從對稱性出發(fā)：構(gòu)造蘊(yùn)含物理結(jié)構(gòu)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)量子態(tài)

|作者：羅迪

(清華大學(xué)物理系)

本文選自《物理》2026年第5期

摘要量子多體系統(tǒng)波函數(shù)復(fù)雜度隨粒子數(shù)呈指數(shù)增長，傳統(tǒng)數(shù)值方法難以有效求解強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系問題。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)量子態(tài)(NQS)為波函數(shù)表征提供了全新變分范式，但單純黑箱網(wǎng)絡(luò)存在訓(xùn)練成本高、物理約束缺失等缺陷。文章以對稱性為核心主線，綜述其在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)量子態(tài)結(jié)構(gòu)設(shè)計中的嵌入方法，涵蓋交換對稱性、反對稱性、空間對稱、粒子守恒、規(guī)范對稱等關(guān)鍵類型。研究表明，將對稱性內(nèi)蘊(yùn)于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)量子態(tài)可顯著降低模型參數(shù)量、提升訓(xùn)練效率，賦予其物理可解釋性，成為銜接量子多體物理與機(jī)器學(xué)習(xí)的核心橋梁。

關(guān)鍵詞對稱性，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)量子態(tài)，強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)回流，群等變網(wǎng)絡(luò)，自回歸模型，規(guī)范等變網(wǎng)絡(luò)，量子多體物理

在量子多體物理領(lǐng)域，波函數(shù)是描述多粒子量子系統(tǒng)宏觀與微觀特性的核心基礎(chǔ)對象，它完整包含了系統(tǒng)的所有量子力學(xué)信息，無論是粒子的自旋分布、能量狀態(tài)，還是粒子間的關(guān)聯(lián)作用，都能通過波函數(shù)的形式得以精準(zhǔn)刻畫。然而，波函數(shù)的復(fù)雜度會隨著系統(tǒng)中粒子數(shù)量的增加呈現(xiàn)指數(shù)級爆炸式增長，這一固有特性成為制約量子多體研究的核心瓶頸。當(dāng)粒子數(shù)達(dá)到一定規(guī)模時，傳統(tǒng)數(shù)值方法(如精確對角化、密度矩陣重正化群等)往往會陷入“維數(shù)災(zāi)難”，不僅需要消耗海量的計算資源與存儲空間，還無法高效、準(zhǔn)確地處理強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系(如高溫超導(dǎo)材料、量子磁性系統(tǒng)等)中的復(fù)雜相互作用，導(dǎo)致對這類體系的基態(tài)能量、激發(fā)態(tài)特性等關(guān)鍵物理量的計算變得異常困難，甚至無法實現(xiàn)。

圖1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)量子態(tài)可以高效表示高維量子波函數(shù)，并通過變分原理求解[1]

近年來，隨著機(jī)器學(xué)習(xí)與量子物理的深度交叉融合，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)量子態(tài)(neural network quantumstates，NQS)[1]作為一種創(chuàng)新性的研究方法應(yīng)運(yùn)而生，為解決強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系的計算難題提供了一條全新的技術(shù)路徑。其核心思路打破了傳統(tǒng)方法對波函數(shù)顯式存儲的依賴，巧妙地利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)強(qiáng)大的高維函數(shù)逼近能力，將量子波函數(shù)直接參數(shù)化表示，即通過構(gòu)建特定結(jié)構(gòu)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，以粒子構(gòu)型(例如自旋系統(tǒng)中的自旋向上/向下配置、電子系統(tǒng)中的電子空間坐標(biāo)分布等)作為網(wǎng)絡(luò)輸入，輸出對應(yīng)構(gòu)型下波函數(shù)的復(fù)數(shù)振幅，或是復(fù)數(shù)振幅的對數(shù)與相位，從而實現(xiàn)對高維波函數(shù)的高效壓縮與精準(zhǔn)逼近(圖1)。在此基礎(chǔ)上，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)量子態(tài)通常與變分蒙特卡羅(variational monte carlo，VMC)方法相結(jié)合，構(gòu)成完整的數(shù)值計算框架：首先通過采樣波函數(shù)模的平方所對應(yīng)的概率分布|ψ|2，獲取大量具有統(tǒng)計代表性的粒子構(gòu)型樣本；隨后基于這些樣本估計系統(tǒng)的能量期望值，再利用隨機(jī)梯度下降等優(yōu)化算法，不斷調(diào)整神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)θ，使系統(tǒng)能量逐步收斂至最低值，最終得到量子系統(tǒng)的基態(tài)或熱態(tài)。

