的線性區段，同時受到抑制劑與激活劑有序層級結構的影響。此外，還存在多元相互作用的其他表述形式，它們可在連續值與時間域上推廣任意布爾函數，例如基于希爾函數[42]的模型。對于涵蓋生物學[43, 44]與社會學[45]領域以及機器學習[46]的廣泛系統類別，最常用的多元相互作用模型之一是閾值函數，其形式為：

其中參數 k > 1 。在此情形下，沒有任何單個節點能獨立于其他節點確定感染狀態。其他類型的協調包括復雜傳染的不同模式 [53–57]、相互依賴傳染 [58]，以及三元滲流 [59]，后者表現出復雜的動力學行為，包括倍周期分岔和通向混沌的路徑，且該列表可隨意擴展 [60]。

鑒于圖上存在如此多樣且眾所周知的多元相互作用實例，關于圖僅編碼“成對相互作用”的主張無法成立。

關于“成對相互作用”的另一種——盡管是循環論證的——定義是：任何可由圖表示的相互作用均為成對相互作用，而“高階相互作用”則是那些需要超圖表示的相互作用。然而，這一定義預設了它們構成了截然不同的類別。在下一節中，我們將證明超圖與圖支持同一類相互作用。

III. 超圖約束而非推廣相互作用

HON文獻將基于圖的表述與基于超圖的表述進行對比，后者是一種數學推廣，其中邊（或“超邊”）可連接任意規模的節點集合，而不僅限于節點對。作為純粹的組合對象，超圖是對圖的推廣：在相同節點集上，可能的超圖數量多于圖的數量。據此，人們或許會得出結論：基于超圖的模型能夠表達圖所無法實現的相互作用。然而，這一推理混淆了組合結構與函數表達能力。鑒于圖僅約束相互作用的定義域而非定義相互作用本身，通過超圖指定額外結構只會施加進一步的約束，而非擴展相互作用的空間。簡言之，超圖模型是基于圖的模型的特例，而非推廣。下文將對此點作詳細闡述。

與鄰接矩陣不同，超圖由鄰接張量表示，

因此，由式 14 定義的任何模型均可還原為式 4 的基于圖的模型，并附加了一個約束條件，即鄰接關系必須對應于投影團（projected cliques）。雖然特定的函數 f i可以被構造為反映由超圖 λ 定義的鄰接集，但這僅是一種建模選擇；當此條件不成立時，超圖結構并不提供額外信息。

此外，只要節點函數的結構由超圖決定，這就對容許函數類施加了額外的約束。特別是，不僅必須區分鄰接集，而且它們還必須在相鄰節點間對齊以形成重疊團（參見圖 2）。相比之下，通用的基于圖的表述在函數形式以及函數自變量的連接方式上均放寬了這些要求。由于它不強制重疊團結構，因此在仍能表示任意復雜的多元函數的同時，允許更靈活的連接模式。下文我們將通過具體實例闡明這些差異。

其中，每個既有的節點組 c 都對一個多元相互作用項 h c 有貢獻，該項以所有相關節點 x c 的狀態作為自變量。由此或許可以論證，第二類模型比第一類具有更大的表達能力（因為若所有超邊均為節點對，則可還原為第一類），但重要的是切勿忘記，它們二者都只是式 4 中更為一般的基于圖的模型的特例。此外，正如我們已提到的，存在多種廣泛使用的基于圖的模型的關鍵實例并不符合上述任何一個子族，因此利用其中任何一個來做出一般性論斷是不恰當的。

盡管如此，人們或許仍試圖論證：對于每一個基于鄰接矩陣 W 的參數化，人們可以通過保持其他一切不變并將其替換為超圖 λ 來獲得一個更為一般的模型，正如式 19 對式 18 所做的那樣，但這僅限于在特定語境下有意義（例如，尚不清楚這種構造如何應用于任意布爾函數、前文所述的嵌套 canalizing 函數或閾值函數）。然而，即使適用，這一論點的相關性也相當有限，因為我們總是可以擺脫這種特定的參數化，轉而采用一種嚴格基于圖且更為一般的參數化。更具體地說，作為示例，我們可以將以下基于圖的模型與式 19 中基于超圖的模型進行比較，

使得該模型無法再通過式 19 表達，因為入射于節點 5 的兩條超邊不再存在，而它仍可由式 20 描述。與圖 3 的情況一樣，同時將式 19 的超圖模型標記為“高階”，而將式 20 的基于圖的模型標記為“成對”或“二元”，將是武斷的。

需要注意的是，如果我們僅關注它們對應的圖與超圖參數化，而忽略提供變量間實際耦合的函數——正如僅考慮鄰接結構時常見的情況那樣——那么圖 3 中兩種情況之間的差異與相似性便不太明顯。

在附錄 A 中，我們闡述了上述考量如何同樣適用于由哈密頓量描述的平衡態模型。

同樣值得注意的是，在基于圖的表述中，通過將邊設為有向，可以以最大的一般性對非對稱相互作用進行建模，因此若變量 函數的自變量出現，互反關系未必存在。然而，同一概念在超圖中并不容易轉換，因為這需要就如何界定一個組的順序做出任意且更為受限的規定。

上述比較強化了核心論點：網絡模型最一般的框架是包含在鄰接關系上定義任意函數的圖。超圖表述非但沒有推廣該框架，反而構成了一個受約束的子族，要求鄰接關系形成重疊團。若無強有力的經驗證據表明真實系統符合此類約束，則沒有理由優先選擇超圖表述而非更一般的基于圖的方法。

IV. 多層網絡推廣超圖

前一節表明，一旦考慮耦合函數，超圖表述并未將相互作用空間擴展到圖已支持的范圍之外。在本節中，我們暫且擱置函數，直接比較參數結構本身。雖然超圖通常無法從單一鄰接矩陣中恢復，但我們證明多層圖提供了一個自然且嚴格更一般的參數框架，其中任何超圖均可被忠實表示。

事實上，即便在高階網絡（HON）文獻[1–4, 6, 71]中也廣泛認可：任何超圖均可無歧義地表示為二分因子圖，其中超邊被映射為入射于變量節點上的因子節點。這一觀察并非平凡，因為它使得超圖可利用標準的圖論工具進行分析。然而，正如第六節所討論的，這種可能性在HON文獻中常被輕描淡寫。

同時，這種數學等價性依賴于節點集的擴展，且通常保持參數化的解釋不變。因此，它并非唯一值得考慮的等價形式。下文我們將引入一種簡單的基于圖的構造，它不僅等價于超圖參數化，而且嚴格地推廣了它們。

超圖推廣了圖的結構，因為從鄰接矩陣 W 出發，人們并不總能唯一地恢復投影到其上的超圖。換言之，對于由鄰接張量 λ 定義的超圖，我們通常有

上述事實代表了重要的建模機遇，因為它允許將每條超邊（原本代表一個單一整體單元）推廣為具有任意形狀和權重分布的子圖。

作為對上述推廣的對照，人們可能會爭辯說，可以用標注了超邊的多層超圖來推廣多層圖。然而，應用上述相同的論證意味著，這總是可以通過擴展的層分解映射回多層圖。其結果是，不存在任何由超圖（即使是多層超圖）表示的結構是無法由單個多層圖表示的。

超圖的多層推廣為我們提供了一種與上下文無關的方法，可將任何超圖模型轉換為基于圖的模型，除了通過式 26 將 λ 替換為 W 外，不改變模型中的其他任何內容。例如，可以對方程 19 進行此操作，以獲得一個完全不依賴超圖的完全等價的動力學模型。這兩種表述是相同的，區別僅在于鄰接關系是通過張量還是多層矩陣進行編碼，這進一步表明，基于此對“高階”和“成對”的區分并不反映底層模型的實際差異。然而，不應忘記這種推廣并非唯一，正如我們之前討論的，通過向相互作用函數添加參數或改變其結構，還存在許多其他可能性。

V. 被錯誤歸因于超圖建模的現象學

高階網絡（HON）文獻中的一個常見主張是，超圖模型引入了基于圖的表述無法觸及的獨特動力學類別 [1–4, 6, 7]。雖然前幾節已經表明基于圖的模型推廣了那些通過超圖構建的模型，但在本節中我們將獨立地考察具體主張。我們表明，歸因于超圖模型的行為可以由缺乏任何團結構的基于圖的模型精確復現，更不用說超邊了；或者由多層圖復現，而無需訴諸上述推廣。

在 V A 節中，我們表明用于論證 HON 文獻中許多主張的均場計算并未區分超圖模型與基于圖的模型。在 V B 節中，我們表明在同步和傳染中報告的突變屬于在基于圖的模型中發現的同一類轉變。在 V C 節中，我們表明生態系統模型的穩定性分析與超圖結構無關。最后，在 V D 節中，我們表明一大類超圖動力學可以被等價地表述為多層動力學的特例。

A. 均場計算的不適用性

文獻中研究的基于超圖的動力學模型的一種典型形式相當于式 19 的一個特例，即所有超邊上具有齊次函數，亦即

在此類系統中，每個節點均以相同的方式與其他所有節點相互作用，而這種對稱性常被用于將 N 個耦合微分方程簡化為單個自洽方程，該方程對應于描述某一固定點或其他感興趣吸引子處的某種全局平均的標量序參量。對于相當一類系統，這種對序參量的近似在熱力學極限 N → ∞ 下漸近精確。