這種結(jié)合了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與變分原理的方法，其關(guān)鍵優(yōu)勢在于從根本上繞過了顯式存儲指數(shù)維度波函數(shù)的技術(shù)困難，通過參數(shù)化表示將高維波函數(shù)壓縮到有限的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)空間中，大幅降低了計算與存儲成本，同時也提升了對強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系的處理能力。然而，若在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)量子態(tài)構(gòu)建過程中直接使用“黑箱”式的通用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，不考慮量子系統(tǒng)本身的物理特性，將會帶來兩大突出問題：一方面，通用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)數(shù)量往往較多，會導(dǎo)致訓(xùn)練過程的計算成本大幅上升，收斂速度變慢，影響計算結(jié)果的準(zhǔn)確性；另一方面，這類“黑箱”網(wǎng)絡(luò)無法保證輸出的波函數(shù)嚴(yán)格滿足量子系統(tǒng)的基本物理規(guī)律，例如粒子交換對稱性、空間平移對稱性、自旋旋轉(zhuǎn)對稱性等，從而導(dǎo)致計算結(jié)果偏離物理實際，失去研究意義。因此，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)量子態(tài)的研究與應(yīng)用過程中，一個核心思想逐漸成為共識：將對稱性寫入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)本身，通過結(jié)構(gòu)設(shè)計強(qiáng)制波函數(shù)滿足相應(yīng)的物理約束。這種“對稱性嵌入”的策略，不僅能夠有效減少神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)數(shù)量，降低訓(xùn)練難度、提升訓(xùn)練效率，更能從根本上保證輸出波函數(shù)的物理合理性，使計算結(jié)果能夠真實反映量子系統(tǒng)的特性，為強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系的深入研究提供更可靠的技術(shù)支撐。

01

玻色子：交換對稱性

最基礎(chǔ)、也最重要的一類對稱性來自粒子交換對稱性。在量子力學(xué)中，粒子并不是可區(qū)分的“經(jīng)典小球”，而是不可區(qū)分的量子對象。對于玻色子體系，波函數(shù)在任意兩個粒子交換后必須保持不變，即滿足：

這一性質(zhì)意味著：無論我們?nèi)绾沃匦屡帕辛Ｗ拥木幪枺到y(tǒng)的物理狀態(tài)都不發(fā)生改變。光子、聲子以及超冷原子中的玻色凝聚態(tài)都遵循這一對稱性。交換對稱性不僅是數(shù)學(xué)約束，更直接決定了玻色子能夠“聚集”到同一量子態(tài)中的獨特行為，例如玻色—愛因斯坦凝聚現(xiàn)象。

有趣的是，這一物理要求與機(jī)器學(xué)習(xí)中的“集合函數(shù)(set function)”天然對應(yīng)。在普通神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，輸入通常是有順序的，例如圖像像素排列或語言中的詞序；但對于粒子體系而言，粒子標(biāo)簽本身沒有物理意義，因此網(wǎng)絡(luò)輸出不應(yīng)依賴輸入順序。換句話說，如果把第一個粒子與第二個粒子交換，網(wǎng)絡(luò)必須給出完全相同的結(jié)果。為了解決這一問題，機(jī)器學(xué)習(xí)中提出了經(jīng)典的DeepSets架構(gòu)。其核心思想是：先對每個粒子分別進(jìn)行特征提取，再通過一個對稱操作進(jìn)行聚合，從而自動保證置換不變性。其典型形式為

其中，φ(xi)表示單個粒子的局部特征映射，而求和操作則保證了整體函數(shù)在任意粒子交換下保持不變。最后再通過函數(shù)ρ對整體信息進(jìn)行處理，得到系統(tǒng)波函數(shù)。