此類建模假設與均場計算已被用于研究由超圖參數化的各種動力系統，包括同步 [19, 61]、流行病傳播 [25]、種群動力學 [20–23]、決策模型 [62]、三元滲流 [63] 以及平衡態自旋系統 [26, 27]。在此設定下觀察到的行為已被用來聲稱超圖會產生定性上不同的行為，而這種行為對于基于網絡的模型而言是“不可見”的 [1, 4, 7]，通常涉及序參量中的突變。

我們所做的關鍵觀察是，存在簡單的替代模型表述，它們并非基于超圖，卻映射到與式 32 完全相同的均場。例如，我們可以考慮一個具有鄰接矩陣 W 的單層圖，以及由下式給出的動力學

在 ρ = O ( 1 / N ) 的稀疏情形下，這種齊次均場代表了一種結果圖呈局部樹狀（如圖 3b 所示）的情形，因此在熱力學極限下不存在任何團。然而，盡管式 27 和式 33 的模型具有不同的微觀動力學，但就均場假設（mean-field ansatz）所捕捉到的范圍而言，它們的宏觀行為是完全相同的。因此，旨在表明超圖模型會導致特定大尺度行為的此類分析實際上證明了相反的情況：超邊（或“群體相互作用”）的存在并非必要——甚至無關——的要素。

B. 突變

式 27 和式 33 的模型映射到同一均場這一事實意味著，唯一相關的要素是那些考慮了多個鄰居節點狀態的多元函數 f 。事實上，在許多模型中都已考察過突變的出現，在這些模型中，這些函數反映了與輸入集合相關的獨立事件的同時發生。也許其中最簡單且最古老的例子是自舉（ k -核）滲流 [50–52]，它與 Watts [45] 的閾值模型密切相關，該模型定義在二值狀態節點 x i ∈ { 0 , 1 } 上的動力學如下：

該方程與標準滲流方程幾乎相同，區別僅在于右側被平方——這反映了動力學所規定的兩個獨立事件的重合。盡管不完全相同，其宏觀行為可與自舉滲流相比，因為如圖 5b 所示，函數 F ( S ) 同樣具有一個導致鞍點分岔和不連續轉變的拐點。

上述兩種情況均代表了這樣的機制：由于對節點鄰居間不同類型的協調提出了要求，從而產生了突變，而超圖在其中未起任何作用。盡管這些過程在統計物理學和網絡文獻中非常重要且廣為人知，但在 HON 文獻中卻幾乎從未被引用。我們認為，那些聲稱歸因于超圖參數化的突變實例，僅僅是類似現象的其他實例，其中超圖參數化在很大程度上是無關緊要的。我們將在下文考察具體實例。

1. 同步

上述混淆最清晰的例子或許是文獻[19]中的超圖同步模型，該模型是對庫拉莫托（Kuramoto）模型[66]的擴展，引入了多元項，定義為

均場計算的定義屬性，特別是在齊次情形下，是它們不保留關于節點間相關性的信息。如果此類計算僅通過采用超圖表述就能納入相關性，那么這種局限性起初就不會產生。因此，結果動力學等價于無關聯隨機圖上的動力學也就不足為奇了。然而，引人注目的是，這類論點一直被作為證據呈現，用以證明以超邊形式存在的節點間結構相關性的作用。

同樣的均場計算，或者等價地，在均勻混合超圖上的模擬，一直被用于論證這些參數化在突變及其他現象中的作用，這不僅限于同步，還包括合作的種群動力學 [20–23]、流行病傳播 [24, 25, 67, 68]、三元滲流 [63]、決策模型 [62] 以及平衡態自旋動力學 [27]。所有這些案例都存在上述相同的問題：所描述的行為可以通過定義了相同多元函數的類樹圖來獲得，而超圖結構不起任何作用。

幾項研究也考察了超邊間相關性的影響，通常是通過數值模擬或非均勻均場計算 [19, 29, 69–77]。然而，這些研究系統地忽略了與適當構建的基于圖的表示（例如，定義在相同多元相互作用函數上的類樹圖或關聯圖）的比較，從而限制了關于超圖結構嚴格必要性的結論。

更一般地說，正如在關鍵設定中早已確立的那樣 [57, 78, 79]，相關性的存在預計會影響圖上廣泛的動力學過程。然而，此類效應應被視為相對于鄰居間多元協同相互作用的作用而言是次要的——這是一個可與團或超邊的存在性分離的方面。盡管如此，HON 文獻常聲稱超圖指定的結構從根本上不同于通過在圖中植入團 [1, 4, 7] 甚至局部類樹構型所獲得的結構，并且聲稱它們會產生定性上不同的行為。然而，目前這一主張在很大程度上仍缺乏實證支持。