這一結(jié)構(gòu)具有非常深刻的物理含義。它意味著整個多體系統(tǒng)可以被理解為：每個粒子首先貢獻(xiàn)一個局部“嵌入”或“響應(yīng)”，隨后系統(tǒng)通過一種對稱的方式將這些局部貢獻(xiàn)組合成整體行為。這與統(tǒng)計物理中的平均場思想、密度泛函中的局域貢獻(xiàn)結(jié)構(gòu)，都存在某種內(nèi)在聯(lián)系。將DeepSets引入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)量子態(tài)后[2，3]，人們發(fā)現(xiàn)它不僅天然滿足玻色子的交換對稱性，還能夠顯著降低模型訓(xùn)練難度。如果不顯式加入對稱性約束，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)往往需要通過大量數(shù)據(jù)“自己學(xué)習(xí)”哪些排列是等價的；而對稱結(jié)構(gòu)的引入，相當(dāng)于提前將物理規(guī)律編碼進(jìn)模型之中，大幅壓縮了參數(shù)空間，提高了訓(xùn)練效率與泛化能力。近年來，基于交換對稱性的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)波函數(shù)已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于玻色氣體、超流體系以及連續(xù)空間玻色體系等問題。在許多情況下，這類方法不僅能夠達(dá)到與傳統(tǒng)量子蒙特卡羅相當(dāng)?shù)木龋€展現(xiàn)出更好的可擴(kuò)展性。特別是在高維、多體關(guān)聯(lián)強(qiáng)烈或傳統(tǒng)方法難以處理的體系中，具備物理對稱性的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型正在成為一種新的研究范式。

02

費米子：反對稱性與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)回流

相較于玻色子體系，費米子體系的量子特性更為復(fù)雜，其核心約束在于波函數(shù)必須嚴(yán)格滿足反對稱性。當(dāng)任意兩個費米子的坐標(biāo)或自旋構(gòu)型發(fā)生交換時，波函數(shù)的符號會發(fā)生反轉(zhuǎn)。這是由泡利不相容原理所決定的基本物理規(guī)律，也是描述電子、質(zhì)子等費米子系統(tǒng)的核心前提。在傳統(tǒng)量子多體計算與量子化學(xué)研究中，這種反對稱性通常通過斯萊特(Slater)行列式來實現(xiàn)：將費米子的單粒子軌道按特定規(guī)則排列成行列式形式，利用行列式的數(shù)學(xué)性質(zhì)(交換任意兩行/列會改變行列式符號)，自然滿足波函數(shù)的反對稱約束。然而，單一行列式的表達(dá)能力存在顯著局限，它本質(zhì)上只能描述弱關(guān)聯(lián)或無關(guān)聯(lián)的費米子體系，無法捕捉強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系中粒子間復(fù)雜的多體相互作用(如電子間的強(qiáng)庫侖排斥、自旋耦合等)，因此在處理高溫超導(dǎo)、重費米子材料等強(qiáng)關(guān)聯(lián)費米子系統(tǒng)時，單一行列式方法往往難以得到準(zhǔn)確的計算結(jié)果，甚至無法適用。

在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)量子態(tài)的發(fā)展過程中，針對費米子體系的處理難題，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)回流(neural network backflow)[4]的提出成為一項關(guān)鍵性突破，為解決費米子波函數(shù)的反對稱性表示與強(qiáng)關(guān)聯(lián)描述難題提供了全新思路。其核心思想受費曼的粒子回流思想啟發(fā)：不再局限于傳統(tǒng)的單粒子軌道構(gòu)造，而是先將每個粒子的原始坐標(biāo)(如電子的空間坐標(biāo)、自旋坐標(biāo))，通過一個依賴于全體粒子構(gòu)型的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，映射為一組“有效坐標(biāo)”。這組有效坐標(biāo)并非孤立的單粒子屬性，而是融入了所有粒子間的相互作用信息，相當(dāng)于對原始粒子坐標(biāo)進(jìn)行了一次非線性的多體修正；隨后，以這些經(jīng)過修正的有效坐標(biāo)為基礎(chǔ)，構(gòu)造滿足反對稱性的Slater行列式，從而得到完整的費米子波函數(shù)(圖2)。這種策略的本質(zhì)是引入了一種非線性、多體相關(guān)的軌道重定義方式，打破了傳統(tǒng)單粒子軌道的局限性，使得波函數(shù)能夠精準(zhǔn)捕捉費米子間的強(qiáng)關(guān)聯(lián)效應(yīng)，顯著增強(qiáng)了對復(fù)雜費米子體系的表達(dá)能力，從根本上彌補(bǔ)了單一行列式方法的不足。