1. 傳染

上述同一問題的另一個例子是文獻 [24] 中的單純形傳染模型（simplicial contagion model）。在該研究中，作者將通常的復雜傳染模型 [53–57]（其中如果受感染的鄰居超過閾值，鄰居就會被感染）與一種超圖模型進行對比，在后者中，僅當屬于同一超邊的所有鄰居都被感染時，節點才會被感染。更確切地說，他們考慮了一個由馬爾可夫鏈定義的連續時間 SIS 模型，

文獻 [24] 的作者強調上述模型與通過圖建模的模型之間的區別——但正如我們在前文多個示例中所示，這是一種沒有實質差別的區分，因為完全相同的微觀動力學代表了基于圖的模型的一個特例，其中超邊僅代表一種特定的構型。然而，正如同步的情形一樣，文獻 [24] 中描述的現象表現實際上與任何特定的超圖結構無關，如下文所示。

與迄今為止考慮的其他模型不同，對于 SIS 模型，均場計算在熱力學極限下并非精確，但捕捉到了整體的定性行為：與同步情形完全一樣， F ( S ) 中的拐點產生了三個可能的不動點，以及涉及其中兩個的鞍結分岔（見圖 5d）。

如前所述，使用對以下感染率進行參數化的圖 W ，可獲得相同的均場行為：

C. 生態系統的穩定性

在生態系統的背景下，文獻 [80] 的作者考慮了一個由下式給出的模型上的種群動力學

其中，每一階的 λ λ 的元素均獨立地從零均值、方差一致的高斯分布中采樣。當多元項的方差發生變化時，物種共存的穩定性也隨之改變。由于該設置完全符合均場假設的范疇，正如我們此前所討論的，若在熱力學極限下將超邊替換為圖，動力學將保持不變，因此穩定性的變化歸因于相互作用中的多元乘積，而非特定的團結構。其他文獻 [81, 82] 中出現的類似表述，盡管未必采用關于超圖結構的相同假設，也同樣適用上述觀察。

另一個說明性例子是文獻 [83] 的工作，其中分析了以下種群動力學的穩定性：

這種情況在概念上具有啟發性，因為該模型是直接通過矩陣 W 進行參數化的（即通過二元網絡表示而非超圖）。盡管如此，它在 HON 文獻中常被作為“高階”效應的典型例證進行討論 [1, 4, 7]，這似乎與他們將該術語等同于超圖參數化的核心主張相抵觸，并凸顯了該文獻在使用“高階”一詞時反復出現的歧義，即該詞既指代多元相互作用，又指代超圖的使用。

事實上，值得一提的是，文獻 [80, 83] 的作者既未提倡也未必認同 HON 文獻中反復鼓吹的“成對”（基于圖）與“高階”（基于超圖）的二分法。相反，他們比較的是涉及雙變量和三變量函數的具體生物模型，這些模型在種群動力學的背景下具有直接的相關性。這種區分在那里尤為重要，因為與網絡科學這一更廣泛的領域不同，大多數傳統生態模型僅考慮成對相互作用，通常采用式 5 的形式。然而，包括上述研究在內的眾多研究已經證明，多元相互作用在生態動力學中可以發揮重要作用 [36, 81, 82, 84–88]。

盡管一些學者批評近期對高階相互作用的關注 [89]，但很少有生態學家會否認源于基本競爭效應的基本多元相互作用所起的根本作用。一個經典的例子是捕食者捕食多個獵物物種的情況 [36]。在食物網（有向圖）中，這種情況通常通過從獵物種群指向捕食者種群的有向邊來捕捉。盡管這些邊因此僅連接兩個種群，但捕食者的捕食能力有限，因此一個獵物物種的存在會降低了對另一個物種的捕食壓力（表觀競爭）。在物種 3 存在的情況下，物種 1 對物種 2 的捕食通常由如下形式的多元函數建模：

或其推廣形式 [36, 37]。

我們要強調的是，我們的批評并非針對多元相互作用本身的相關性（我們認為這一點已得到明確證實），而是針對那種將多元依賴與需要超圖參數化視為同義詞的普遍傾向。

D. 多層動力學的特例

在本節中，我們證明了一大類基于超圖的動力學模型——即那些在節點空間中表述為按階次分辨的貢獻（如式27）的模型——存在不依賴超圖的等價表述。當動力學為線性時（如擴散過程），經典的加權二元網絡通常已足夠。在非線性情形下，可采用多層網絡框架，通過“提升”至按相互作用階次索引的層，隨后自然投影回節點空間。因此，超圖結構并非如通常所主張的那樣唯一地“最一般化”[29]：相同的節點級演化可由更豐富的多層動力學類別來實現。由于該建模模式是許多高階同步與穩定性分析（如文獻[28–30]）的基礎，本視角在該背景下具有直接的相關性。

1. 擴散

上述擴散情形是特意設為初等的：這種等價性是精確的，且源于生成元的匹配。之所以發生這種情況，是因為該示例坍縮為了一個加權圖，而我們實際上使用的是將超邊事件投影到成對躍遷的節點空間投影，而非霍奇意義下的高階拉普拉斯算子 [92]。

有趣的是，我們可以將同樣的基于投影的思路應用于 HON 文獻中的一個核心設定，即高階同步穩定性分析中使用的按階次分辨的變分動力學，如下文所示。

1. 非線性動力學

VI. 缺乏經驗基礎

網絡和超圖都不是現實世界的實體，而是用于模擬復雜系統的概念抽象。單一的現實系統通常可以用多種不同的方式來表示——作為網絡、作為超圖，或通過完全不同的數學框架。因此，表示的選擇由偏好和實用性共同指導。在實踐中，這需要平衡數學上的通用性、可解釋性和經驗支持 [35]。

歷史上，基于網絡的模型已被證明極其強大。將系統表示為網絡是一種強有力的簡化，但它使得應用一套豐富的分析工具成為可能。這些工具包括譜方法 [93]、度分布分析及相關生成函數技術 [94]，以及圖系綜的表述 [95–98]，等等 [99]。

如上所述，超圖參數化對大規模相互作用系統施加了更具限制性的數學結構，而基于圖的表述則傾向于提供更大的一般性。除了這種增加的結構特異性外，超圖目前配備的一套成熟分析工具更為有限。盡管最近的進展已將系綜方法擴展到了超圖 [100–104]，但這些方法尚未像經典圖模型（如 Erd?s–Rényi 隨機圖 [95]、配置模型 [97] 及其推廣 [98, 105]）那樣發展完善或廣泛適用。同樣，圖論中的許多優雅且一般的結果，如歐拉對柯尼斯堡七橋問題 [33] 的解答或巨分支分析的生成函數方法 [94]，在超圖理論中尚無相當的對應物，盡管存在一些專門的框架 [106, 107]。特別是，超圖的基于張量的表述迄今為止在通往廣泛有用的譜理論方面進展有限 [108]。未來的發展很可能會改變這一局面，超圖也可能成為一個日益強大的建模框架。然而，目前，在缺乏明確且一致的數學優勢的情況下，網絡（包括多層網絡）通常為許多應用提供了一個更實用的框架。

然而，從嚴格的經驗角度來看，數學上的易處理性并非首要考慮因素。由于具有更大的結構特異性，超圖模型可能為以參與對稱、互反相互作用的節點重疊群為特征的系統提供更簡約的表示。因此，圖描述與超圖描述之間的選擇本質上是經驗性的且依賴于上下文，并且最終應由關于哪種表示能最有效地捕捉系統相關結構的證據來指導。

盡管如此，關于超圖模型的普遍性和一般適用性的主張，往往由我們認為不構成有意義經驗證據的論點所支持。這些論點通常采取以下形式之一：

1. 使用超圖表述的網絡行為玩具模型的存在。
2. 將二分網絡數據重新解釋為超圖數據。
3. 從圖數據中推算超圖。
4. 從時間序列數據中對超圖進行啟發式推斷。

我們強調，我們要討論的并非多元相互作用的經驗證據（這方面的證據是實質性的 [54, 87, 88, 109]），而是它們與超圖結構的具體聯系。

在下文中，我們將依次考察每一類所謂的證據。最后，我們將對超圖表述普遍缺乏證據這一現象給出一個一般性的解釋。

A. 玩具模型并非證據

關于超圖在自然界中據稱普遍存在的主張，常以針對特定現象提出的玩具模型的存在作為理由[1–4, 6–8]。例子包括同步模型[19]、種群動力學模型[20–23]、流行病傳播模型[25]以及平衡態自旋系統模型[26, 27]等。

在此類情況下，研究者構建并分析了理想化模型以重現特定行為，但并未為其適用性提供經驗依據。通常，選擇超圖表述是出于主觀概念上的吸引力，而非基于底層系統確實表現出此類特定多元相互作用的直接證據。即使暫且不論前文已討論的事實——即每個此類模型都代表了更一般的基于圖的表述的特例，且相同的定性行為通常可通過適當結構的基于圖的相互作用（例如局部樹狀或多層圖）來重現——這些模型的存在本身也不能替代經驗證據。

更根本的是，在超圖模型中定性重現宏觀現象，并不能確立超圖結構對所討論系統的必要性，甚至無法確立其相關性。若缺乏獨立的直接證據表明基于超圖的相互作用發揮了特定作用，此類模型仍是欠定的，因為多種非等價的微觀描述均可能引發相同的宏觀觀測行為。在此背景下，引入超圖容易混淆多元函數的作用與網絡結構的作用，尤其是在未進行系統的模型選擇、證偽或與替代性基于圖模型進行比較的情況下。