圖2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)回流可以構(gòu)造滿足費米子反對稱性的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)波函數(shù)[4]

費米子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)波函數(shù)的具體表達(dá)式可表示為

其中R代表整個費米子系統(tǒng)的粒子構(gòu)型集合，r 為第i 個粒子的原始坐標(biāo)，?(r)為傳統(tǒng)的單粒子軌道，NN(R)則是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)回流模型輸出的第i個粒子的有效坐標(biāo)修正項，det表示行列式運(yùn)算。通過這一形式，既保證了波函數(shù)的反對稱性，又融入了多體關(guān)聯(lián)信息。

在此基礎(chǔ)上發(fā)展出的FermiNet[5]和PauliNet[6]進(jìn)一步結(jié)合深度學(xué)習(xí)與物理先驗：例如電子間距離、庫侖相互作用、已知的漸近行為等。這些模型在分子基態(tài)能量計算中取得了接近化學(xué)精度的結(jié)果，被視為量子化學(xué)計算的重要突破。更值得關(guān)注的是，這類基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)回流的費米子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)量子態(tài)方法，正逐步從量子化學(xué)領(lǐng)域向材料科學(xué)領(lǐng)域拓展，展現(xiàn)出廣闊的應(yīng)用前景。在材料科學(xué)研究中，許多關(guān)鍵體系(如強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子體系、莫爾超晶格、拓?fù)浣^緣體等)都屬于復(fù)雜費米子系統(tǒng)，傳統(tǒng)數(shù)值方法由于受到維數(shù)災(zāi)難和表達(dá)能力的限制，往往難以對其量子特性進(jìn)行精準(zhǔn)刻畫，無法揭示其內(nèi)在的量子相和物性機(jī)制。而神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)回流方法憑借其統(tǒng)一且靈活的表示框架，能夠有效處理這類強(qiáng)關(guān)聯(lián)費米子體系：它既可以通過調(diào)整神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)適配不同材料的特性，又能通過融入材料的物理先驗知識保證計算的合理性，有望在這些前沿領(lǐng)域取得突破性進(jìn)展，例如揭示莫爾超晶格中的新型量子糾纏態(tài)、解析拓?fù)洳牧系倪吘墤B(tài)特性、闡明強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子體系的超導(dǎo)機(jī)制等，為新型功能材料的設(shè)計與研發(fā)提供重要的理論支撐。

03

空間對稱性：平移與旋轉(zhuǎn)

除了粒子交換，對稱性還廣泛體現(xiàn)在系統(tǒng)的空間結(jié)構(gòu)之中。對于凝聚態(tài)物理中的晶格模型而言，最基本的一類空間對稱性就是平移對稱性：如果將整個系統(tǒng)沿晶格方向平移若干格，系統(tǒng)的物理性質(zhì)保持不變。這意味著，一個局域結(jié)構(gòu)在晶格不同位置上應(yīng)當(dāng)具有相似的物理規(guī)律。例如，在二維方格晶格中，一個自旋排列模式若出現(xiàn)在左上角或右下角，其對應(yīng)的物理關(guān)聯(lián)通常是等價的。

這一思想與現(xiàn)代機(jī)器學(xué)習(xí)中的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(convolutio nalneural network，CNN)高度一致。CNN最核心的設(shè)計理念就是“權(quán)重共享”：同一個卷積核會在空間不同位置重復(fù)掃描輸入數(shù)據(jù)，因此網(wǎng)絡(luò)能夠自動識別平移后的相同模式。這種結(jié)構(gòu)天然具有平移等變性(translation equivariance)，即輸入發(fā)生平移時，網(wǎng)絡(luò)輸出也會以相同方式平移。在數(shù)學(xué)上，可以將這種性質(zhì)理解為

其中T表示平移操作，f表示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)映射。也就是說，網(wǎng)絡(luò)不會因為局域結(jié)構(gòu)出現(xiàn)在不同位置而改變其識別結(jié)果。這一性質(zhì)對于量子多體問題尤為重要。在量子自旋模型、哈伯德模型以及各種晶格費米子體系中，局域關(guān)聯(lián)往往會在整個晶格中重復(fù)出現(xiàn)。例如，自旋反鐵磁序、局域配對結(jié)構(gòu)、磁疇邊界等，都具有明顯的空間重復(fù)性。CNN能夠有效捕捉這些局域模式，并通過參數(shù)共享大幅減少模型自由度，因此相比完全連接網(wǎng)絡(luò)更加高效。CNN已被廣泛用于構(gòu)造神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)量子態(tài)，并顯著提升訓(xùn)練效率與泛化能力[7]。