因此，僅因文獻中出現了許多使用超圖的玩具模型，便合理地聲稱超圖對模擬自然界是“無處不在的”或“必不可少的”，是站不住腳的。充其量，這些模型僅表明超圖是一種可能的建模選擇；它們并未證明超圖在經驗上是合理的、能提供獨特信息的，或是捕捉所研究現象所必需的。

B. 二分網絡重新構想

此類主張包含將傳統上作為二分圖分析的數據重新解釋為超圖。此類主張通常分為兩類：解釋性替代方案和建模性替代方案。

解釋性主張在合著者網絡中得到了很好的體現 [7, 110]，其中連接作者和論文的二分圖被重新構想為超圖，每篇論文變為一個超邊，代表作者間抽象的“相互作用”。3 類似的重新解釋也應用于時空鄰近性數據，其中出現在同一時間窗口內的節點被分組到一個超邊中 [7, 111, 112]。由于二分圖和超圖在數學上是等價的對象，? 這種做法通常等同于一種標簽替換操作。例如，度分布被替換為超邊階次分布，在不同術語下產生數學上完全相同的描述 [7]。

由于這些“相互作用”未被明確指定，將作者建模為論文之間的“相互作用”似乎同樣有效——然而這一替代方案從未被采用。 ? 我們順便指出，所有服務于 HON 文獻的近期超圖軟件包在內部均依賴于二分鄰接列表 [113–115]。由于這些數據結構與一般基于圖的框架中采用的數據結構完全相同，此類軟件并未提供內在的表示優勢，其作用僅限于提供一套定制化算法，而這些算法同樣可以在更一般的框架中實現。

盡管超圖語言偶爾能突出顯示使用二分表示時較少討論的概念 [110]，但這種區別最終是術語上的而非經驗性的。暫且不談將論文表示為單一整體、不可分割的“相互作用”[7] 的認識論價值有限（而非將其視為復雜、內部結構化過程的產物?），并對時空鄰近性數據作類似考量，僅替換術語并未為超圖表述的適用性提供實質性證據。

? 大型論文合作與聯盟——通常涉及數十、數百甚至數千名作者——幾乎總是被劃分為子團隊。這種結構不僅經常在論文文本本身中顯而易見，也在機構隸屬關系和部門細分等元數據中有所體現。這些子團隊可能擁有其內部正式與非正式的子結構，并嵌入于稀疏相互作用的整體模式中，其中大量合著者之間并未進行過有意義的互動，甚至可能從未見過面。即使在小型合作中，任務與精力的分配也極少是均勻的，且個體作者的貢獻通常具有異質性。因此，明確考慮此類內部結構的模型 [116] 似乎比如文獻 [7] 所倡導的不可分割、無結構的群體相互作用模型要合理得多。

第二類子類包含旨在利用超圖參數化從二分數據中提取結構的生成模型與算法。一個突出的例子是社區發現，其中超圖表述被用于對圖數據 [117] 或二分網絡單一模態內的節點進行聚類 [102, 118, 119]。這一研究方向原則上是完全合理的：如前所述，超圖模型在特定情況下可能產生更簡約的描述。

然而在實踐中，許多此類方法依賴于未揭示統計證據的啟發式描述 [117, 120–122]，因此無法與基于圖的替代方案進行有意義的比較 [35, 123]。較小的一部分研究代表了向基于顯式生成模型的推斷方法邁出的早期步驟 [102, 118, 119]。然而，這些研究極少或未提供與圖的替代模型 [124] 或二分網絡模型 [125–127] 的系統比較，也未采用諸如貝葉斯非參數推斷或最小描述長度原則 [123, 128] 等穩健的模型選擇技術。

就目前而言，尚無實質性經驗證據表明，與不采用超圖表述的模型相比，這些基于超圖的模型能為二分網絡數據提供更優越的描述。

C. 從圖數據推算超圖

第三類經驗分析涉及從圖數據中提取超圖結構，將觀測到的圖視為底層潛在超圖的投影 [7, 110]。原則上，此問題可表述為統計推斷任務，并利用顯式生成模型與原則性推斷方法加以解決 [102, 118]。然而在實踐中，更常見的處理方式是啟發式的：直接將圖中的團解釋為超邊 [19, 24, 110, 117]。

除卻統計顯著性的明顯問題（即稠密子圖和團可能純粹由隨機波動或低階相關性產生）之外，這種啟發式識別還存在更深層次的概念局限。首先，逆問題在本質上是不可識別的：許多不同的超圖構型均可生成相同的投影圖，即使在限制性假設下亦然 [129]。若無明確指定的生成模型與顯式的模型選擇標準，便沒有原則性依據來偏好某一推斷出的超圖而非另一，致使提取出的超圖結構在很大程度上是任意的。