然而，真實物理體系中的空間對稱性往往比簡單平移更加復(fù)雜。許多晶格系統(tǒng)還具有旋轉(zhuǎn)、鏡像、反演等離散空間對稱性。例如，在二維正方晶格中，系統(tǒng)通常滿足C4對稱性，即在旋轉(zhuǎn)90°后保持不變。這意味著，一個物理態(tài)若繞中心旋轉(zhuǎn)四分之一圈，其波函數(shù)應(yīng)保持相同形式。為了刻畫這種更高層次的對稱性，研究者開始發(fā)展群等變神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(group equivariant neural networks)。相比CNN，圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(graph neural networks，GNN)[8]則提供了更加通用的框架。其核心思想是：不僅讓網(wǎng)絡(luò)對平移具有等變性，還讓其在旋轉(zhuǎn)、反射等群操作下保持一致的變換規(guī)律。換句話說，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)本身直接服從晶格對稱群。這意味著，當(dāng)輸入態(tài)旋轉(zhuǎn)后，網(wǎng)絡(luò)輸出也按照相同方式變換。通過這種方式，模型無需重復(fù)學(xué)習(xí)不同方向上的等價結(jié)構(gòu)，從而進(jìn)一步提升數(shù)據(jù)效率與物理一致性。GNN能夠處理任意圖結(jié)構(gòu)，因此特別適用于不規(guī)則晶格、分子體系、量子化學(xué)以及復(fù)雜幾何結(jié)構(gòu)中的量子問題。更重要的是，GNN能夠與群對稱性進(jìn)一步結(jié)合。例如，可以構(gòu)造晶格空間群等變的圖網(wǎng)絡(luò)，使其在連續(xù)空間旋轉(zhuǎn)下仍保持正確的變換性質(zhì)。這類方法已經(jīng)廣泛應(yīng)用于材料科學(xué)、分子動力學(xué)和連續(xù)空間量子體系。

04

守恒律：U(1)對稱性與自回歸模型

除了空間對稱性與粒子交換對稱性之外，量子系統(tǒng)中另一類極其重要的約束來自守恒律。例如，在許多封閉量子體系中，粒子總數(shù)不會隨時間變化，這對應(yīng)于量子力學(xué)中的U(1)對稱性。其物理含義是：系統(tǒng)在整體相位旋轉(zhuǎn)下保持不變，即波函數(shù)乘上一個整體相位后，不改變?nèi)魏慰捎^測物理量。這一性質(zhì)可以寫為

其中θ為任意實數(shù)相位。雖然整體相位本身不可觀測，但這一對稱性會導(dǎo)出重要的守恒量：粒子數(shù)守恒。這是諾特定理(Noether theorem)的經(jīng)典結(jié)果：連續(xù)對稱性對應(yīng)守恒律。

在凝聚態(tài)物理與量子多體系統(tǒng)中，U(1)對稱性廣泛存在。例如，在電子體系中，總電子數(shù)通常守恒；在玻色—哈伯德模型中，總玻色子數(shù)保持不變；在超冷原子實驗中，人們往往也研究固定粒子數(shù)的正則系綜。因此，一個合理的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)量子態(tài)不僅需要擬合波函數(shù)，還應(yīng)當(dāng)嚴(yán)格滿足這些物理約束。如果不顯式加入守恒律，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可能會生成大量“不合法”的配置。例如，在一個固定10個電子的體系中，網(wǎng)絡(luò)可能錯誤地產(chǎn)生9個或11個電子的態(tài)。這不僅浪費模型表達(dá)能力，還會顯著增加訓(xùn)練難度。因此，如何將守恒律直接嵌入網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，成為構(gòu)建高效神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)量子態(tài)的重要問題。

近年來，一個非常成功的方法是自回歸模型(autoregressive model)[9，10]。其核心思想來源于概率論：將一個高維聯(lián)合分布拆解為一系列條件概率的乘積。在量子系統(tǒng)中，波函數(shù)可以寫為