其次，更根本的是，這種方法削弱了任何關于超圖表示能夠捕捉所謂不可約高階相互作用的主張。如果超邊被精確定義為觀測圖中的最大團，那么任何相關的高階結構在構建上都可約化為邊的疊加。在此設定下，超圖并未揭示超越圖中已編碼模式的任何規律；它們僅僅以超圖語言重新包裝了圖論特征。

基于上述考量，我們認為，基于團從圖中提取超圖結構，既未確立超圖表示的經驗必要性，也未提供超越常規圖模型所能解釋的組織原則的證據。

D. 從時間序列進行啟發式推斷

最后，最后一類主張涉及從時間序列等間接數據中推斷超圖模型[130–137]。該類別中的一些研究開發了針對特定超圖模型的算法[130, 131, 133, 135, 138]，假設數據由該模型生成且被完美測量。由于真實的經驗數據通常具有噪聲、不完整，且由部分未知的機制產生，此類理想化假設限制了這些方法在實際推斷場景中的適用性，并降低了它們對模型誤設的魯棒性。此外，這些方法通常不涉及模型選擇——即超圖模型是否能對經驗數據提供更簡約的描述——因此隱式地假設了超圖表示的正確性，而非將其與替代方案進行檢驗對比。若無顯式的模型比較，僅靠重構無法確立超圖參數化所增加的復雜性是否在經驗上是合理的。此外，這些研究中有許多純屬理論性質，并未應用于真實數據集[130, 131, 135]。

其他分析則從時間序列相關性中推斷超圖結構[132, 134, 136, 139–146]。此類基于相關性的方法在區分直接與間接相互作用方面以不可靠著稱，常常產生諸如人為偏高的三角形計數或虛假社區結構等失真現象[35]。這一局限性在高階設定中尤為嚴重，其中間接的成對相關性可能偽裝成真正的多體相互作用，并導致對多元關系的系統性高估。加劇這一問題的是，許多此類方法并未區分超圖參數化與更一般的多元相互作用，從而進一步限制了從中可得出的結論。關鍵在于，這些方法并未在遵循統計學原則的框架內納入經驗證據——該框架需包含顯式的似然模型、復雜度懲罰項以及競爭假設間的正式比較——因此無法解決模型選擇問題。綜合來看，這些局限性阻礙了現有重構方法確立超圖結構是否真正得到經驗數據的支持，而非僅僅是建模假設的產物。迄今為止，尚未開發出（或已成功應用于經驗數據的）能夠恰當考慮模型復雜度[35, 147, 148]并證明超圖參數化能為特定系統產生更合理表示的重構方法。

E. 缺乏證據并非偶然

高階網絡（HON）文獻中已注意到超圖模型缺乏經驗支持[4, 149]。我們認為，這種證據的缺失并非偶然：它反映了一個更深層的認識論問題。簡言之，不存在任何只能表示為超圖而不能表示為圖的相互作用系統；因此，試圖識別此類系統的嘗試很可能是徒勞的。這些網絡模型之間的差異源于支配相互作用的具體規則，而非系統的普遍結構屬性。

網絡數據通常是不完整的，且測量的準確性各異[150]。然而，此處的核心問題超越了這一點：支配相互作用的底層規則幾乎總是潛在的。例如，蛋白質-蛋白質相互作用數據庫通常僅表明相互作用被認為是正向還是負向；報告學生間友誼關系的調查并未說明流言或感染將如何傳播；而神經元圖譜也未揭示神經元的放電動力學。這一模式幾乎適用于所有網絡數據。

由于基于圖與基于超圖的模型（或任何其他參數化方法）之間的區別取決于這些潛在規則，因此可能永遠不存在直接支持一種表示優于另一種的證據。這在科學中是標準做法：模型并非被直接驗證，而是通過比較進行評估，最合適的表示將依據簡約性、預測性能和解釋力而勝出[35]。

VII 多元相互作用的可還原性

正如我們所證明的，近期關于高階網絡（HON）的文獻將多元相互作用的存在與超圖混為一談，盡管它們是完全可分離的概念。此外，多元相互作用的“不可還原性”這一概念常被提及[1–4, 6–8]，以此作為論證超圖合理性的手段，但從未得到詳細闡述。在此我們認為，這一概念遠比HON文獻所承認的更為微妙復雜。

表面上這或許看似一種簡化，但表象往往具有欺騙性，因為這些標量函數盡管是一維的，卻可能存在大范圍的不連續性且任意復雜。盡管存在其他更精巧的替代方法（如科爾莫戈羅夫-阿諾德表示[152–154]）能在保持同等普適性的同時使用連續的單變量函數，但在一般情況下，這些函數依然會是復雜的。我們并不主張此類單變量表示具有普遍適用性（我們認為這不太可能），但它們值得提及的原因如下：

1. 多元函數的“不可還原性”不應被視為理所當然。
2. 對于某些特例，類似式71的分解可能是簡單且實用的。
3. 僅憑類似式71的形式存在，并不能用于判定某種相互作用屬于“低”階或“高”階，亦或“可還原”與“不可還原”。
4. 單變量表示在統計推斷中可能頗具價值，因為只需對各個單變量函數進行參數化即可。

事實上，最后一點已在機器學習領域得到應用[155]，并且在相互作用函數的具體形式事先未知的情況下，對網絡重構方法也可能具有潛在價值。

VIII、結論

我們提供了概念、數學和歷史證據，駁斥了近期高階網絡（HON）文獻[1–4, 6–8]中突出的一種觀點，即超圖模型在描述多元相互作用方面取代了基于圖的表示。具體而言，我們表明圖并不僅僅編碼“成對相互作用”。相反，圖規定的是節點與誰相互作用，而非這些相互作用如何實現。圖的參數化使相互作用函數本身不受約束，網絡科學文獻早已探索了此類函數的廣泛范圍，其中許多需要多個鄰居之間的協調與合作，因此不能合理地歸類為成對的。

基于同樣的邏輯，超圖所謂的普適性是毫無根據的：超圖參數化只能對相互作用的指定方式施加額外約束，因此構成了更一般的基于圖的表述的嚴格特例。因此，基于圖的表述不應被普遍視為超圖的“簡化”，超圖也不應被視為網絡的“擴展”；在這兩種情況下，事實通常恰恰相反。

這一觀察結果對網絡建模與分析的多個方面具有重要意義，尤其是對從時間序列和其他間接數據中進行網絡重構[35, 147, 148]。與其開發顯式但定義不清的超圖“推廣”，不如放寬對潛在節點函數的約束，因為這種方法已經具有最大的一般性。

此外，我們證明，據稱唯一可歸因于超圖參數化的核心現象學主張，往往依賴于實際上無視超圖結構本身的計算。因此，這些分析產生的結果與從缺乏團（更不用說真正的超邊）的局部類樹圖模型中獲得的結果完全相同。所報告的行為因此屬于先前已確立的涌現現象類別（如協同動力學中的突變），而非構成真正的新類別。

基于這些觀察，研究人員不應在誤解下繼續進行研究，即認為超圖對于研究復雜系統是必要的，甚至具有普遍實用性。更具體地說，將多元相互作用與超圖表述混為一談，會在理論和方法的開發中引入重大偏差，因為這些開發是在這些概念不可分割的默許但錯誤的假設下進行的。

歷史上，網絡科學經歷過多次推廣浪潮，旨在發展更現實的理論。值得注意的是，人們已投入大量精力去理解隨時間演化的網絡[156]和由多個相互作用層組成的網絡[31]。當前的HON文獻似乎是以這些發展為基礎構建的。然而，它在關鍵方面有所不同：網絡系統的動態性和多層性在經驗上是無可爭議的。網絡是否隨時間變化，或多種相互作用模式是否重要（例如，疾病是通過地面還是空中交通傳播對其動力學有深遠影響），這些都是無可爭議的。

對于所謂的“高階網絡”，情況則根本不同。在此，其動機建立在一個脫離歷史的稻草人論據之上——即網絡只能表示成對相互作用——以及一個毫無根據的假設，即超圖參數化擴展了可能相互作用的空間，而事實上它們收縮了該空間。正如我們所論證的，因此，支持關于超圖效應具有最大普適性和普遍性的極端主張的經驗證據仍然極其匱乏，這也就不足為奇了。

我們強調，我們并非主張超圖參數化無趣或沒有價值。相反，它們已被證明是有用的，例如在統計物理學[9]、拓撲數據分析[157]和信號處理[158]中。此外，超圖在網絡科學中歷史上一直未被充分研究，僅憑這一點，對它們重新產生興趣就是完全合理的。我們反對的是關于其范圍和必要性的無根據主張，以及對使用它們所獲結果的不準確描述。

我們還強調，對真正的高階相互作用的研究——例如一個物種的種群數量依賴于兩個或多個其他物種的非線性組合、基因調控依賴于啟動子或抑制劑的層級結構、催化劑對兩種反應物之間化學反應的調節，或動力系統對其歷史的依賴性[159]等——是一項極其重要的工作。這一研究路線可追溯至該領域的起源，并非我們批評的目標。相反，我們的批評針對的是近期文獻中持續存在的一種混淆，即將此類多元相互作用與超圖模型等同起來。正如我們所展示的，這兩個概念是完全可分離的。認識到這一區別有助于澄清建模范式，并為利用基于圖和基于超圖方法的優勢互補來研究多元相互作用打開了大門。

原文鏈接：https://arxiv.org/pdf/2602.16937