這里，系統(tǒng)并不是一次性生成全部粒子配置，而是像“逐字寫句子”一樣，按順序一步步生成每個自由度的狀態(tài)，每一步生成都依賴之前已經(jīng)生成的信息。這一結(jié)構(gòu)與現(xiàn)代大語言模型(LLM)其實具有高度相似性。Transformer在文本生成中會根據(jù)前文預(yù)測下一個詞，而自回歸量子模型則根據(jù)之前粒子的配置預(yù)測下一個粒子的狀態(tài)。因此，許多語言模型中的技術(shù)，例如Transformer、循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(RNN)、注意力機(jī)制，都能夠自然遷移到量子態(tài)表示問題中。更重要的是，自回歸結(jié)構(gòu)使得守恒律可以被“動態(tài)控制”。例如，在固定粒子數(shù)體系中，網(wǎng)絡(luò)在逐步生成占據(jù)態(tài)時，可以實時記錄當(dāng)前已經(jīng)生成了多少粒子。一旦粒子數(shù)達(dá)到目標(biāo)值，后續(xù)位置便只能生成空態(tài)；反之，如果剩余位置數(shù)量等于尚未生成的粒子數(shù)，則后續(xù)位置必須全部占據(jù)。通過這種方式，模型從結(jié)構(gòu)上嚴(yán)格限制了可行配置空間，而不是依賴訓(xùn)練過程“學(xué)會”守恒律。

自回歸模型還可以“直接采樣”，精確地生成符合目標(biāo)分布的樣本，不再需要馬爾可夫鏈。這一性質(zhì)不僅提高了數(shù)值穩(wěn)定性，還減少了統(tǒng)計誤差，使訓(xùn)練更加高效。此外，自回歸模型還有一個關(guān)鍵優(yōu)點：概率可以被精確計算。由于整體波函數(shù)被分解為條件概率乘積，因此其概率分布能夠顯式寫出，而不需要額外歸一化。這一點與玻恩概率解釋天然兼容，使模型在計算觀測量、熵、關(guān)聯(lián)函數(shù)等物理量時更加方便。

05

規(guī)范對稱性：走向量子場論

如果說粒子交換對稱性、空間對稱性與守恒律主要描述的是量子多體系統(tǒng)中的“整體規(guī)律”，那么在更深層的量子場論中，主導(dǎo)自然界基本相互作用的則是規(guī)范對稱性(gauge symmetry)。它不僅是現(xiàn)代高能物理的核心語言，也是標(biāo)準(zhǔn)模型建立的基礎(chǔ)。規(guī)范對稱性與前面討論的全局對稱性有本質(zhì)區(qū)別。全局對稱性要求系統(tǒng)在“統(tǒng)一變換”下保持不變，例如所有粒子同時乘上同一個相位；而規(guī)范對稱性則更加嚴(yán)格，它要求系統(tǒng)在每一個空間點上都允許進(jìn)行獨立變換，而物理規(guī)律仍保持不變。這意味著，對稱變換不再是“整體”的，而是“局域”的。

例如，在電磁場理論中，電子波函數(shù)可以在每個空間點進(jìn)行獨立的相位旋轉(zhuǎn)：

這里θ(x)不再是常數(shù)，而是依賴空間位置的函數(shù)。為了保證物理規(guī)律在這種局域變換下仍然不變，理論中必須引入U(1)規(guī)范場，也就是電磁場。這一思想極其深刻：量子電動力學(xué)(QED)中的電磁相互作用本身，其實就是局域?qū)ΨQ性所“強(qiáng)制”產(chǎn)生的結(jié)果。類似地，量子色動力學(xué)(QCD)中的強(qiáng)相互作用由SU(3)規(guī)范對稱性描述，而弱相互作用則屬于電弱理論的一部分，由SU(2)×U(1)規(guī)范對稱性共同描述。換句話說，現(xiàn)代粒子物理中的基本力，本質(zhì)上都來源于規(guī)范對稱性。

然而，規(guī)范對稱性也使得量子場論的數(shù)值求解變得極其困難。由于物理態(tài)必須滿足復(fù)雜的局域約束，系統(tǒng)的希爾伯特空間會迅速膨脹。傳統(tǒng)方法如格點規(guī)范理論(lattice gauge theory)通常依賴大規(guī)模蒙特卡羅計算，但在有限密度、實時間演化等問題上常常遭遇嚴(yán)重困難，例如著名的“符號問題”。因此，一個自然的問題是：能否像處理交換對稱性和平移對稱性那樣，將規(guī)范對稱性直接嵌入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)之中？

為了解決這一問題，研究者提出了規(guī)范等變神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(gauge equivariant neural networks)。其核心思想是：不僅要求網(wǎng)絡(luò)輸出滿足規(guī)范約束，還要求神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在每一層內(nèi)部都遵循規(guī)范變換規(guī)律。換句話說，網(wǎng)絡(luò)本身就像一個“遵守規(guī)范對稱性的物理系統(tǒng)”。數(shù)學(xué)上，這種性質(zhì)可以表示為

其中G表示規(guī)范變換。也就是說，當(dāng)輸入變量發(fā)生規(guī)范變換后，網(wǎng)絡(luò)輸出也按照相應(yīng)規(guī)則協(xié)變變換，從而保證最終物理量保持不變。

這一思想與卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的平移等變性具有相似結(jié)構(gòu)，但難度遠(yuǎn)遠(yuǎn)更高。因為規(guī)范變換是局域的：不同空間點上的變換彼此獨立，而不僅僅是簡單的空間平移或旋轉(zhuǎn)。因此，網(wǎng)絡(luò)必須在局域連接結(jié)構(gòu)上編碼規(guī)范自由度。在格點規(guī)范理論中，人們通常將規(guī)范場定義在晶格的“邊(link)”上，而不是點上。例如，在U(1)格點規(guī)范理論中，每條邊對應(yīng)一個相位變量；在SU(2)、SU(3)理論中，則對應(yīng)矩陣變量。規(guī)范等變網(wǎng)絡(luò)需要在這些復(fù)雜群結(jié)構(gòu)之間傳播信息，同時保證整個網(wǎng)絡(luò)始終滿足規(guī)范協(xié)變性(圖3)。

圖3 規(guī)范等變神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以構(gòu)造滿足量子場論規(guī)范對稱性的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)量子態(tài)[11]

近年來，一系列工作已經(jīng)證明，這類結(jié)構(gòu)能夠有效構(gòu)造規(guī)范不變的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)量子態(tài)。例如，在U(1)格點規(guī)范模型中，規(guī)范等變網(wǎng)絡(luò)和規(guī)范不變網(wǎng)絡(luò)已經(jīng)成功用于基態(tài)求解、實時動力學(xué)模擬以及弦破裂(string breaking)等問題[10，11]。一些研究甚至表明，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法在部分場景下能夠突破傳統(tǒng)張量網(wǎng)絡(luò)與蒙特卡羅方法的限制。因此，規(guī)范等變神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的出現(xiàn)，也意味著機(jī)器學(xué)習(xí)開始真正進(jìn)入量子場論的核心領(lǐng)域。過去，大多數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)量子態(tài)主要關(guān)注低能凝聚態(tài)系統(tǒng)，例如自旋模型、哈伯德模型或玻色體系；而規(guī)范對稱性的引入，則使得神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)量子態(tài)能夠進(jìn)一步處理強(qiáng)相互作用、規(guī)范場動力學(xué)乃至高能物理中的基本問題。將規(guī)范結(jié)構(gòu)嵌入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，意味著機(jī)器學(xué)習(xí)模型第一次開始真正“理解”量子場論中的局域?qū)ΨQ性。這也使得規(guī)范等變神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)成為連接人工智能、量子多體物理與高能理論的重要橋梁。

06

結(jié)語：對稱性作為橋梁

從玻色子與費米子的交換對稱性，到空間對稱性、守恒律，再到規(guī)范對稱性，可以看到，對稱性不僅是物理定律的表達(dá)方式，也是構(gòu)造高效神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的指南。將對稱性嵌入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，不僅可以降低模型復(fù)雜度、提升計算效率，更重要的是賦予模型物理可解釋性。這使得神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不再是純粹的“黑箱”，而成為能夠反映物理結(jié)構(gòu)的“灰箱”模型。可以預(yù)見，隨著這一方向的發(fā)展，未來的人工智能將在科學(xué)研究中扮演更深層次的角色：不僅用于加速計算，更用于理解規(guī)律、發(fā)現(xiàn)新物理。對稱性，正是連接人類理論與機(jī)器學(xué)習(xí)的關(guān)鍵紐帶。

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人工智能與量子多體計算專題

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